【培优方案】7.2.1　三角函数的定义（课件）人教B版数学必修第三册

(共51张PPT)
7.2.1　三角函数的定义
新课程标准解读 核心素养
1.理解三角函数的定义，会求给定角
的三角函数值 数学抽象、数学运算
2.会判断给定角的三角函数值的符号 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面
的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周
需要360秒.
【问题】　若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒
后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
知识点一　任意角的正弦、余弦与正切的定义
前 提
如图，角α终边上异于原点的任意一点P（x，y），r＝
定 义 正
弦 称 　 　为角α的正弦，记作 sin α，即 sin α＝ 　 　
余
弦 称 　 　为角α的余弦，记作 cos α，即 cos α＝ 　 　
正
切 当角α的终边不在y轴上时，称 为角α的正切，记作
tan α，即tan α＝ .
角α的正弦、余弦、正切都称为α的 　
　
　
　
　
　
三角函数　
提醒　对三角函数定义的理解：①三角函数是一种函数，它满足函数
的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个比值的集合的对
应；②三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值
有意义的角的范围.
【想一想】
　三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？
提示：无关.三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终
边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只
与角α的大小有关.
1. 已知角α的终边经过点P（3，－4），那么 sin α的值为（　　）
A. － B. －
C. － D.
解析： 　∵角α的终边经过点P（3，－4），∴ sin α＝
＝－ .
2.135°角的余弦函数值为 ，正切函数值为 .
解析：如图，在135°角的终边上取一点P，使
OP＝1，作PM垂直于x轴，垂足为点M，则
∠POM＝45°.在Rt△PMO中，OM＝MP＝
，所以点P的坐标为 .所以 cos
135°＝－ ，tan 135°＝－1.
－ 　
－1　
知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号
提醒　三角函数值的符号：正弦、余弦和正切函数值在各象限的符号
可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.其含义
是：在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，
在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若α是三角形的内角，则必有 sin α＞0. （　√　）
（2）若α是第二象限角，且P（x，y）是其终边与单位圆的交
点，则 cos α＝－x. （　×　）
（3）若 sin α＞0，则α是第一或第二象限角. （　×　）
√
×
×
2. 确定下列各三角函数值的符号：
（1） cos 260°；（2） sin ；（3）tan .
解：（1）因为260°是第三象限角，所以 cos 260°＜0.
（2）因为－ 是第四象限角，所以 sin ＜0.
（3）因为 是第三象限角，所以tan ＞0.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　题型一 任意角的三角函数的定义及应用
【例1】　（1）若 sin α＝ ， cos α＝－ ，则在角α终边上的点有
（　　）
A. （－4，3） B. （3，－4）
C. （4，－3） D. （－3，4）
解析： 由 sin α， cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
（2）已知角α的终边落在直线 x＋y＝0上，求 sin α， cos α，
tan α的值.
解：直线 x＋y＝0，即y＝－ x，经过第二、四象
限，在第二象限取直线上的点（－1， ），则r＝
＝2，所以 sin α＝ ， cos α＝－ ，tan
α＝－ ；在第四象限取直线上的点（1，－ ），则r＝
＝2，所以 sin α＝－ ， cos α＝ ，tan α＝
－ .
【母题探究】
（变条件）本例（2）中条件变为“角α的终边落在射线4x－3y＝0
（x≤0）上”，问题不变.
解：由条件知不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴ cos α＝ ＝－
， sin α＝ ＝－ ，tan α＝ ＝ .
通性通法
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
（1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、
余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r
＞0），则 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ .
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对参
数正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.
【跟踪训练】
1. 已知α是第二象限角，P（x， ）为其终边上一点，且 cos α＝
x，则x等于（　　）
A. B. ±
C. － D. －
解析： 　由三角函数的定义得 cos α＝ x＝ ，解得x＝0
或x＝± .又点P 在第二象限内，所以x＝－ .
2. 求 的正弦、余弦和正切.
解：如图，在 的终边上取点P，使OP＝2，作
PM⊥Ox，则在Rt△POM中，∠POM＝2π－ ＝ ，所以∠OPM＝ ，则OM＝1，MP＝ .所以点P的坐标为（1，－ ），因此 sin ＝－ ， cos ＝ ，tan ＝－ .
题型二 三角函数值符号的判定
【例2】　（1）若角α是第三象限角，则点P（2， sin α）所在象限
为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 角α是第三象限角，所以 sin α＜0，所以点P
（2， sin α）在第四象限.
（2）如果点P（2 sin θ，3 cos θ）位于第三象限，那么角θ的终边
所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：因为点P（2 sin θ，3 cos θ）位于第三象限，所以2 sin
θ＜0，3 cos θ＜0，只有终边在第三象限的角正弦小于零，余
弦小于零，故选C.
通性通法
正弦、余弦函数值的正负规律
【跟踪训练】
　（多选）下列三角函数判断正确的是（　　）
A. sin 165°＞0 B. cos 280°＞0
C. tan 170°＞0 D. tan 310°＜0
解析： 　因为90°＜165°＜180°，所以 sin 165°＞0；因为
270°＜280°＜360°，所以 cos 280°＞0；因为90°＜170°＜
180°，所以tan 170°＜0；因为270°＜310°＜360°，所以tan
310°＜0.故选A、B、D.
题型三 三角函数式的化简
【例3】　当α为第二象限角时， － 的值是（　　）
A. 1 B. 0
C. 2 D. －2
解析： 　∵α为第二象限角，∴ sin α＞0， cos α＜0.
∴ － ＝ － ＝2.
通性通法
　　带绝对值的问题，关键是去绝对值，去绝对值时，要注意绝对值
内代数式的正负.
【跟踪训练】
　函数y＝ ＋ － 的值域是
.
{－4，0，
2}　
解析：由 sin x≠0， cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，当x为
第一象限角时， sin x＞0， cos x＞0， sin x cos x＞0，y＝0；当x为第
二象限角时， sin x＞0， cos x＜0， sin x cos x＜0，y＝2；当x为第三
象限角时， sin x＜0， cos x＜0， sin x cos x＞0，y＝－4；当x为第四
象限角时， sin x＜0， cos x＞0， sin x cos x＜0，y＝2.故函数y＝
＋ － 的值域为{－4，0，2}.
1. 已知角α的终边过点P（－4，3），则2 sin α＋tan α的值是
（　　）
A. － B.
C. － D.
解析： 　∵角α的终边经过点P（－4，3），∴r＝｜OP｜＝
5.∴ sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－ .∴2 sin α＋tan α＝
2× ＋ ＝ .故选B.
2. 若 cos α＞0， sin α＜0，则角α的终边在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　由 cos α＞0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x
轴的正半轴上.由 sin α＜0，得角α的终边在第三象限或第四象限
或y轴的负半轴上.综上可得，角α的终边在第四象限.
3. sin 1· cos 2·tan 3的值是（　　）
A. 正数 B. 负数
C. 0 D. 不存在
解析： 　因为0＜1＜ ， ＜2＜π， ＜3＜π，所以 sin 1＞0，
cos 2＜0，tan 3＜0，所以 sin 1· cos 2·tan 3＞0.
4. 判断下列各式的符号（填“＞”或“＜”）：
（1） sin 328° 0；（2） cos π 0；
（3）tan π 0.
解析：（1）因为270°＜328°＜360°，所以328°在第四象
限，所以 sin 328°＜0.
（2）因为π＜ π＜ π，所以 π在第三象限，所以 cos π＜0.
（3）因为 π＜ π＜π，所以 π在第二象限，所以tan π＜0.
＜　
＜　
＜　
5. 已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－ ，求 sin α＋ cos
α的值.
解：根据三角函数的定义，tan α＝ ＝－ ，
所以a＝－12，
所以P（5，－12），r＝13，
所以 sin α＝－ ， cos α＝ ，
从而 sin α＋ cos α＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知点P（1，－5）是α终边上一点，则 sin α＝（　　）
A. 1 B. －5 C. － D.
解析： 　因为x＝1，y＝－5，所以r＝ ，所以 sin α＝ ＝
－ .
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2. 如果α的终边过点P ，则 sin α的值等于
（　　）
A. B. －
C. － D. －
解析： 　因为2 sin ＝1，－2 cos ＝－ ，所以r＝
＝2，所以 sin α＝－ .
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3. 已知角α的终边经过点（2a＋1，a－2），且 cos α＝－ ，则实
数a的值是（　　）
A. －2 B.
C. －2或 D. －1
解析： 　∵r＝ ＝ ，
cos α＝ ＝－ ，∴9（a2＋1）＝5（2a＋1）2且2a＋1
＜0，解得a＝－2.
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4. 已知角α的终边上有异于原点O的一点P，且｜PO｜＝r，则点P
的坐标为（　　）
A. P（ sin α， cos α） B. P（ cos α， sin α）
C. P（r sin α，r cos α） D. P（r cos α，r sin α）
解析： 　设P（x，y），则 sin α＝ ，所以y＝r sin α，又 cos
α＝ ，所以x＝r cos α，所以P（r cos α，r sin α），故选D.
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5. （多选）角α的终边上有一点P（a，a），a∈R，且a≠0，则
sin α的值可以是（　　）
A. B. － C. D. －
解析： 　当a＞0时，｜OP｜＝ ＝ a，由三角函数
的定义得 sin α＝ ＝ ；当a＜0时，｜OP｜＝ ＝－
a，由三角函数的定义得 sin α＝ ＝－ ，故A、B正确.
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6. （多选）若角α的终边上有一点P（－4，a），且 sin α cos α＝
，则a的值为（　　）
A. 4 B. C. －4 D. －
解析： 　由条件知r＝ ，由 sin α cos α＝ 知 ×
＝ 即 ＝ ，∴a＝－4 或－ ，故选C、D.
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7. 已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且 sin α＞0， cos
α≤0，则实数a的取值范围是 .
解析：由三角函数的定义可知 sin α＞0，a＋2＞0， cos α≤0，
3a－9≤0，解得－2＜a≤3.
（－2，3]　
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8. 如果 cos x＝｜ cos x｜，那么角x的取值范围是

.
解析：∵ cos x＝｜ cos x｜，∴ cos x≥0，∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋
（k∈Z）.
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9. 已知角α的终边过点P（－8m，－3），且 cos α＝－ ，则m的
值为 　 　， sin α＝ 　－ 　.
解析：因为角α的终边过点P（－8m，－3），所以OP＝
（O为坐标原点），因为 cos α＝ ＝－ ＜0，
所以m＞0，角α是第三象限角，且可得m＝ ，所以P（－4，－
3），OP＝5， sin α＝－ .
　
－ 　
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10. 已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求 sin α， cos α的值.
解：∵角α的终边落在直线y＝－3x上，
∴角α的终边落在第二象限或第四象限.
若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点（－1，3），
∴r＝ ＝ ，
∴ sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝－ ；
若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点（1，－3），
∴r＝ ＝ ，
∴ sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝ .
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11. （多选）设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有
意义且均为正值的是（　　）
A. tan A B. cos B C. sin C D. tan
解析： 　因为0＜A＜π，所以0＜ ＜ ，所以tan ＞0；又因
为0＜C＜π，所以 sin C＞0.
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12. （多选）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重
合，且tan α＝ .若角α的终边上有一点P，其纵坐标为－4，则
下列结论正确的是（　　）
A. 点P的横坐标是6 B. α 是第二象限角
C. cos α＝－ D. sin α cos α＞0
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解析： 　由题意，可设P（x，－4），则tan α＝ ＝ ，解
得x＝－6，所以点P的横坐标是－6，故A错误；因为P（－6，
－4），所以角α是第三象限角，故B错误；因为P（－6，－
4），所以OP＝2 （O为坐标原点），所以 cos α＝ ＝－
，故C正确；因为角α是第三象限角，所以 sin α＜0，所以
sin α cos α＞0，故D正确.故选C、D.
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13. 已知点P（3，y）在角α的终边上，且满足y＜0， cos α＝ ，
则tan α的值为 　－ 　， sin α的值为 　－ 　.
解析：因为 ＝ ，y＜0，所以y＝－4.所以tan α＝－ ，
sin α＝ ＝－ .
－ 　
－ 　
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14. 张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点
P（x，3）（x≠0），且 cos θ＝ x，问能否求出 sin θ， cos
θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.”他对此题百思
不得其解，你能帮张明解答此题吗？
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解：由题意，得r＝OP＝ ，则 cos θ＝ ＝ .
∵ cos θ＝ x，∴ ＝ x.
∵x≠0，∴x＝1或x＝－1.
当x＝1时，点P的坐标为（1，3），角θ为第一象限角，
此时， sin θ＝ ＝ ， cos θ＝ ；
当x＝－1时，点P的坐标为（－1，3），角θ为第二象限角，
此时， sin θ＝ ， cos θ＝－ .
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