【培优方案】7.2.2　单位圆与三角函数线（课件）人教B版数学必修第三册

(共59张PPT)
7.2.2　单位圆与三角函数线
新课程标准解读 核心素养
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一
个角的正弦、余弦和正切 数学抽象
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水
倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬
间，同学们能想到些什么呢？
将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系（如图所示），设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴.过点A（1，0）作单位圆
的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，
你能得到 sin α， cos α，tan α与 ， ， 的关系吗？
【问题】　
知识点一　单位圆
1. 在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单
位圆.
2. 角α的 和 分别等于角α终边与单位圆交点的横坐
标和纵坐标.
余弦　
正弦　
【想一想】
1. 单位圆的圆心和半径分别是什么？
提示：单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1.
2. 角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为（ cos α， sin α）？
提示：可以.
　角 的终边与单位圆的交点的坐标是 　 　.
解析：由于角 的终边与单位圆的交点横坐标是 cos ＝－ ，纵坐
标是 sin ＝ ，所以角 的终边与单位圆的交点的坐标是
.
　
知识点二　三角函数线
　正弦线、余弦线和正切线都称为 .
三角函数线　
提醒　三角函数线的特征：①位置：三条三角函数线中有两条在以坐
标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外；②
方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指
向x轴上的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边（或其反向延长
线）的交点；③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，
反向为负”；④书写：起点（比如点A）在前，终点（比如点B）在
后，写为 .
【想一想】
1. 三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？
提示：三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
2. 三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由.
提示：能，当三角函数线与x轴（或y轴）正向同向时，所表示三
角函数值为正的，与x轴（或y轴）正向反向时，所表示三角函数
值为负的.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）余弦线 也可写成 . （　×　）
（2）三角函数线的长度等于三角函数值. （　×　）
（3）三角函数线的方向表示三角函数值的正负. （　√　）
（4）当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存
在. （　√　）
×
×
√
√
2. 如图所示，在单位圆中角α的正弦线，正切线分别是（　　）
解析： 　α为第三象限角，故正弦线为 ，正切线为 ，所以C正确.
3. 角 和角 有相同的（　　）
A. 正弦线 B. 余弦线
C. 正切线 D. 不能确定
解析： 　 与 的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数线的意义
【例1】　（1）角α（0＜α＜2π）的正、余弦线的长度相等，且
正、余弦符号相异，那么α的值为（　　）
解析： 　根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四
象限时，角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长
度相等，0＜α＜2π，所以α＝ 或 .
（2）作出 π的正弦线、余弦线和正切线.
解：在直角坐标系中作单位圆，如图所
示，以Ox轴为始边作角 π，角的终边与单位
圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由
单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂
线，与OP的反向延长线交于T点，则 sin π＝ ， cos π＝ ，tan π＝ ，即 π的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 .
通性通法
1. 作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过
此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
2. 作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点
T，即可得到正切线 ，要特别注意，当角的终边在第二或第三
象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线.
【跟踪训练】
1. 已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（　　）
A. 在x轴上 B. 在y轴上
C. 在直线y＝x上 D. 在直线y＝－x上
解析： 根据正弦线的定义知，｜ sin α｜＝1，所以 sin α＝
±1，所以角α的终边在y轴上.
2. 有下列说法：① 和 的正弦线长度相等；② 和 的正切线长度
相等；③ 和 的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为
（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
解析： 　 和 的正弦线关于y轴对称，长度相等； 和 两角
的正切线长度相等； 和 的余弦线长度相等.故①②③都正确，
故选C.
题型二 利用三角函数线比较大小
【例2】　利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1） sin 与 sin ；
解：如图所示，设 的终边与单位
圆交于点P1， 的终边与单位圆交
于点P2.
（1）过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴
于点M2，则 ， 分别是 ， 的正弦线.
∵｜ ｜＞｜ ｜，且 与 的方向都与y轴的正
方向相同，∴ sin ＞ sin .
解：易知 ， 分别是 ， 的余弦线.
∵｜ ｜＜｜ ｜，且 与 的方向都与x轴的正方
向相反，∴ cos ＞ cos .
（2） cos 与 cos ；
解：过点A（1，0）作x轴的垂线，交 的终边的反向延长线
于点T1，交 的终边的反向延长线于点T2，则 ， 分别
是 ， 的正切线.
∵｜ ｜＞｜ ｜，且 与 的方向都与y轴的正方向
相反，∴tan ＜tan .
（3）tan 与tan .
通性通法
利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤
（1）角的位置标注清楚；
（2）比较三角函数线的有向线段的长度；
（3）确定有向线段的正负.
【跟踪训练】
　若－ ＜α＜－ ，比较 sin α， cos α，tan α的大小.
解：如图，在单位圆中，作出－ ＜α＜－ 内的任
意一个角α及其余弦线、正弦线、正切线 ，
， .
由图知，｜ ｜＜｜ ｜＜｜ ｜，
∴－｜ ｜＜－｜ ｜＜｜ ｜，
即 sin α＜ cos α＜tan α.
题型三 利用三角函数线解简单三角不等式（组）
【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由
此写出角α的集合.
（1） sin α≥ ；
解： 作直线y＝ 交单位圆于A，
B两点，连接OA，OB，则OA与
OB围成的区域（如图①所示的
阴影部分，包括边界），即为角
α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为{α｜2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ ，k∈Z}.
（2） cos α≤－ .
解： 作直线x＝－ 交单位圆于C，D两点，连接OC，
OD，则OC与OD围成的区域（如图②所示的阴影部分，包括
边界），即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α｜2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ ，
k∈Z}.
通性通法
利用三角函数线解简单的三角不等式的步骤
（1）在单位圆中作出边界角的终边；
（2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的
范围；
（3）将图中角的范围用不等式表示出来.
【跟踪训练】
　若0＜α＜2π，则使 sin α＜ 和 cos α＞ 同时成立的α的取值范
围是（　　）
解析： 　如图，适合 sin α＜ 的角α的范围和适
合 cos α＞ 的角α的范围的公共部分，即为角α的
范围.
　三角函数在单位圆中的几何表示及应用
　　
　　设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单
位圆相交于点P，如图①，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直
y轴于点N，则点P的坐标为（ cos α， sin α），其中 cos α＝
OM， sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位
圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y'轴与y轴同向，y'轴与α
的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T'），如图②，则tan α＝
AT（或AT'）.
我们把有向线段OM，ON和AT（或AT'）分别叫做α的余弦线、正弦
线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何
表示.
【问题探究】
1. 设角α＝x rad，且0＜x＜ ，于是x， sin x，tan x都是实数，请你
给x一个具体的值，比较三个实数的大小.
提示： 我们先给x一个具体的值来进行比较：取x＝ ，则 sin x＝
，tan x＝ .因为 ＝ ＜ ，所以 sin ＜ .又tan ＝ ＝ ＞
，所以tan ＞ .从而可得 sin ＜ ＜tan .即当x＝ 时， sin x＜
x＜tan x.
2. 你在第1问中得到的大小关系是否对区间 上的任意x都成
立？
提示：设角α的顶点与圆心O重合，始边与x轴
的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如
图所示.过点P作PM⊥x轴于点M，过x轴正半轴
与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位
圆的切线AT，交α的终边于点T，连接AP，则MP＝ sin x，AT＝tan x，S△OAP＜S扇形AOP ＜S△OAT.
因为S△OAP＝ OA·MP＝ sin x，
S扇形AOP＝ x·12＝ x，
S△OAT＝ OA·AT＝ tan x，
所以 sin x＜ x＜ tan x，
即 sin x＜x＜tan x.
因此当x∈ 时， sin x＜x＜tan x.
【迁移应用】
　利用三角函数线证明：正弦函数在 上是增函数.
解：设0≤α1＜α2≤ ，分别作出α1，α2的正弦
线 ， ，如图所示.
∵｜ ｜＜｜ ｜，且 与 的方向
都与y轴的正方向相同，
∴ sin α1＜ sin α2，
故正弦函数在 上是增函数.
1. 若角α的正切线位于第一象限，则角α是（　　）
A. 第一象限的角 B. 第一、第二象限的角
C. 第三象限的角 D. 第一、第三象限的角
解析： 　由正切线的定义知，当角α是第一、第三象限的角时，
正切线都在第一象限.
2. 使不等式 －2 sin x≥0成立的x的取值集合是（　　）
解析： 　由 －2 sin x≥0，得 sin x≤ ，利用单位圆与三角函
数线可得2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z.
3. 函数y＝ 的定义域为
解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边
的范围（如图阴影部分所示）.因此所求定义域
为{x｜2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z}.
4. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
（1） sin α＝ ；
解： 作直线y＝ 交单位圆于P，Q两点，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α的终边，如图甲.
（2） cos α＝－ .
解： 作直线x＝－ 交单位圆于M，N两点，连接
OM，ON，则OM与ON为角α的终边，如图乙.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. （多选）下列命题正确的是（　　）
A. α一定时，单位圆中的正弦线一定
B. 单位圆中，有相同正弦线的角相等
C. α和α＋π有相同的正切线
D. 具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
解析： 　由三角函数线的定义A、D正确，B、C不正确.B中有
相同正弦线的角可能不等，如 与 ；C中当α＝ 时，α与α＋π
都没有正切线.
2. （多选）已知 的正弦线为 ，正切线为 ，则有（　　）
解析： 　三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的. sin
＝｜ ｜＞0，tan ＝｜ ｜＞0.
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3. sin 1， cos 1，tan 1的大小关系为（　　）
A. sin 1＞ cos 1＞tan 1 B. sin 1＞tan 1＞ cos 1
C. tan 1＞ sin 1＞ cos 1 D. tan 1＞ cos 1＞ sin 1
解析： 　易知 ＜1＜ ，在单位圆中，作出锐角1的正切线、正
弦线、余弦线，观察它们的长度，则有tan 1＞ sin 1＞ cos 1＞0.
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4. 有三个命题：① 与 的正弦线相等；② 与 的正切线相等；③
与 的余弦线相等.其中真命题的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
解析： 　根据三角函数线定义可知， 与 的正弦线相等， 与
的正切线相等， 与 的余弦线相反.
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5. 设a＝ sin （－1），b＝ cos （－1），c＝tan（－1），则有
（　　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. c＜a＜b D. a＜c＜b
解析： 　如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，
正切线，因为－ ＜－1＜－ ，所以b＝ cos
（－1）＞0，a＝ sin （－1）＜0，c＝tan（－
1）＜0，又正切线的长度大于正弦线的长度，所
以a＞c，即c＜a＜b.
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6. （多选）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴
正半轴交于点A（1，0）.已知点B（x1，y1）在圆O上，点T的坐
标是（x0， sin x0），则下列说法中正确的是（　　）
B. 若y1＝ sin x0，则x1＝x0
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解析： 　由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有 ＝1·α
＝α，所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是
对应∠AOB的正弦值，即y1＝ sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦
值，即x1＝ cos x0，所以B错误；当y1＝ sin x0时，∠AOB＝x0＋
2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即 ＝x0
时，y1＝ sin x0一定成立，所以D正确.故选A、D.
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7. 若角α的正弦线的长度为 ，且方向与y轴的正方向相反，则 sin α
的值为 .
解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的，由题设可
知 sin α的值为－ .
－ 　
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8. 借助三角函数线比较 sin ， sin ， sin 的大小，由大到小排列
为 .
解析：在单位圆中作出 ， ， 角的正弦线，可知 sin ＞ sin
＞ sin .
sin ＞ sin ＞ sin 　
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9. 函数y＝ 的定义域为 　
.
解析：要使函数有意义，有1－2 sin x≥0，得
sin x≤ ，如图，确定正弦值为 的角的终边
OP与OP'，其对应的一个角分别为 π， π，
所求函数定义域为［2kπ＋ π，2kπ＋ π］
（k∈Z）.
（k∈Z）　
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10. 利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
（1）tan α＝－1；
解： 如图①所示，
过点（1，－1）和原点
作直线交单位圆于点P
和P'，则OP和OP'就是
角α的终边，∴∠xOP＝ ＝π－ ，∠xOP'＝－ ，
∴满足条件的所有角α的集合是{α｜α＝－ ＋kπ，k∈Z}.
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解：如图②所示，过点 作x轴的平行线，交单位圆
于点P和P'，
则 sin ∠xOP＝ sin ∠xOP'＝－ ，
∴∠xOP＝ ，∠xOP'＝ ，
∴满足条件的所有角α的集合是 .
（2） sin α＜－ .
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11. 若0≤θ＜2π，且不等式 cos θ＜ sin θ和tan θ＜ sin θ成立，则
角θ的取值范围是（　　）
解析： 　由三角函数线知，在[0，2π）内使 cos θ＜ sin θ的角
θ∈ ，使tan θ＜ sin θ的角θ∈ ∪ ，
故θ的取值范围是 .
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12. （多选）已知 sin α＞ sin β，那么下列说法不成立的是（　　）
A. 若α，β是第一象限角，则 cos α＞ cos β
B. 若α，β是第二象限角，则tan α＞tan β
C. 若α，β是第三象限角，则 cos α＞ cos β
D. 若α，β是第四象限角，则tan α＞tan β
解析： 　分别在四个象限内作出满足 sin α＞ sin β的两个角
α，β，再作出要比较的余弦线或正弦线.通过图形（图略）易得
选A、B、C.
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13. 已知α∈ ，求证：1＜ sin α＋ cos α＜ .
证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于
点P（x，y），过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，
M，N分别为垂足.
所以MP＝y＝ sin α，OM＝x＝ cos α，
在△OMP中，OM＋MP＞OP，
所以 sin α＋ cos α＞1.
因为S△OAP＝ OA·MP＝ y＝ sin α，
S△OBP＝ OB·NP＝ x＝ cos α，
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S扇形OAB＝ π×12＝ ，
又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，
所以 sin α＋ cos α＜ ，即 sin α＋ cos α＜ ，
所以1＜ sin α＋ cos α＜ .
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