【培优方案】7.2.3　同角三角函数的基本关系式（课件）人教B版数学必修第三册

(共55张PPT)
7.2.3　
同角三角函数的基本关系式
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式 逻辑推理
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行
化简、求值与证明 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带
雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克
萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意
是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅
膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域
热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两
种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联
系的观点.
【问题】　既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个
角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
知识点　同角三角函数的基本关系式
关系式 文字表述
平方关系 sin 2α＋ cos 2α
＝1 同一个角α的正弦、余弦的
等于1
商数关系 同一个角α的正弦、余弦的
等于角α的
平方
和　
tan α　
商　
正切　
提醒　同角三角函数基本关系式的变形：① sin 2α＝1－ cos 2α；②
cos 2α＝1－ sin 2α；③ sin α＝ cos αtan α；④ cos α＝ ；⑤
（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos α.
【想一想】
1. 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？
提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意
角，它要求α≠kπ＋ ，k∈Z.
2. “同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如 sin 2α＋ cos 2β＝1就不一定成立.二
是对任意一个角（在使得函数有意义的前提下），关系式都成立，
即与角的表达式形式无关，如 sin 215°＋ cos 215°＝1， sin 2（α
＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1等.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对 x∈R， sin 24x＋ cos 24x＝1. （　√　）
（2）对 x∈R，tan x＝ . （　×　）
（3）若 cos α＝0，则 sin α＝1. （　×　）
√
×
×
2. 设θ∈ ，若 sin θ＝ ，则 cos θ＝（　　）
解析： 　∵θ∈ ， sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝
＝ ，故选D.
3. 已知tan α＝－ ， ＜α＜π，则 sin α＝ 　 　.
解析：由tan α＝ ＝－ ，得 cos α＝－2 sin α.又因为 sin 2α
＋ cos 2α＝1，所以 sin 2α＋4 sin 2α＝1，即 sin 2α＝ .因为 ＜
α＜π，所以 sin α＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　题型一 利用同角三角函数的基本关系式求值
【例1】　（1）已知角α是第二象限角，且 cos α＝－ ，则tan α
的值是（　D　）
解析： 因为α为第二象限角，所以 sin α＝ ＝
＝ ，所以tan α＝ ＝ ＝－ .
D
（2）已知 ＝2，则 ＝ 　 　.
解析： 由 ＝2，化简得 sin α＝3 cos α，所以tan
α＝3.原式＝ ＝ .
　
【母题探究】
　（变设问）本例（2）条件不变，计算2 sin 2α－3 sin α cos α
的值.
解：因为tan α＝3，
所以原式＝ ＝ ＝ ＝
＝ .
通性通法
1. 求三角函数值的方法
（1）已知 sin θ（或 cos θ）求tan θ常用以下方式求解
（2）已知tan θ求 sin θ（或 cos θ）常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号
问题而对角θ分区间（象限）讨论.
2. 已知角α的正切求关于 sin α， cos α的齐次式值的方法
（1）关于 sin α， cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于
sin α， cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将
分子、分母同除以 cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α
的式子，再代入求值；
（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用 sin 2α＋ cos 2α来代
换，将分子、分母同除以 cos 2α，可化为关于tan α的式
子，再代入求值.
【跟踪训练】
1. 设α是第二象限角，tan α＝－ ，则 cos α＝（　　）
解析： 　因为α是第二象限角，所以 sin α＞0， cos α＜0.因为
tan α＝－ ，所以 ＝－ 　①.又 sin 2α＋ cos 2α＝1　②，
联立①②，解得 cos α＝－ .
2. 若tan θ＋ ＝4，则 sin θ cos θ＝（　　）
解析： 　∵tan θ＋ ＝4，∴ ＋ ＝4，即
＝4， sin θ cos θ＝ .故选D.
题型二 三角函数式的化简与证明
角度1　三角函数式的化简
【例2】　若 sin α·tan α＜0，化简 ＋ .
解：因为 sin α·tan α＜0，所以 cos α＜0.
原式＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－ .
通性通法
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名
称，达到化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后
去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造
sin 2α＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
角度2　三角函数式的证明
【例3】　求证： ＝ .
证明：法一　因为左边＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝右边.
所以原式成立.
法二　由法一知，左边＝ ，
右边＝ ＝ ，
所以左边＝右边，原式成立.
通性通法
证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开
始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等
于同一个量的两个量相等；
（3）比较法：即证左边－右边＝0或证 ＝1；
（4）综合法：即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到
所要证明的等式，其依据是等价转化的思想.
【跟踪训练】
1. 化简tan α ，其中α是第二象限角.
解：因为α是第二象限角，所以 sin α＞0， cos α＜0.故tan
α ＝tan α ＝tan α ＝ · ＝
· ＝－1.
2. 求证： ＝ .
证明：左边＝ ＝ ，
右边＝ ＝ .
因为 sin 2α＝1－ cos 2α＝（1＋ cos α）（1－ cos α），
所以 ＝ ，即左边＝右边，故原等式成立.
题型三 sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用
【例4】　已知 sin θ＋ cos θ＝ （0＜θ＜π），求 sin θ cos θ和
sin θ－ cos θ的值.
解：因为 sin θ＋ cos θ＝ （0＜θ＜π），
所以（ sin θ＋ cos θ）2＝ ，即 sin 2θ＋2 sin θ cos θ＋ cos 2θ＝ ，
所以 sin θ cos θ＝－ .
由上式可知，θ为第二象限的角，所以 sin θ－ cos θ＞0，
所以 sin θ－ cos θ
＝
＝ ＝ .
通性通法
　　已知 sin α± cos α， sin α cos α的求值问题，一般利用三角恒
等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
（1）（ sin α＋ cos α）2＝1＋2 sin α cos α；
（2）（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α；
（3）（ sin α＋ cos α）2＋（ sin α－ cos α）2＝2；
（4）（ sin α－ cos α）2＝（ sin α＋ cos α）2－4 sin α cos α.
【跟踪训练】
1. 已知 cos α－ sin α＝－ ，则 sin α cos α的值为（　　）
解析： 　由已知得（ cos α－ sin α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin
α cos α＝1－2 sin α cos α＝ ，所以 sin α cos α＝ .
2. 已知 sin x＋ cos x＝ ，且0＜x＜π.求 sin x， cos x，tan x的值.
解：∵ sin x＋ cos x＝ ，　①
两边平方，得 sin 2x＋2 sin x cos x＋ cos 2x＝ ，
∴2 sin x cos x＝－ ，
∴（ sin x－ cos x）2＝ sin 2x＋ cos 2x－2 sin x cos x
＝1＋ ＝ .
∵ sin x cos x＜0，而0＜x＜π，∴ sin x＞0， cos x＜0，
∴ sin x－ cos x＞0，则 sin x－ cos x＝ .　②
联立①②两式，
解得 sin x＝ ， cos x＝－ ，故tan x＝－ .
1. 如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（　　）
解析： 　由商数关系可知A、D项均不正确，当α为第二象限角
时， cos α＜0， sin α＞0，故B项正确.
2. 若 cos α＝－ ，α∈（0，π），则 sin α的值等于（　　）
解析： 　∵ cos α＝－ ，α∈（0，π），∴ sin α＝
＝ ＝ .故选C.
3. 已知tan α＝2，则 ＝（　　）
A. －5
解析： 　∵tan α＝2，∴ ＝ ＝ ＝
＝ .
4. 已知 sin θ－ cos θ＝ ，则 sin 3 θ－ cos 3 θ的值为 　 　.
解析：将 sin θ－ cos θ＝ 两边同时平方，得1－2 sin θ cos θ＝
，从而可得 sin θ cos θ＝ ，
故 sin 3θ－ cos 3θ＝（ sin θ－ cos θ）（ sin 2θ＋ sin θ cos θ
＋ cos 2 θ）＝ × ＝ .
　
5. 已知f（α）＝ ＋ ，其中α是第四象限角.
（1）化简f（α）；
解： ∵α是第四象限角，∴ sin α＜0， cos α＞0，
∴f（α）＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ ＝－ .
（2）若f（α）＝4，求 sin α， cos α.
解： ∵f（α）＝－ ＝4，∴ sin α＝－ ，
∴ cos α＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若α为第三象限角，则 ＋ 的值为（　　）
A. 3 B. －3
C. 1 D. －1
解析： 　原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2＝
－3.
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2. 若 sin α＝－ ，且α为第四象限角，则tan α的值等于（　　）
解析： 　因为 sin α＝－ ，且α为第四象限角，所以 cos α＝
，所以tan α＝－ .
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3. 已知 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，若θ是第二象限角，则tan θ
的值为（　　）
B. －2
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解析： 　∵ sin θ＝ ， cos θ＝－ ，∴ sin 2θ＋ cos 2θ＝
＋ ＝1，解得a＝0或a＝4.∵θ为第二象限角，
∴ sin θ＞0， cos θ＜0，∴a＝4，∴ sin θ＝ ， cos θ＝－ ，
tan θ＝－ .
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4. 化简 sin 21°＋ sin 22°＋ sin 23°＋…＋ sin 289°的结果是
（　　）
A. 89
C. 45
解析： 　∵ sin 1°＝ cos 89°， sin 2°＝ cos 88°，…， sin
89°＝ cos 1°，故设 cos 289°＋ cos 288°＋…＋ cos 22°＋ cos
21°＝t，则2t＝89，∴t＝ .
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5. 已知－ ＜θ＜ ，且 sin θ＋ cos θ＝a，其中a∈（0，1），则
tan θ可能等于（　　）
A. －3
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解析： 　因为 sin θ＋ cos θ＝a，a∈（0，1），两边平方可得
sin θ cos θ＝ ＜0，所以－ ＜θ＜0且 cos θ＞－ sin θ，所
以｜ cos θ｜＞｜ sin θ｜，借助三角函数线可知－ ＜θ＜0，则
－1＜tan θ＜0，故满足题意的值为－ .
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6. （多选）若1＋ sin θ ＋ cos θ ＝0成立，则角θ不
可能位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 　∵1＋ sin θ ＋ cos θ· ＝1＋ sin
θ·｜ sin θ｜＋ cos θ｜ cos θ｜＝0.又 sin 2θ＋ cos 2θ＝1，
∴即π＋2kπ≤θ≤ ＋2kπ（k∈Z）.故角θ不可能
在第一、二、四象限.
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7. 已知 ＝1，则α在第 象限.
解析：由 ＝1 tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限.
二或四　
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8. 化简： · sin 2x＝ 　tan x 　.
解析：原式＝（tan x＋ ） sin 2x＝（ ＋ ） sin 2x＝
· sin 2x＝ ＝tan x（x≠ ，k∈Z）.
tan x 　
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9. 已知θ∈（0，2π），且 sin θ， cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的
两个实数根，则实数k＝ ，θ＝ .
解析：依题意有 sin θ＋ cos θ＝k，　①
sin θ cos θ＝k＋1.　②
－1　
π或 　
又∵（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ，∴k2－2k－3＝0.解
得k＝3或k＝－1.∵｜ sin θ cos θ｜＝｜k＋1｜≤1，∴k＝－1.
代入①②，得解得或
又∵θ∈（0，2π），∴θ＝π或 .
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10. 化简：（1） ；
解： 原式＝
＝
＝ ＝ ＝1.
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（2） .
解： 原式＝
＝ ＝ cos θ.
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11. （多选）下列计算或化简结果正确的是（　　）
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解析： 　A正确， ＝ · ＝2；B正确，tan
θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2；C不正确， ＝
＝ ＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝ ＋
＝2.故选A、B、D.
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12. 若tan α＋ ＝3，则 sin α cos α＝ 　 　；tan2α＋
＝ .
解析：∵tan α＋ ＝3，∴ ＋ ＝3，即 ＝
3，∴ sin α cos α＝ ，tan2α＋ ＝ －2tan
α· ＝9－2＝7.
　
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13. 已知 ＝ ，α∈ .
（1）求tan α的值；
解： 由 ＝ ，得3tan2α－2tan α－1＝0，
即（3tan α＋1）（tan α－1）＝0，
解得tan α＝－ 或tan α＝1.
因为α∈ ，所以tan α＜0，所以tan α＝－ .
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（2）求 的值.
解： 由（1），得tan α＝－ ，所以 ＝
＝ ＝ .
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