【培优方案】7.3.3　余弦函数的性质与图象（课件）人教B版数学必修第三册

(共67张PPT)
7.3.3　
余弦函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数y＝
cos x和y＝A cos （ωx＋φ）的图象 逻辑推理
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单
调区间及最值 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰
电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的
运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车
时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下
由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）等几个循环路径.
【问题】　（1）函数y＝ cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑
落”，这是它的什么性质？
（2）过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y
＝ cos x的什么性质？y＝ cos x在什么位置取得最值？
知识点一　余弦函数的图象
1. 余弦函数
对于任意一个角x，都有 确定的余弦 cos x与之对应，所
以y＝ cos x是一个函数，一般称为 .
2. 余弦函数y＝ cos x图象的画法
（1）平移法：由 cos x＝ sin 知，余弦函数y＝ cos x 的
图象可以通过将正弦曲线y＝ sin x向 平移 个
单位得到；
唯一　
余弦函数　
左　
　
（2）五点法：函数y＝ cos x在[0，2π]内的图象的五个关键点分别
是：（0，1）， ， ， 　 　，
（2π，1）.
提醒　正（余）弦函数图象的说明：比较正弦函数y＝ sin
x、余弦函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象，二者的图象的
最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有两个，
而正弦函数的图象与x轴的交点有三个；余弦函数图象的最
高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个.
（π，－1）　
　
【想一想】
　函数y＝ sin x的图象向右平移能得到函数y＝ cos x的图象吗？
提示：能.向右平移 个单位.
　用“五点法”作函数y＝ cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五
个点的横坐标是（　　）
C. 0，π，2π，3π，4π
解析： 　令2x＝0， ，π， 和2π，得x＝0， ， ， ，π，故
选B.
知识点二　余弦函数的性质
函数 y＝ cos x
定义域 R
值域 [－1，1]
最值 当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；当x＝（2k＋1）π
（k∈Z）时，ymin＝－1
周期性 是周期函数，最小正周期为2π
奇偶性 是偶函数，图象关于y轴对称
函数 y＝ cos x
单调性 当x∈[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）时，函数单调递
增；当x∈[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）时，函数单
调递减
零点
图象的对称性
【想一想】
1. 余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质？
提示：余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴.
2. 余弦型函数y＝A cos （ωx＋φ）的周期是多少？
提示：T＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）余弦函数在区间 上是单调递增的. （　×　）
（2）方程2 cos x＋3＝0一定有解. （　×　）
（3）函数y＝ cos 的一条对称轴为 . （　×　）
×
×
×
2. 函数y＝1－2 cos x的最小值，最大值分别是（　　）
A. －1，3 B. －1，1
C. 0，3 D. 0，1
解析： 　∵－1≤ cos x≤1，∴－1≤y≤3.
3. 函数y＝ cos 的单调递减区间是 　
.
解析：由2kπ≤x－ ≤2kπ＋π可得：2kπ＋ ≤x≤2kπ＋π＋ ，
即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）.
（k∈Z）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　题型一 余弦型函数的图象
【例1】　用“五点法”作函数y＝3－2 cos x，x∈[0，2π]的简图.
解：按五个关键点列表、描点画出图象（如图）.
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
y＝3－2
cos x 1 3 5 3 1
通性通法
1. “五点法”作余弦函数y＝ cos x图象的策略
（1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等
分，分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五
个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑，注意凸凹
方向；
（2）五个关键点的确定：使函数中x取0， ，π， ，2π，然后
求出相应的y值，再作出图象.
2. 余弦函数图象变换技巧
当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换.在
变换时要注意两点：一是平移变换的规则，“左加右减”“上加下
减”；二是对于先伸缩后平移变换中，要注意函数y＝ cos （ωx＋
φ）（ω＞0）中ω的值.
【跟踪训练】
　用“五点法”作出函数y＝ cos （x＋ ），x∈［－ ， π］的
简图.
解：列表如下：
x
0 π 2π
y＝ cos μ 1 0 －1 0 1
描点作图（如图）.
题型二 余弦型函数的单调性
【例2】　（1）函数f（x）＝5 cos 的一个单调递减区间是
（　　）
解析： f（x）＝5 cos ，由2kπ≤3x＋ ≤π＋
2kπ（k∈Z），得 － ≤x≤ ＋ （k∈Z），所以
是f（x）的一个单调递减区间.
（2）设a＝ cos ，b＝ sin ，c＝ cos ，则（　　）
A. a＞c＞b B. c＞b＞a
C. c＞a＞b D. b＞c＞a
解析： sin ＝ sin ＝－ sin ＝ sin ＝ cos ， cos
＝ cos ＝ cos ＝ cos ，因为y＝ cos x在 上
是减函数，所以 cos ＞ cos ＞ cos ，即a＞c＞b.
通性通法
1. 余弦型函数单调区间的求法
（1）如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正；
（2）将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的
范围；
（3）若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求
出符合条件的单调区间.
2. 关于三角函数值比较大小
利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间
内，利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 函数y＝－3 cos x－1的单调递减区间是
.
解析：∵函数y＝ cos x的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ]
（k∈Z），∴函数y＝－3 cos x－1的单调递减区间是[－π＋2kπ，
2kπ]（k∈Z）.
[－π＋2kπ，2kπ]
（k∈Z）
2. 比较大小： cos π cos π.
解析：∵ cos π＝ cos ＝ cos ， cos ＝ cos
＝ cos ，而0＜ ＜ ＜ ，∴ cos ＞ cos ，即 cos ＞ cos
.
＞　
题型三 余弦函数的最值问题
角度1　定区间上求值域
【例3】　求函数f（x）＝ cos x，x∈ 上的值域.
解：由余弦函数的性质可知，f（x）＝ cos x在 上递增，在
上递减，
又因为f ＝ ，f（0）＝1，f ＝ ，
所以函数的最大值为1，最小值为 ，
故值域为 .
【母题探究】
　（变条件）若将本例中的函数变为g（x）＝ cos （2x－ ），区间
不变，求函数的值域.
解：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x－ ≤ ，
令t＝2x－ ，则y＝ cos t在区间 上递增，在 上递
减，所以y＝ cos t的最大值为1，因为 cos ＝ cos ＜ cos ，
故最小值为 cos ＝－ ，
故原函数的值域为 .
通性通法
求定区间上余弦函数的值域
　　求定区间上的值域：可先计算t＝ωx＋φ的范围，根据y＝ cos t在
所求出的范围内的单调性求值域.
角度2　与二次函数结合求最值
【例4】　求函数y＝ sin 2x＋ cos x的值域.
解：y＝ sin 2x＋ cos x＝1－ cos 2x＋ cos x
＝－ cos 2x＋ cos x＋1＝－ ＋ ，
令t＝ cos x，则y＝－ ＋ ，t∈[－1，1].
因为－1≤t≤1，所以当t＝ 时，ymax＝ ；
当t＝－1时，ymin＝－ .
因此函数y＝ sin 2x＋ cos x的值域为 .
通性通法
与余弦函数有关的最值问题
（1）求在R上的值域：当余弦在1或－1处取得最值，可直接代入验
证，或分情况代入；
（2）关于余弦的二次式求最值：可用换元法，配方法求最值.
【跟踪训练】
　函数y＝ sin 2x＋ cos x 的值域为 　 　.
解析：设 cos x＝t，因为－ ≤x≤ ，则t∈ ，所以y＝1－
cos 2x＋ cos x＝－（t－ ）2＋ ，t∈［ ，1］，故当t＝ ，即x
＝± 时，y的最大值为 ；当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.
所以函数的值域为 .
　
题型四 余弦型函数的奇偶性与对称性
【例5】　已知函数y＝2 cos .
（1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
解： 令2x＋ ＝kπ，k∈Z，解得x＝ － （k∈Z）.
令k＝0，x＝－ ；令k＝1，x＝ .∴函数y＝2 cos
的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝ .
（2）把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ
的最小正值.
解： 设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f（x），
则f（x）＝2 cos ＝2 cos （2x＋ －
2φ）.∵y＝f（x）的图象关于原点（0，0）对称，∴f（0）＝
2 cos ＝0.∴ －2φ＝kπ＋ ，k∈Z. 解得φ＝ －
（k∈Z）.令k＝0，得φ＝ ，∴φ的最小正值是 .
通性通法
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论
（1）f（x）＝A sin （ωx＋φ）（或A cos （ωx＋φ））的图象关于x
＝x0对称 f（x0）＝A或－A；
（2）f（x）＝A sin （ωx＋φ）（或A cos （ωx＋φ））的图象关于
点（x0，0）中心对称 f（x0）＝0.
【跟踪训练】
1. 设函数f（x）＝ sin ，x∈R，则f（x）是（　　）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
解析： 　∵ sin ＝－ sin ＝－ cos 2x，∴f（x）
＝－ cos 2x.又f（－x）＝－ cos （－2x）＝－ cos 2x＝f（x），
∴f（x）是最小正周期为π的偶函数.
2. 若函数y＝ cos （ω∈N＋）图象的一个对称中心是
，则ω的最小值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
解析： 　由题意有 ω＋ ＝kπ＋ （k∈Z），整理得ω＝6k＋2
（k∈Z）.又ω∈N＋，所以ω的最小值为2，故选B.
1. 函数y＝1－ cos x，x∈[0，2π]的大致图象为（　　）
解析： 　可根据x∈[0，2π]取x＝0，π，2π验证知选D.
2. （多选）下列函数中，最小正周期为π的有（　　）
A. y＝ cos ｜2x｜ B. y＝｜ cos x｜
解析： 　y＝ cos ｜2x｜＝ cos 2x的最小正周期为π；y＝｜
cos x｜的最小正周期为π；y＝ cos （2x＋ ）的最小正周期为π；
y＝ sin 的最小正周期为2π.
3. 比较大小：
（1） cos 15° cos 35°；
解析： ∵0°＜15°＜35°＜90°，且当0°≤x≤90°
时，y＝ cos x单调递减，∴ cos 15°＞ cos 35°.
（2） cos cos .
解析： ∵－ ＜－ ＜－ ＜0，且y＝ cos x在［－ ，
0］上单调递增，∴ cos ＜ cos .
＞　
＜　
4. 求函数y＝3－2 cos 的对称中心坐标，对称轴方程.
解：由于y＝ cos x的对称中心坐标为 （k∈Z），对
称轴方程为x＝kπ（k∈Z），
又由2x－ ＝kπ＋ ，得x＝ ＋ （k∈Z）；
由2x－ ＝kπ，得x＝ ＋ （k∈Z），
故y＝3－2 cos 的对称中心坐标为
（k∈Z），
对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 函数y＝ cos x＋｜ cos x｜，x∈[0，2π]的大致图象为（　　）
解析： 　由题意得y＝
显然只有D合适.
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2. 下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（　　）
A. y＝ cos ｜x｜ B. y＝ cos ｜－x｜
解析： 　y＝ cos ｜x｜在 上是减函数，排除选项A；y＝
cos ｜－x｜＝ cos ｜x｜，排除选项B；y＝ sin ＝－ sin
＝－ cos x，是偶函数，且在（0，π）上单调递增，选项C
符合题意；y＝－ sin 在（0，π）上是单调递减的.故选C.
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3. 函数y＝｜ cos x｜的一个单调减区间是（　　）
解析： 　作出函数y＝｜ cos x｜的
图象如图所示，由图象可知，A、B
都不是单调区间，D是单调增区间，
C是单调减区间.
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4. 函数y＝2 sin 2x＋2 cos x－3的最大值为（　　）
A. －1 B. 1
D. －5
解析： 　由题意，得y＝2 sin 2x＋2 cos x－3＝2（1－ cos 2x）＋
2 cos x－3＝－2 － .因为－1≤ cos x≤1，所以当 cos x
＝ 时，函数有最大值－ .
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5. （多选）设函数f（x）＝ cos ，则下列结论正确的是
（　　）
A. f（x）的一个周期可为－2π
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解析： 　函数f（x）＝ cos ，则函数的周期为π的倍
数，故A正确.当x＝ 时，f ＝－1，故f（x）的图象关于直
线x＝ 对称，故B正确.f（x）的单调递减区间为 ，故C错误.f ＝ cos ＝0，故f（x＋π）的一个
零点为x＝ ，故D正确.
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6. 已知m是函数f（x）＝ cos x图象的一个对称中心的横坐标，则f
（m）＝（　　）
A. －1 B. 0
D. 1
解析： 　函数f（x）＝ cos x图象的对称中心的横坐标为x＝ ＋
kπ，k∈Z，则m＝ ＋kπ，k∈Z，从而f（m）＝f ＝
cos ＝0.
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7. 函数 （x）＝3 cos （ω＞0）的最小正周期为 ，则
（π）＝ .
解析：由已知 ＝ 得ω＝3，∴ （x）＝3 cos ，∴
（π）＝3 cos ＝3 cos ＝－3 cos ＝－ .
－ 　
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8. 将函数y＝ cos 的图象向左平移 个单位长度，则所得
图象的解析式为 .
解析：将函数y＝ cos 的图象向左平移 个单位长度，
所得图象对应的函数为y＝ cos ［2 ＋ ］＝ cos （2x
＋π）＝－ cos 2x.
y＝－ cos 2x　
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9. 函数y＝A cos （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象
在同一周期内有最高点 ，最低点 ，则该函数的解
析式为 .
y＝4 cos －1　
解析：∵2A＝3－（－5）＝8，∴A＝4.
∵2b＝3＋（－5）＝－2，∴b＝－1.
又 ＝ － ＝ ，∴T＝π，∴ω＝ ＝2.
∴y＝4 cos （2x＋φ）－1.
又函数的图象过点 ，从而3＝4 cos （2× ＋φ）－1，
∴ cos ＝1，即 ＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，
又｜φ｜＜ ，∴φ＝－ ，∴y＝4 cos －1.
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10. 已知函数y1＝a－b cos x的最大值是 ，最小值是－ ，求函数y＝
－4a sin 3bx的最大值.
解：∵函数y1的最大值是 ，最小值是－ ，当b＞0时，由题意得
∴当b＜0时，由题意得
∴因此函数y＝－2 sin 3x或y＝2 sin 3x的
最大值均为2.
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11. （多选）对于函数f（x）＝下列说法中不
正确的是（　　）
A. 该函数的值域是[－1，1]
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解析： 　画出函数f（x）的图象
（如图），由图象容易看出：该函数
的值域是 ；当x＝2kπ＋
或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋ ，k∈Z时，函数取得最小值－ ；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋ ，k∈Z时，f（x）＜0，可知A、B、C不正确.
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12. 已知函数f（x）＝a cos x＋b的最大值为1，最小值为－3，则函
数g（x）＝b sin x＋a的最大值为 ，最小值为
.
－1或3　
1或－
3　
解析：由题意知或解得
或故函数g（x）的最大值为a－b＝a＋1，即最大值
为3或－1，函数g（x）的最小值为a＋b＝a－1，即最小值为1
或－3.
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13. 已知函数f（x）＝A cos （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）
的部分图象如图所示.
（1）求f（x）的解析式；
解： 由题图知A＝2， ＝ － ＝ ，
∴T＝π，∴ω＝2.
∴f（x）＝2 cos （2x＋φ）.
又f（x）过点 代入得2 cos ＝2，
∴ cos ＝1，
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∴ ＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，
又｜φ｜＜ ，∴φ＝－ .
∴f（x）＝2 cos .
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（2）若x∈ ，求f（x）的取值范围.
解： ∵x∈ ，
∴2x－ ∈ ，
∴ cos ∈ ，
∴f（x）∈（－ ，2].
∴当x∈ 时，f（x）的取值范围是
（－ ，2].
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14. 重庆是西部大开发重要的战略支点、“一带一路”和长江经济带
重要联结点以及内陆开放高地；重庆是享誉世界的山城，雾都和
英雄城，近年来又以桥都扬名世界.重庆有数十座各式各样的大桥
横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱
桥，其主体造型为：拱桥部分（开口向下的抛物线）与主桁（图
中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合.已知桥
拱部分跨度长552 m，两端引桥各长190 m，主桁最高处距离桥面
89.5 m，则下列函数中，将其图象上每一点的横、纵坐标等倍扩
大后所得到的图象，与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是（　）
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解析： 　由题意，
建立平面直角坐标
系，如图所示：
则f（x）＝A cos
ωx，其中A＝ ≈45，T＝552＋190＋190＝932≈900，若按100∶1的比例缩小，则A'＝0.45，T'＝9，ω＝ ≈ ＝ ，所以
函数y＝0.45 cos x.故选A.
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15. 已知函数f（x）＝2 cos ωx（ω＞0），且函数y＝f（x）的图象
的相邻两条对称轴间的距离为 .
（1）求f 的值；
解： 由题意可知 ＝π，故ω＝2，则f（x）＝2 cos
2x，故f ＝2 cos ＝ .
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（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度后，再将得
到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不
变），得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的单调
递减区间.
解： 将y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度后，
得到y＝f 的图象，再将得到的函数图象上各点的横
坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到y＝f 的
图象，故g（x）＝f（ － ）＝2 cos ＝2 cos
.
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当2kπ≤ － ≤2kπ＋π（k∈Z），即4kπ＋ ≤x≤4kπ＋
（k∈Z）时，y＝g（x）单调递减，故y＝g（x）的单调递减区间
为［4kπ＋ ，4kπ＋ ］（k∈Z）.
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