【培优方案】7.3.5　已知三角函数值求角（课件）人教B版数学必修第三册

(共52张PPT)
7.3.5　
已知三角函数值求角
新课程标准解读 核心素养
1.会利用三角函数线求角 直观想象、数学运算
2.会用符号arc sin x，arc cos x，arctan x表
示角 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数
在内的广泛的数学知识.
【问题】　已知 sin x＝ ，你能求出满足条件的角x吗？
知识点　arc sin x，arc cos x，arctan x的含义
1. 任意给定一个y∈[－1，1]，当 sin x＝y且x∈ 时，通常
记作：x＝ .
2. 在区间[0，π]内，满足 cos x＝y（y∈[－1，1]）的x只有一个，
通常记作：x＝ .
3. 在区间 内，满足tan x＝y（y∈R）的x只有一个，通常
记作：x＝ .
arc sin y　
arc cos y　
arctan y　
【想一想】
　符号arc sin α（α∈[－1，1]），arc cos α（α∈[－1，1]），
arctan α（α∈R）分别表示什么？
提示：arc sin α表示在区间 上，正弦值为α的角；arc cos α
表示在区间 上，余弦值为α的角；arctan α表示在区间
上，正切值为α的角.
1. （多选）下列说法中正确的是（　　）
B. arc sin 0＝0
解析： 　根据已知正弦值求角的定义知arc sin （－1）＝－
，故C项错误.易知A、B、D正确.
2. 已知α是三角形的内角，且 sin α＝ ，则α＝ 　 或 　.
解析：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），当 sin α＝
时，α＝ 或 .
3. 已知tan 2x＝－ 且x∈[0，π]，则x＝ 　 或 　.
解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].∵tan 2x＝－ ，∴2x＝
或2x＝ ，∴x＝ 或 .
或 　
或 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
　　
题型一 已知正弦函数值求角
【例1】　求下列范围内适合 sin x＝ 的x的集合.
（1）x∈ ；
解： 由y＝ sin x在 上是增函数及反正弦函数的概
念，知适合 sin x＝ 的角x只有一个，即x＝ .这时，适合 sin
x＝ 的x的集合为 .
（2）x∈[0，2π]；
解：当x∈[0，2π]时，由诱导公式 sin （π－x）＝ sin x＝
及 sin ＝ sin ＝ ，可知x1＝ ，x2＝ .这时，适合 sin x＝
的x的集合为 .
解：当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋
（k∈Z）或x＝2kπ＋ （k∈Z）时， sin x＝ ，
则所求的x的集合是
.
（3）x∈R.
通性通法
1. 给值求角问题，关键是看角的范围，通常借助单位圆或三角函
数在一个周期上的图象，根据相应三角函数值确定一个单调区
间内或一个周期内的角，再利用终边相同角把所求范围内的所
在角表示出来.
2. 对于已知正弦值求角有如下规律
sin x＝α （｜α｜≤1） x∈[0，2π] x＝arc sin α 0≤α≤1 －1≤α＜0
x1＝arc sin α， x2＝π－arc sin α x1＝π－arc sin α，
x2＝2π＋arc sin α
【跟踪训练】
　已知 sin ＝ ，x∈R，求角x的取值集合.
解：法一　由 sin ＝ ＞0可知，角x＋ 对应的正弦线方向朝
上，且长度为 .
作出示意图如图①所示.
由图①可知角x＋ 的终
边可能是OP，也可能是
OP'.
又 sin ＝ sin ＝ ，
所以x＋ ＝2kπ＋ 或x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，即x＝ ＋2kπ或x＝ ＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 .
法二　作出y＝ sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝ ，如图②所示，
由图②可知 sin ＝ sin ＝ ，
所以x＋ ＝2kπ＋ 或x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，
即x＝ ＋2kπ或x＝ ＋2kπ，k∈Z.
所以角x的取值集合为
.
题型二 已知余弦函数值求角
【例2】　（1）已知 cos ＝ ，求x；
解： 由 cos ＝ ＞0，
知角2x－ 对应的余弦线方向向右，且长度为 ，
如图所示，可知角2x－ 的终边可能是OP，也可能是OP'.
又因为 cos ＝ cos ＝ ，
所以2x－ ＝－ ＋2kπ或2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z.
所以x＝ ＋kπ或x＝ ＋kπ，k∈Z.
（2）求不等式 cos ＞－ 的解集.
解： 如图所示，
在[－π，π]上， x＋ ＝－ 或 x＋ ＝ 时， cos
＝－ ，
所以 x＋ ＝－ ＋2kπ或 x＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z时， cos
＝－ .
令－ ＋2kπ＜ x＋ ＜ ＋2kπ，k∈Z，
解得－ ＋4kπ＜x＜ ＋4kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为
.
通性通法
利用余弦值求角、解不等式
　　将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过
周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.
【跟踪训练】
　已知 cos x＝－ .
（1）当x∈[0，π]时，求x；
解： 因为 cos x＝－ 且x∈[0，π]，
所以x＝arc cos .
（2）当x∈R时，求x的取值集合.
解： 当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解.
因为 cos x＝－ ，故x是第二或第三象限角.
由（1）知x＝arc cos 是第二象限角，
又 cos ［2π－arc cos （－ ）］＝ cos ［arc cos ］＝－ ，
且2π－arc cos ∈ ，
所以由余弦函数的周期性知，当x＝arc cos ＋2kπ或x＝2π
－arc cos ＋2kπ（k∈Z）时， cos x＝－ ，
即所求x值的集合是{x｜x＝2kπ±arc cos ，k∈Z}.
题型三 已知正切函数值求角
【例3】　已知tan α＝－3.
（1）若α∈ ，求角α；
解： 由正切函数在开区间 上是增函数可知，符
合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan（－3）.
（2）若α∈R，求角α.
解： α＝kπ＋arctan（－3）（k∈Z）.
通性通法
1. 已知角的正切值求角，可先求出 内的角，再由y＝tan x
的周期性表示所给范围内的角.
2. tan α＝a，α∈R的解集为{α｜α＝kπ＋arctan a，k∈Z}.
【跟踪训练】
　已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
解：因为tan x＝－1＜0，
所以x是第二或第四象限角.
由tan ＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－ .
又由tan ＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝
－ π，
所以在[－2π，0]内满足条件的角是－ 与－ .
1. arc cos ＝（　　）
解析： 　由arc cos 的定义可得arc cos ＝π－arc cos ＝π
－ ＝ .故选C.
2. ＝（　　）
B. 0 C. 1
解析： 　因为arc sin ＝ ，arc cos ＝ ，arctan（－ ）
＝－ ，所以原式＝ ＝1.
3. 若3tan x－1＝0，0＜x＜2π，则x＝（　　）
解析： 　由题意知tan x＝ ，x∈（0，2π），则x＝arctan 或x＝
π＋arctan ，故选C.
4. 已知 sin α＝ ，根据下列所给范围求α.
（1）α为锐角；
解： 因为 sin α＝ ，且α为锐角，即α∈ ，
所以α＝ .
（2）α为第二象限的角.
解： 因为 sin α＝ ，且α为第二象限的角，
所以在（0，2π）内满足条件的角为 .
所以符合条件的所有角为α＝2kπ＋ （k∈Z）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 已知 sin x＝ ，x∈ ，则x＝（　　）
解析： 　因为arc sin ∈ ，所以π－arc sin ∈ ，
所以 sin x＝ ，x∈ ，x＝π－arc sin .
2. 已知 cos x＝－ ，x∈[0，π]，则x＝（　　）
解析： 　arc cos ∈（0， ），所以π－arc cos ∈ .所以
cos x＝－ ，x∈[0，π]，x＝π－arc cos .
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3. 函数y＝arctan － 的一个值域是（　　）
解析： 　因为 ≥0，所以arctan ∈ ，则arctan －
∈ ，故选B.
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4. 若P（－1，2）是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为
（　　）
C. arctan（－2） D. 以上都不对
解析： 　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－2，
又α∈ ，可知α＝π－arc sin ＝arc cos ＝π＋arctan
（－2）.故选B.
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5. 已知等腰三角形的顶角为arc cos ，则底角的正切值是
（　　）
解析： 　由题意得三角形顶角为arc cos ＝ ，底角为
＝ .故tan ＝ .
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6. （多选）以下为三角方程 sin x＝ （x∈[0，2π））的解的是
（　　）
解析： 　因为 sin x＝ ，x∈[0，2π），所以x＝arc sin ，或x
＝π－arc sin ，所以方程的解集为 .故选
A、B.
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7. arc cos ＝ 　 　.
解析：因为 cos ＝ ，且0＜ ＜1，所以arc cos ＝ .
　
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8. 若tan α＝ ，且α∈ ，则α＝ 　 　.
解析：因为tan ＝ ，又α∈ ，所以α＝π＋ ＝ .
　
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9. 已知函数f（x）＝ cos ωx，g（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞
0），且g（x）的最小正周期为π.若f（α）＝ ，α∈[－π，
π]，则α的取值集合为 .
　
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解析：因为g（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，所
以 ＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝ cos 2x.由f（α）＝ ，
得 cos 2α＝ ，即 cos 2α＝ ，所以2α＝2kπ± ，k∈Z.
则α＝kπ± ，k∈Z. 因为α∈[－π，π]，所以α∈
.
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10. 求值：（1） ；
解： ∵arc sin ＝ ，arc cos ＝ ，
arctan （－1）＝－
∴原式＝ ＝－1＋ ＝ .
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解： ∵arc sin ＝ ，∴ sin ＝ sin ＝ .
∵ sin ＝ ，∴arc sin ＝arc sin ＝ .
∵arc cos ＝ ，∴ cos ＝ cos ＝ ，
∵ cos ＝－ ，∴arc cos ＝arc cos ＝ ，
∴原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝π＋1.
（2） sin （arc sin ）＋arc sin ＋ cos ＋arc cos
.
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11. （多选）下列式子，正确的有（　　）
解析： 　对于A，在arc sin x中－1≤x≤1，而 ＞1.故A式无
意义；对于B，在 上只有 sin ＝－ ，所以arc sin
＝－ ，故B正确；对于C、D，由定义知是正确的.故选B、
C、D.
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12. arc cos ＝ 　 　.
解析：∵ cos ＝ cos ，且 cos ＝ ∈[0，1]，∴arc cos
＝arc cos ＝ .
　
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13. 设函数f（x）＝tan .
（1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称
中心；
解： 由 － ≠kπ＋ ，得到函数的定义域为
；
周期T＝2π；
由kπ－ ＜ － ＜kπ＋ （k∈Z），解得f（x）的单调递
增区间为 （k∈Z），无减区间；
由 － ＝ 得x＝ ＋kπ（k∈Z），故f（x）的对称中
心为 （k∈Z）.
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（2）求不等式－1≤f（x）≤ 的解集.
解： 由题意，kπ－ ≤ － ≤kπ＋ （k∈Z），
解得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ（k∈Z），
可得不等式－1≤f（x）≤ 的解集为{x｜ ＋
2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}.
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14. 已知 sin x＝ ，则当x∈ 时，x＝ 　 　，当x∈[0，
2π]时，x＝ .
解析：∵y＝ sin x在 上是增函数，且 sin ＝ ，∴x＝
.∵ sin x＝ ＞0，∴x为第一或第二象限的角，且 sin ＝ sin
＝ ，∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝ 或x＝ π.
　
或 π　
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15. 求函数y＝arc sin （ sin x）的定义域、值域，判断它的奇偶性、
单调性、周期性.
解：对于函数y＝arc sin （ sin x），根据－1≤ sin x≤1，求得
x∈R，故函数的定义域为R.
根据反正弦函数的定义可得y∈ .
再根据y＝f（x）＝arc sin （ sin x）满足f（－x）＝arc sin [ sin
（－x）]＝arc sin [－ sin x]＝－arc sin （ sin x）＝－f（x），
故函数f（x）为奇函数.
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在R上，当x增大时，函数t＝ sin x不具备单调性，故函数y＝arc
sin （ sin x）在定义域R上不具备单调性.
再根据y＝f（x）＝arc sin （ sin x）满足f（x＋2π）＝arc sin
[ sin （x＋2π）]＝arc sin （ sin x）＝f（x），
可得函数y的一个周期为2π.
由于不存在T∈（0，2π），使f（x＋T）＝f（x）对于定义域内
的任意x都成立，故函数y的最小正周期为2π.
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