(共53张PPT)
第二课时
诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了
解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝.
【问题】 你知道“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？
知识点 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
1. 诱导公式⑤
sin ＝ ； cos ＝ .
2. 诱导公式⑥
sin ＝ ； cos ＝ .
cos α
sin α
cos α
－ sin α
4. 诱导公式⑧
sin ＝ ； cos ＝ .
－ cos α
－ sin α
3. 诱导公式⑦
sin ＝ ； cos ＝ .
－ cos α
sin α
【想一想】
1. 角 －α与角α的终边有什么样的位置关系？
提示：如图，角 －α与角α的终边关于y＝x对称.
2. 点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是什么？
提示：点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是P2（b，a）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧中的角α只能是锐角. （ × ）
（2） sin ＝ cos α. （ × ）
（3）若α为第二象限角，则 sin ＝ cos α. （ √ ）
（4） cos ＝－ sin α. （ √ ）
×
×
√
√
2. 已知 sin （ ＋θ）－3 cos （θ－ ）＝0，则tan θ＝ － .
解析：由 sin －3 cos ＝0，可得－ cos θ－3 sin θ
＝0，tan θ＝－ .
3. 已知 sin ＝ ，那么 cos α＝ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用诱导公式求值
【例1】 （1）已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°＝
（ B ）
A. B.
C. － D. －
解析： sin 239°tan 149°＝ sin （270°－31°）·tan
（180°－31°）＝－ cos 31°·（－tan 31°）＝ sin 31°＝
＝ .
B
（2）已知 cos （π＋α）＝－ ，α为第一象限角，则 cos
＝ ；
解析： 因为 cos （π＋α）＝－ cos α＝－ ，所以 cos α
＝ ，又α为第一象限角，则 cos ＝－ sin α＝－
＝－ ＝－ .
－
（3）已知 sin ＝ ，则 cos ＝ .
解析： cos ＝ cos ＝
sin ＝ .
通性通法
解决化简求值问题的策略
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原
则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函
数名称转化，以保证三角函数名称最少；
（2）对于kπ±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不
变名，而后一套公式必须变名.
注意 常见的互余关系有： －α与 ＋α， ＋α与 －α
等；常见的互补关系有： ＋θ与 －θ， ＋θ与 －θ等.
【跟踪训练】
已知 sin ＝ ，则 cos 的值为（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： ∵ ＋α－ ＝ ，∴ cos ＝ sin
＝ sin ＝－ sin ＝－ .
题型二 利用诱导公式化简
【例2】 化简：
－ .
解：∵ sin （4π－α）＝ sin （－α）＝－ sin α，
cos ＝ cos ＝ cos ＝－ sin α，
sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ cos α，
tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tan α，
sin （3π－α）＝ sin （π－α）＝ sin α，
∴原式＝ － ＝－ ＋ ＝ ＝ ＝1.
通性通法
用诱导公式进行化简时的注意点
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母尽量不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
【跟踪训练】
化简：（1） sin cos ；
解： 原式＝ · sin ［－（ －α）］（－ sinα）
＝ · （－ sin α）
＝ ·（－ cos α）（－ sin α）
＝－ cos 2α.
（2） sin （－α－5π） cos － sin cos （α－2π）.
解： 原式＝ sin （－α－π） cos － sin ［π＋
（ ＋α）］· cos [－（2π－α）]
＝ sin [－（α＋π）] cos ＋ sin cos （2π－α）
＝－ sin （α＋π） sin α＋ cos α cos α
＝ sin 2α＋ cos 2α
＝1.
题型三 诱导公式的综合应用
【例3】 已知f（α）＝ .
（1）化简f（α）；
解： f（α）＝
＝ ＝－ sin α.
（2）若 cos ＝－ ，求f（α）的值.
解： 因为 cos ＝－ ，
即 cos ＝ cos
＝ cos ＝ sin α＝－ ，即 sin α＝－ ，
由（1）知f（α）＝－ sin α＝ .
【母题探究】
（变结论）本例的条件不变，若 cos （3π－α）＝ ，求
f 的值.
解：由 cos （3π－α）＝ 可得 cos α＝－ ，由本例可知f
＝－ sin ＝－ sin ［8π－（ －α）］＝ sin ＝ cos α
＝－ .
通性通法
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减
分析两角的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分
子分母同乘一个式子变形.
【跟踪训练】
已知角α为第二象限的角，且其终边与单位圆交于点P ，试
求 的值.
解：由题意知m2＋ ＝1，解得m2＝ ，
因为α为第二象限角，故m＜0，
所以m＝－ ，所以 sin α＝ ， cos α＝－ .
原式＝ ＝ ＝－ .
1. sin 95°＋ cos 175°＝（ ）
A. sin 5° B. cos 5°
C. 0 D. 2 sin 5°
解析： 原式＝ sin （90°＋5°）＋ cos （180°－5°）＝ cos
5°－ cos 5°＝0.故选C.
2. 化简： sin ＝（ ）
A. sin x B. cos x
C. － sin x D. － cos x
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝ cos x.
3. 已知 sin ＝ ，则 sin ＋ cos ＝ .
解析： sin ＝ sin ＝ sin （x＋ ）＝ ， cos
＝ cos ＝ sin （x＋ ）＝ ，则 sin ＋
cos ＝ .
4. 化简： ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝
－ sin θ.
－ sin θ
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 sin （75°＋α）＝ ，则 cos （15°－α）的值为（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： ∵（75°＋α）＋（15°－α）＝90°，∴ cos （15°
－α）＝ cos [90°－（75°＋α）]＝ sin （75°＋α）＝ .
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2. 已知 sin ＝ ，α∈ ，则tan α的值为（ ）
A. －2 B. 2
C. － D.
解析： 由已知得 cos α＝ ，又α∈ ，所以 sin α＝
－ ＝－ ＝－ .因此，tan α＝ ＝－2 .
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3. 若 sin （180°＋α）＋ cos （90°＋α）＝－a，则 cos （270°
－α）＋2 sin （360°－α）的值是（ ）
A. － a B. － a C. a D. a
解析： 由条件得－ sin α－ sin α＝－a，故 sin α＝ ，原式
＝－ sin α－2 sin α＝－3 sin α＝－ a.
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4. 已知f（ sin x）＝ cos 3x，则f（ cos 10°）的值为（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： f（ cos 10°）＝f（ sin 80°）＝ cos 240°＝ cos
（270°－30°）＝－ sin 30°＝－ .
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5. （多选）已知f（x）＝ sin x＋ cos x，则下列结论不正确的是
（ ）
A. f（x＋π）＝ sin x＋ cos x
B. f（π－x）＝ sin x＋ cos x
C. f ＝ sin x＋ cos x
D. f ＝ sin x＋ cos x
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解析： f（x＋π）＝ sin （x＋π）＋ cos （x＋π）＝－ sin x
－ cos x，f（π－x）＝ sin （π－x）＋ cos （π－x）＝ sin x－ cos
x，f（x＋ ）＝ sin （x＋ ）＋ cos （x＋ ）＝ cos x－ sin x，f
（ －x）＝ sin （ －x）＋ cos ＝ cos x＋ sin x，故选A、
B、C.
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6. 若角α的终边在第二象限，则下列三角函数中值大于零的是（ ）
A. sin B. cos
C. sin （π＋α） D. cos （π＋α）
解析： 由角α的终边在第二象限，可知 sin α＞0， cos α＜
0，对于A， sin ＝ cos α＜0，错误；对于B， cos
＝－ sin α＜0，错误；对于C， sin （π＋α）＝－ sin α＜0，错
误；对于D， cos （π＋α）＝－ cos α＞0，正确.
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7. 化简： sin （－α－7π）· cos ＝ .
解析：原式＝－ sin （7π＋α）· cos ＝－ sin （π＋
α）· ＝ sin α·（－ sin α）＝－ sin 2α.
－ sin 2α
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8. 已知 sin （ ＋θ）＋2 sin （ －θ）＝0，则tan（ ＋θ）
＝ .
解析：∵ sin ＋2 sin ＝0，∴ sin （ ＋θ）＝2
sin ＝2 sin ［ － ］＝2 cos （ ＋θ），
∴tan ＝2.
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9. 已知 sin cos ＝ ，且0＜α＜ ，则 sin α
＝ ， cos α＝ .
解析： sin cos ＝－ cos α·（－ sin α）＝ sin
α cos α＝ ，由0＜α＜ ，可得0＜ sin α＜ cos α，联立，得
得 sin α＝ ， cos α＝ .
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10. 化简： ＋
.
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解：因为 sin ＝ cos α， cos ＝ sin α，
cos （π＋α）＝－ cos α， sin （π－α）＝ sin α，
cos ＝－ sin α， sin （π＋α）＝－ sin α，
所以原式＝ ＋
＝－ sin α＋ sin α＝0.
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11. 已知α为锐角，且2tan（π－α）－3 cos ＋5＝0，tan（π＋
α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，则 sin α＝（ ）
A. B.
解析： 由已知得消去 sin β，得tan
α＝3，∴ sin α＝3 cos α，代入 sin 2α＋ cos 2α＝1，化简得
sin 2α＝ ，则 sin α＝ （α为锐角）.
C. D.
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12. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. sin （π＋α）＝－ sin α成立的条件是角α是锐角
B. 若 cos （nπ－α）＝ （n∈Z），则 cos α＝
C. 若α≠ （k∈Z），则tan ＝－
D. △ABC中， sin ＝ cos
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解析： 由诱导公式知α∈R时， sin （π＋α）＝－ sin α，
所以A错误；当n＝2k（k∈Z）时， cos （nπ－α）＝ cos （－
α）＝ cos α，此时 cos α＝ ，当n＝2k＋1（k∈Z）时， cos
（nπ－α）＝ cos [（2k＋1）π－α]＝ cos （π－α）＝－ cos
α，此时 cos α＝－ ，所以B错误；若α≠ （k∈Z），则
tan ＝ ＝ ＝－ ，所以C正确；
因为在△ABC中，B＋C＝π－A，所以 sin ＝ sin ＝ cos ，故D正确.
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13. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一半径为1的圆的圆心的初
始位置在点（0，1）处，此时圆上一点P的位置在点（0，0）
处，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于点（2，1）时，
求P的坐标.
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解：如图所示，由题意知 ＝OB＝2.
∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，
故∠DAP＝2－ ，
∴DA＝AP cos ＝ sin 2，
DP＝AP sin ＝－ cos 2.
∴OC＝2－ sin 2，PC＝1－ cos 2.
∴点P的坐标为（2－ sin 2，1－ cos 2）.
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14. 已知f（α）＝ ，则f（α）＝ ，
f 的值为 .
解析：f（α）＝ ＝ cos α，∴f（－ ）＝ cos
＝ cos ＝ cos （8π＋ ）＝ cos ＝ .
cos α
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15. 在①tan（π＋α）＝2；② sin （π－α）－ sin ＝ cos （－
α）；③2 sin ＝ cos ，这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并解决该问题.
问题：已知 .
（1）求 的值；
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（1） ＝ ＝ ＝ ＝8.
解：若选①，则tan（π＋α）＝2，即tan α＝2；
若选②，则 sin （π－α）－ sin ＝ cos （－α），即
sin α－ cos α＝ cos α，
即 sin α＝2 cos α，tan α＝2；
若选③，2 sin ＝ cos ，即2 cos α＝ sin α，
tan α＝2；
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（2）当α为第三象限角时，求 sin （－α）－ cos （π＋α）－
cos sin 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：当α为第三象限角时，tan α＝ ＝2，
即 sin α＝2 cos α，
又∵ sin 2α＋ cos 2α＝1，即（2 cos α）2＋ cos 2α＝1，解
得 cos α＝－ ，
sin α＝－ ＝－ ＝－ ，
sin （－α）－ cos （π＋α）－ cos sin ＝－ sin α＋
cos α＋ sin α cos α＝－ － ＋ × ＝ .
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7.2.4 诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助对称，会推导三角函数的诱
导公式 逻辑推理
2.会用诱导公式进行简单的三角求
值、化简与恒等式的证明 数学运算
第一课时
诱导公式①、②、③、④
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现了自己的和谐之
美.而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几
何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某
些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对
称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
【问题】 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终
边与π±α，－α有什么样的对称关系？
知识点 诱导公式①、②、③、④
公式 公式① 公式② 公式③ 公式④
角 α＋2kπ
（k∈Z） －α π－α π＋α
图示
与角α终边
的关系 相同 关于
轴对称 关于
轴对称 关于
对称
x
y
原
点
公式 公式① 公式② 公式③ 公式④
正弦 sin （α＋2kπ）
＝
（k∈Z） sin （－α） ＝ sin （π－
α）＝ sin （π＋
α）＝
余弦 cos （α＋
2kπ）＝
（k∈Z） cos （－α） ＝ cos （π－
α）＝ cos （π＋
α）＝
sin α
－ sin α
sin α
－ sin α
cosα
cosα
－ cos α
－ cos α
公式 公式① 公式② 公式③ 公式④
正切 tan（α＋
2kπ）＝
k∈Z） tan（－α）
＝ tan（π－
α）＝ tan（π＋
α）
＝
记忆口诀 函数名不变，符号看象限 tan α
－tanα
－ tan α
tan α
提醒 诱导公式的记忆：诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函
数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，
符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成
锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
【想一想】
1. 根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何
关系？
提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等.
2. 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的
交点P2（ cos （－α）， sin （－α））与点P（ cos α， sin α）
有怎样的关系？
提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x
轴对称.
3. 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆
的交点P3（ cos （π－α）， sin （π－α））与点P（ cos α， sin
α）有怎样的关系？
提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y
轴对称.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.
（ × ）
（2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. （ × ）
（3）诱导公式①、②、③、④中函数的名称都不变. （ √ ）
（4）公式tan（α－π）＝tan α中，α＝ 不成立. （ √ ）
×
×
√
√
2. cos 等于（ ）
A. B.
C. － D. －
解析： cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
3. 已知tan α＝ ，则tan（2π－α）＝（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： ∵tan α＝ ，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－ .
4. sin 300°的值为 .
解析： sin 300°＝ sin （360°－60°）＝ sin （－60°）＝－ sin
60°＝－ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数式的值：
（1） cos 210°；
解： cos 210°＝ cos （180°＋30°）＝－ cos 30°＝－ .
解： sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ .
（2） sin ；
解： sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin
＝ sin ＝ .
解： tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋
135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1.
（3） sin ；
（4）tan（－855°）.
通性通法
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式②或③来转化；
（2）“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角；
（3）“小化锐”：用公式②或④将大于90°的角转化为锐角；
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【跟踪训练】
（1） sin 750°＝ ； cos （－2 040°）＝ － ；
解析： sin 750°＝ sin （2×360°＋30°）＝ sin 30°＝
； cos （－2 040°）＝ cos 2 040°＝ cos （5×360°＋
240°）＝ cos 240°＝ cos （180°＋60°）＝－ cos 60°＝－
.
－
（2）计算： sin － cos ＝ .
解析： 原式＝－ sin － cos ＝－ sin （4π＋π＋ ）－
cos ＝ sin ＋ cos ＝ ＋ ＝1.
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题型二 化简、求值问题
【例2】 化简：
（1） ；
解： 原式＝ ＝ ＝ ＝1.
（2） .
解： 原式＝
＝
＝ ＝－1.
通性通法
利用诱导公式①～④化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数值的符号有没有
改变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用
切化弦，有时也将弦化切.
【跟踪训练】
化简： （n∈Z）.
解：当n＝2k时，原式＝ ＝1；
当n＝2k＋1时，原式＝ ＝1.
综上，原式＝1.
题型三 给值（式）求值问题
【例3】 已知 cos ＝ ，求：
（1） cos 的值；
解： cos ＝ cos
＝－ cos ＝－ .
（2） cos 的值.
解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ .
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，求 sin 2 的值.
解： sin 2 ＝ sin 2 ＝ sin 2 ＝1－ cos
2 ＝1－ ＝ .
2. （变条件）若将本例中条件“ cos ＝ ”改为“ sin
＝ ，α∈ ”，如何求得（1）的值？
解：因为α∈ ，则α－ ∈ .
所以 cos ＝－ cos ＝－ cos
＝ ＝ ＝ .
通性通法
解决条件求值问题的2技巧
【跟踪训练】
1. 若 sin （π＋α）＝ ，α∈ ，则tan（π－α）＝（ ）
A. － B. － C. － D. －
解析： 因为 sin （π＋α）＝－ sin α，根据条件得 sin α＝－
，又α∈ ，所以 cos α＝－ ＝－ .所以tan
α＝ ＝ ＝ .所以tan（π－α）＝－tan α＝－ .
2. 已知 sin ＝－ ，求 sin 的值.
解：∵ － ＝2π，
∴α－ ＝ －2π.
∵ sin ＝－ ，
∴ sin （α－ ）＝ sin ＝ sin （α＋ ）＝－ .
1. cos ＝（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
2. 已知 cos （α－π）＝－ ，且α是第四象限角，则 sin （－2π＋
α）＝（ ）
A. － B.
C. ± D.
解析： 由 cos （α－π）＝－ ，得 cos α＝ .又α为第四象
限角，所以 sin （－2π＋α）＝ sin α＝－ ＝－ .
3. 点P（ cos 2 025°， sin 2 025°）落在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 2 025°＝6×360°－135°，所以 cos 2 025°＝ cos
（－135°）＝ cos 135°＜0， sin 2 025°＝ sin （－135°）＝－
sin 135°＜0，所以点P在第三象限.
4. 的化简结果为 .
解析：原式＝ ＝1.
1
5. 求下列各式的值：
（1） sin （－1 395°） cos 1 110°＋ cos （－1 020°） sin
750°；
解： 原式＝ sin （－4×360°＋45°） cos （3×360°
＋30°）＋ cos （－3×360°＋60°） sin （2×360°＋
30°）＝ sin 45° cos 30°＋ cos 60° sin 30°＝ × ＋
× ＝ ＋ ＝ .
（2） sin · cos ·tan .
解： 原式＝ sin · cos ·tan
＝ sin · cos ·tan ＝ sin · cos ·tan ＝
－ sin · cos ·tan ＝－ × × ＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin ＝（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝ .故选C.
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2. 化简 sin （π－2）－ cos （4π－2）的结果为（ ）
A. sin 2－ cos 2 B. －1
C. 2 sin 2 D. －2 sin 2
解析： 原式＝ sin 2－ cos 2，故选A.
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3. 已知tan ＝ ，则tan ＝（ ）
A. B. － C. D. －
解析： ∵tan ＝tan ＝－tan ，
∴tan ＝－ .
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4. 若 sin （π－α）＝log8 ，且α∈ ，则 cos （π＋α）＝
（ ）
A. B. －
C. ± D. 以上都不对
解析： 因为 sin （π－α）＝ sin α＝lo 2－2＝－ ，所以 cos
（π＋α）＝－ cos α＝－ ＝－ ＝－ .
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5. （多选）下列各式正确的是（ ）
A. sin （α＋180°）＝－ sin α
B. cos （－α＋β）＝－ cos （α－β）
C. sin （－α－360°）＝－ sin α
D. cos （－α－β）＝ cos （α＋β）
解析： sin （α＋180°）＝－ sin α， cos （－α＋β）＝
cos [－（α－β）]＝ cos （α－β）， sin （－α－360°）＝－
sin （α＋360°）＝－ sin α， cos （－α－β）＝ cos [－（α＋
β）]＝ cos （α＋β）.
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6. （多选）在△ABC中，三个内角分别为A，B，C. 下列结论正确
的是（ ）
A. sin （B＋C）＝ sin A
B. 若 cos A＞0，则△ABC为锐角三角形
C. cos （B＋C）＝ cos A
D. 若 sin （π－A）＝ sin B，则A＝B
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解析： 由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若 cos A
＞0，可得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由
sin （π－A）＝ sin A＝ sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故
D正确.
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7. tan 690°＝ .
解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan
30°＝－ .
－
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8. 已知 sin （α＋π）＝ ，且 sin α cos α＜0，则
＝ － .
解析：∵ sin （α＋π）＝ ，∴ sin α＝－ .
又∵ sin α cos α＜0，∴ cos α＞0， cos α＝ ＝ ，
∴tan α＝－ .原式＝ ＝ ＝－ .
－
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9. 化简： · sin （α－2π） cos （2π－α）＝
.
解析：原式＝ ·[－ sin （2π－α）] cos （2π－α）＝
sin α cos α＝ cos 2α.
cos
2α
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10. 在△ABC中，若 sin （2π－A）＝－ sin （π－B）， cos A＝
－ cos （π－B），求△ABC的三个内角.
解：由条件得 sin A＝ sin B， cos A＝ cos B，
平方相加得2 cos 2A＝1， cos A＝± ，
又因为A∈（0，π），所以A＝ 或 π.
当A＝ π时， cos B＝－ ＜0，所以B∈ ，
所以A，B均为钝角，不合题意，舍去.
所以A＝ ， cos B＝ ，所以B＝ ，所以C＝ π.
综上所述，A＝ ，B＝ ，C＝ π.
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11. 已知 sin ＝ ，则 sin 的值为（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝－ sin
＝－ .
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12. （多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ
与φ“广义互补”.已知 sin （π＋α）＝－ ，下列角β中，可能
与角α“广义互补”的是（ ）
A. sin β＝ B. cos （π＋β）＝
C. tan β＝ D. cos （2π－β）＝－
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解析： ∵ sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，∴ sin α＝ ，
若α＋β＝π，则β＝π－α.A中， sin β＝ sin ＝ sin α
＝ ，故A符合条件；B中， cos （π＋β）＝ cos ＝ cos
α＝± ，故B符合条件；C中，tan β＝ ，即 sin β＝
cos β，又 sin 2β＋ cos 2β＝1，故 sin β＝± ，即C不符合条
件；D中， cos （2π－β）＝ cos [2π－（π－α）]＝ cos （π＋
α）＝－ cos α＝± ，故D符合条件.故选A、B、D.
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13. 已知函数f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x，且f
（2 024）＝0，则f（2 025）＝ .
解析：因为f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x，
所以f（2 024）＝a sin （2 024π＋α）＋b cos （2 024π＋β）＋2
024＝a sin α＋b cos β＋2 024＝0，得到a sin α＋b cos β＝－2
024，所以f（2 025）＝a sin （2 025π＋α）＋b cos （2 025π＋
β）＋2 025＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＋2 025＝－a sin
α－b cos β＋2 025＝－（－2 024）＋2 025＝4 049.
4 049
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14. 是否存在角α和β，当α∈ ，β∈（0，π）时，等式
sin （3π－α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos
（π＋β）同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说
明理由.
解：存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立.理由如下：
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由 sin （3π－α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos
（π＋β）得， sin α＝ sin β， cos α＝ cos β，两式平方相
加得， sin 2α＋3 cos 2α＝2，得到 sin 2α＝ ，即 sin α＝± .因为
α∈ ，所以α＝ 或α＝－ .将α＝ 代入 cos α＝
cos β，得 cos β＝ ，由于β∈（0，π），所以β＝ .将α＝－
代入 sin α＝ sin β，得 sin β＝－ ，由于β∈（0，π），这样的
角β不存在.综上可知，存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立.
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