(共51张PPT)
第二课时
正弦函数的图象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成
了一个简易单摆（如图所示）.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画
一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手
使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它
就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它
表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的
情况.
【问题】 （1）通过上述实验，你对正弦函数
图象的直观印象是怎样的？
（2）你能比较精确地画出y＝ sin x在[0，2π]上
的图象吗？
（3）以上方法作图虽然精确，但太麻烦，有没
有快捷画y＝ sin x，
x∈[0，2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？
知识点 正弦函数的图象
1. 正弦函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，
0）， ，（π，0）， ，（2π，0）.
2. 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为 ；正弦
曲线也是中心对称图形，且对称中心为 .
x＝ ＋kπ（k∈Z）
（kπ，0）（k∈Z）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝ sin x的图象关于y轴对称. （ × ）
（2）正弦函数的图象向左右是无限伸展的. （ √ ）
（3）正弦函数y＝ sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]（k∈Z）上
的图象形状相同，只是位置不同. （ √ ）
×
√
√
2. 下列图象中，符合y＝－ sin x在[0，2π]上的图象的是（ ）
解析： 把y＝ sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可
得到y＝－ sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D.
3. 点M 在函数y＝ sin x的图象上，则m＝ .
解析：由题意－m＝ sin ，∴－m＝1，∴m＝－1.
－1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 “五点法”作正弦曲线
【例1】 用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y＝－ sin x－1（0≤x≤2π）；
解： 找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－ sin x 0 －1 0 1 0
－ sin x－1 －1 －2 －1 0 －1
描点作图，如图：
（2）y＝｜ sin x｜，x∈R.
解： 找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
｜ sin x｜ 0 1 0 1 0
描点并用光滑的曲线
将它们连接起来，通
过平移得到y＝｜ sin
x｜，x∈R的图象，如图所示.
通性通法
用“五点法”作函数y＝A sin x＋B（A≠0）在[0，2π]上的简图的
步骤
（1）列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
y＝A sin x＋B B A＋B B －A＋B B
（2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：（0，B），
，（π，B）， ，（2π，B），这里的y
是通过函数式计算得到的；
（3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进
行连接.
注意 作图时一定要找准这五个关键点，这是“五点法”作图
的关键所在.
【跟踪训练】
用“五点法”画出函数y＝2 sin x在区间[0，2π]上的图象.
解：按五个关键点列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2 sin x 0 2 0 －2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
题型二 正弦函数图象的简单应用
【例2】 求函数y＝log3 的定义域.
解：要使函数有意义，则 sin x＞ ，
作出y＝ sin x在[0，2π]内的图象如
图所示.
由图象知，在[0，2π]内使 sin x＞ 的x的取值范围是 .
故原函数的定义域为 （k∈Z）.
通性通法
利用三角函数图象解 sin x＞a的三个步骤
（1）作出直线y＝a，y＝ sin x的图象；
（2）确定 sin x＝a的x值；
（3）确定 sin x＞a的解集.
注意 解三角不等式 sin x＞a，如果不限定范围时，一般先利
用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相
同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集.
【跟踪训练】
当x＝[0，3π]时，设关于x的方程 sin x＋2｜ sin x｜＝m（m∈R）
的根的个数为n，那么n的取值构成的集合为
（用列举法表示）.
解析：求方程的根的个数等价于求直线y＝m与y＝ sin x＋2｜ sin x｜，x∈[0，3π]的图象的交点个数，由题意得y＝ sin x＋2｜ sin x｜＝其图象如图所示，
由图可以看到交点的个数可能为0，2，
4，5，6.故n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}.
{0，2，4，5，6}
题型三 正弦曲线的对称性
【例3】 求函数y＝2 sin x＋1的图象的对称中心和对称轴.
解：由正弦函数的对称性可知z＝ sin
x的对称中心为（kπ，0），k∈Z，
作出y＝2 sin x＋1的图象如图所示.
结合正弦函数的对称性可知y＝2 sin x＋1的图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z），对称轴是直线x＝kπ＋ （k∈Z）.
通性通法
正弦函数y＝ sin x的对称性
对称中心：点（kπ，0）（k∈Z），对称轴：直线x＝kπ＋
（k∈Z），要明确两者的不同.
【跟踪训练】
（多选）函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于（ ）
A. x轴对称 B. y轴对称
C. 直线y＝x对称
解析： ∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，
∴函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f
（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝ sin （－x）＝－ sin
x，∴函数y＝ sin x与y＝ sin （－x）的图象关于x轴对称.
1. 以下对于正弦函数y＝ sin x的图象描述不正确的是（ ）
A. 在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B. 关于x轴对称
C. 介于直线y＝1和y＝－1之间
D. 与y轴仅有一个交点
解析： 观察y＝ sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中
心对称，故选B.
2. 已知a是实数，则函数f（x）＝1＋a sin ax的图象不可能是（ ）
解析： 当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D.
3. 函数y＝1－ sin x（x∈[0，2π]）的大致图象是（ ）
解析： 用五点法作图时五个关键点是（0，1）， ，
（π，1）， ，（2π，1），故只有选项B的图象符合.
4. y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2的交点个数是
（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：B 由五点法作出函数y＝1＋ sin
x，x∈[0，2π]的图象（如图所示），由图
可知其与直线y＝2只有1个交点.
5. 求方程 sin x＝lg x的解的个数.
解：建立平面直角坐标系xOy，先用五
点法画出函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的
图象，再向右连续平移2π个单位，得到
y＝ sin x的图象.
描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
由图象可知方程 sin x＝lg x的解有3个.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 用“五点法”作y＝2 sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐
标是（ ）
C. 0，π，2π，3π，4π
解析： 由五点作图法，令2x＝0， ，π， π，2π，解得x＝
0， ， ， π，π.
2. （多选）下列函数图象相同的是（ ）
A. y＝ sin x与y＝ sin （π－x）
C. y＝ sin x与y＝ sin （－x）
D. y＝ sin （2π＋x）与y＝ sin x
解析： 根据诱导公式，y＝ sin （π－x）＝ sin x，故A符合；
y＝ sin （2π＋x）＝ sin x，故D符合.
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3. 函数y＝ sin ｜x｜的图象是（ ）
解析： 因为函数y＝ sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时， sin ｜
x｜＝ sin x.故选B.
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4. 函数y＝ 的图象是（ ）
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解析： 由y＝ ＝｜ sin x｜易知该函数为偶函数，
当 sin x≥0时，y＝ sin x，当 sin x＜0时，y＝－ sin x，作x≥0时y
＝ sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对
称即作出y＝｜ sin x｜的图象.
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5. （多选）函数y＝ sin （π－x）－1的图象（ ）
B. 关于直线x＝π对称
C. 关于原点对称 D. 关于点（π，－1）对称
解析： 由三角函数的诱导公式得y＝ sin （π－x）－1＝ sin x
－1，所以函数y＝ sin （π－x）－1的图象关于直线x＝ 对称，关
于点（π，－1）对称.
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6. 下列各点：M（0，0），N ，P ，Q（π，－2）
在函数y＝2 sin x图象上的是 .
解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
M，N
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7. 用“五点法”作函数y＝2＋ sin x，x∈[0，2π]的图象时的五个点
分别是 ， ，
， ， .
解析：可结合函数y＝ sin x的图象的五个关键点寻找，即把y＝ sin
x的图象上五个关键点向上平移2个单位.
（0，2）
（π，
2）
（2π，2）
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8. 在[0，2π]内，不等式 sin x＜－ 的解集是 .
解析：画出y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象如下：
因为 sin ＝ ，所以 sin ＝－ ，
sin ＝－ .
即在[0，2π]内，满足 sin x＝－ 的是x＝ 或x＝ .
可知不等式 sin x＜－ 的解集是 .
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9. 已知函数y＝ sin x（x∈[m，n]）的值域为 ，则n－m的
最大值为 .
解析：作出正弦函数y＝ sin x（x∈R）的图象，
如图所示，∵函数y＝ sin x的定义域为[m，n]，
值域为 ，又 sin ＝ sin ＝－ ，
结合图象可知n－m的最大值为 － ＝ .
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10. 用“五点法”作出函数y＝1－2 sin x，x∈[－π，π]的简图，并回
答下列问题：
（1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①y＞1；②y＜1.
解：按五个关键点列表
x －π 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2 sin x 1 3 1 －1 1
描点连线得：
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（1）由图象可知函数y＝1－2 sin x在y＝1上方的部分
y＞1，在y＝1下方的部分y＜1，
所以当x∈（－π，0）时，y＞1，
当x∈（0，π）时，
y＜1.
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（2）若直线y＝a与y＝1－2 sin x有两个交点，求a的取值范围；
解：如图，当直线y＝a与y＝1－2 sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，
所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a＜1}.
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（3）求函数y＝1－2 sin x的最大值，最小值及相应的自变量
的值.
解：由图象可知ymax＝3，
此时x＝－ ；
ymin＝－1，此时x＝ .
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11. （多选）设函数f（x）＝ sin x，则下列结论正确的是（ ）
A. f（x）的一个周期为－2π
B. f（x）的图象关于直线x＝0对称
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解析： 函数f（x）＝ sin x的最小正周期为2π；对称轴方程
为x＝kπ＋ ，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区
间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］，k∈Z. 则A正确，B错误，C错误，
D正确.故选A、D.
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12. 若 sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是 .
解析：由正弦函数的图象，可知－1≤ sin θ≤1，所以－1≤1－
log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4.
[1，4]
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13. （1）利用 sin （3π－x）＝ sin x，证明正弦曲线关于x＝ 对
称；
证明： 令f（x）＝ sin x，f（3π－x）＝ sin （3π－
x）＝ sin x，
∴f（3π－x）＝f（x），令t＝ －x，则x＝ －t，
∴f ＝f ，
即f ＝f ，∴f（x）＝ sin x关于x＝ 对称.
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（2）利用 sin （2π－x）＝－ sin x，证明正弦曲线关于点（π，
0）对称.
证明： 令f（x）＝ sin x.∴f（2π－x）＝ sin （2π－
x）＝－ sin x，
∴f（2π－x）＝－f（x），令t＝π－x，则x＝π－t，
∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），即f（π＋t）＝－f（π
－t），
∴f（x）＝ sin x关于点（π，0）对称.
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14. 已知函数y＝2 sin x 的图象与直线y＝2围成一个封闭
的平面图形，那么此封闭图形的面积为（ ）
A. 4 B. 8
解析： 数形结合，如图所示，y＝
2 sin x，x∈ 的图象与直线y＝
2围成的封闭平面图形的面积相当于由
x＝ ，x＝ ，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝ ×2＝4π.
C. 4π D. 2π
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15. 已知函数f（x）＝ sin x－2｜ sin x｜，x∈[0，2π].
（1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间；
解： f（x）＝
图象如图，
由图象可知f（x）的递增区间为［ ，
π］，［ ，2π］；f（x）的递减区间为 ， .
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（2）讨论g（x）＝ sin x－2｜ sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点
个数，并求此时k的取值范围.
解： 由图象可知：
当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点，
故g（x）没有零点；
当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g
（x）有1个零点；
当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故
g（x）有2个零点；
当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点，
故g（x）有3个零点；
当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g
（x）有4个零点.
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7.3.1 正弦函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义
域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及
函数的零点 数学抽象、
数学运算
2.能正确使用“五点法”作出正弦函数的图象 逻辑推理、
直观想象
第一课时 正弦函数的性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片，思考波浪是怎样变化的？
【问题】 （1）波浪每隔一段时间会重复出现，波浪是一种周期现
象吗？
（2）你还能举出生活中存在周期现象的例子吗？
知识点一 函数的周期性
1. 周期函数：对于函数f（x），如果存在一个 ，使得
对定义域内的 x，都满足 ，那
么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
2. 最小正周期：对于一个 函数f（x），如果在它的
存在一个 ，那么这个 就叫
做它的最小正周期.
非零常数T
每一个
f（x＋T）＝f（x）
周期
所有
周期中
最小的正数
最小的正数
【想一想】
1. 若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：不一定唯一.
2. 对非零常数T，若存在x0，使f（x0＋T）＝f（x0），那么T是函
数的周期吗？为什么？
提示：不是，必须对定义域内的每一个值成立.
已知函数f（x）是定义域为R的周期函数，其最小正周期为2，且
当x∈[0，2]时，f（x）＝（x－1）2，则f（3）＝ .
解析：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（3）＝f（3－2）＝f
（1）＝0.
0
知识点二 正弦函数的性质
1. 正弦函数的定义：对于任意一个角x，都有 确定的正弦
sin x与之对应，因此y＝ sin x是一个函数，一般称为
.
2. 正弦函数的性质
唯一
正弦函
数
函数 y＝ sin x
定义域
值域
最值
奇偶性 函数
R
[－1，1]
奇
函数 y＝ sin x
周期性 最小正周期：
单调性 在 （k∈Z）上递增；
在 （k∈Z）上递减
零点 kπ（k∈Z）
2π
提醒 正弦函数单调性的说明：①正弦函数在定义域R上不是单调函
数，但存在单调区间；②求解（或判断）正弦函数的单调区间（或单
调性）是求值域（或最值）的关键一步；③确定含有正弦函数的较复
杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.
【想一想】
1. －2π是正弦函数的周期吗？
提示：是.2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期.
2. 正弦函数的零点是点吗？若不是，是什么？
提示：不是，是实数kπ，k∈Z.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正弦函数在其定义域上是单调的. （ × ）
（2）由于 sin ＝ sin ，则 是正弦函数y＝ sin x 的一个周
期. （ × ）
（3）函数f（x）＝ sin 3x是奇函数. （ √ ）
×
×
√
2. 函数f（x）＝3＋ sin x的最小正周期是（ ）
B. π D. 2π
3. 函数y＝1－2 sin x的最小值，最大值分别是（ ）
A. －1，3 B. －1，1
C. 0，3 D. 0，1
解析： ∵x∈R，∴ sin x∈[－1，1]，∴当 sin x＝1时，ymin＝
－1；当 sin x＝－1时，ymax＝3.故选A.
4. 函数y＝－ sin x＋1的值域为 ，单调递增区间
为 .
解析：∵函数y＝ sin x的值域为[－1，1]，∴函数y＝－ sin x＋1
的值域为[0，2].由函数y＝ sin x在区间
（k∈Z）上单调递减，知函数y＝－ sin x＋1的单调递增区间为
［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）.
[0，2]
（k∈Z）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦函数的奇偶性与周期性
【例1】 （1）判断函数f（x）＝ cos ＋x2 sin x的奇偶性；
解： f（x）＝ sin 2x＋x2 sin x.
∵x∈R，f（－x）＝ sin （－2x）＋（－x）2 sin （－x）
＝－ sin 2x－x2 sin x＝－f（x），
∴f（x）是奇函数.
（2）如果 sin ＝ sin ，那么 是否为函数y＝ sin x的一个
周期？
解： 在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x
值都有f（x＋T）＝f（x）成立，对于个别的x0，虽说满足f
（x0＋T）＝f（x0），但不能说T是函数f（x）的周期.如 sin
（0＋ ）＝ sin ＝1，而 sin 0＝0，故 sin （0＋ ）≠ sin 0，所
以 不是函数y＝ sin x的一个周期.
通性通法
1. 判断正弦函数奇偶性的方法
2. 判断正弦函数周期性的方法
【跟踪训练】
1. 下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A. y＝ sin x B. y＝｜ sin x｜
C. y＝x D. y＝ln x
解析： A选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误；B
选项，根据函数的图象得函数的最小正周期为π，所以该选项正
确；C、D选项中的函数不存在周期，所以C、D选项都错误.
2. 已知函数f（x）＝ax3＋ sin x＋2（a≠0），若f（b）＝3，求f
（－b）的值.
解：设g（x）＝f（x）－2，则g（x）＝ax3＋ sin x.
则对任意x∈R，都有g（－x）＝a（－x）3＋ sin （－x）＝－
ax3－ sin x＝－（ax3＋ sin x）＝－g（x），
∴函数g（x）是奇函数.
∴g（－b）＝－g（b），即f（－b）－2＝g（－b）＝－g
（b）＝－[f（b）－2]，
∴f（－b）＝－f（b）＋4＝－3＋4＝1.
题型二 正弦函数的单调性及应用
【例2】 比较大小：
（1） sin 250°与 sin 260°；
解： sin 250°＝ sin （180°＋70°）＝－ sin 70°，
sin 260°＝ sin （180°＋80°）＝－ sin 80°，
因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝ sin x，x∈[0°，
90°]是增函数，所以 sin 70°＜ sin 80°，
所以－ sin 70°＞－ sin 80°，即 sin 250°＞ sin 260°.
（2） sin 与 sin .
解： sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin （π－ ）
＝－ sin ，
sin ＝－ sin ＝－ sin .
因为0＜ ＜ ＜ ，且函数y＝ sin x，x∈ 是增函数，
所以 sin ＜ sin ，－ sin ＞－ sin ，
即 sin ＜ sin .
通性通法
1. 利用正弦函数的单调性比较大小的方法
（1）同名函数：比较 sin α与 sin β的大小，若α，β在函数y＝
sin x的同一单调区间内，则直接由单调性得大小；若α，β
不在同一单调区间内，则要把它们转化到同一个单调区间来
讨论；
（2）异名函数：比较 sin α与 cos β的大小，应先把 cos β转化成
sin ，再依据正弦函数的单调性进行比较.
2. 求正弦函数与其他函数复合而成的函数的单调区间时，要注意使用
复合函数的“同增异减”来判断，同时要注意函数的定义域，单调
区间是在定义域范围内求解，与定义域取交集.
【跟踪训练】
比较大小： sin 196° cos 156°.
解析： sin 196°＝ sin （180°＋16°）＝－ sin 16°， cos 156°＝
cos （180°－24°）＝－ cos 24°＝－ sin 66°.∵0°＜16°＜66°
＜90°，且y＝ sin x在[0°，90°]内递增，∴ sin 16°＜ sin 66°，
∴－ sin 16°＞－ sin 66°，即 sin 196°＞ cos 156°.
＞
题型三 正弦函数的值域与最值问题
【例3】 求函数y＝1－2 sin 2x＋ sin x的值域.
解：y＝1－2 sin 2x＋ sin x，令 sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2 ＋ .
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤ ，
即函数y＝1－2 sin 2x＋ sin x的值域为 .
【母题探究】
（变条件）本例条件变为“函数y＝｜ sin x｜＋ sin x”，问题不
变.
解：当 sin x≥0时，｜ sin x｜＝ sin x；当 sin x＜0时，｜ sin x｜＝－
sin x，∴原解析式可化为y＝由－1≤ sin x≤1，可
知0≤y≤2，∴函数y＝｜ sin x｜＋ sin x的值域为[0，2].
通性通法
利用正弦函数值域求复合函数值域、最值的常用方法
（1）求解形如y＝a sin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正弦函
数的有界性（－1≤ sin x≤1）求解，此时有－｜a｜＋
b≤y≤｜a｜＋b.求三角函数取得最值时相应的自变量x的集
合时，要注意考虑三角函数的周期性；
（2）求解形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c，x∈D的函数的值域或最值
时，通过换元，令t＝ sin x，将所给三角函数转化为二次函数，
再利用配方法求值域或最值即可.这里应当注意换元之后变量的
范围一般会随之改变，求解过程中要注意t＝ sin x的有界性.
【跟踪训练】
1. y＝a sin x＋b（a＞0）的最大值为3，最小值为－1，则ab
＝ .
解析：因为－1≤ sin x≤1，且a＞0，则解得b＝1，
a＝2，所以ab＝2.
2
2. 设｜x｜≤ ，求函数f（x）＝ cos 2x＋ sin x的最小值.
解：f（x）＝ cos 2x＋ sin x＝1－ sin 2x＋ sin x＝－ ＋
.
∵｜x｜≤ ，∴－ ≤ sin x≤ ，
∴当 sin x＝－ 时，f（x）取得最小值，最小值为 .
1. 函数y＝4 sin （2x－π）的图象关于（ ）
A. x轴对称 B. 原点对称
C. y轴对称
解析： y＝4 sin （2x－π）＝－4 sin 2x是奇函数，其图象关于
原点对称.
2. 函数y＝9－ sin x的单调递增区间是（ ）
C. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
D. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
解析： y＝9－ sin x的单调递增区间与y＝ sin x的单调递减区间
相同.
3. 设函数f（x）＝ （a≠0），若f（－2 025）＝2，则f（2
025）＝（ ）
A. 2 B. －2
C. 2 023 D. －2 023
解析： f（x）＝ （a≠0），f（－x）＝ ＝－f
（x），f（x）为奇函数，f（2 025）＝－f（－2 025）＝－2，故
选B.
4. 函数f（x）＝ sin x－1的最小值为 .
解析：当x＝2kπ－ ，k∈Z时， sin x取得最小值－1，所以f
（x）＝ sin x－1取得最小值－2.
－2
5. 设函数f（x）＝ ，请指出函数y＝f（x）的定义域、周期性和
奇偶性.
解：∵函数f（x）＝ ，∴ sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，故函数
f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.
显然，f（x）的周期即y＝ sin x的周期2π.
∵f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），∴f（x）为奇函数.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数f（x）＝ 是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
解析： 函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关
于原点对称，且f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数.
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2. 函数y＝－2 sin x＋5，x∈ 的值域是（ ）
A. [3，7] B. [5，7]
C. [－7，5] D. [3，5]
解析： 当0≤x≤ 时，0≤ sin x≤1，∴3≤－2 sin x＋5≤5.故
选D.
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3. 函数y＝－ sin x－7的单调递减区间是（ ）
A. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
B. [2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
解析： y＝－ sin x－7的单调递减区间与y＝ sin x的单调递增区
间相同.
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4. y＝ 的最小值是（ ）
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
解析： 由y＝ ＝2－ ，当 sin x＝－1时，y＝
取得最小值－2.
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5. 已知a∈R，函数f（x）＝ sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，则a等
于（ ）
A. 0 B. 1
C. －1 D. ±1
解析： 法一 易知y＝ sin x在R上为奇函数，
∴f（0）＝0，∴a＝0.
法二 ∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即 sin （－x）
－｜a｜＝－ sin x＋｜a｜，－ sin x－｜a｜＝－ sin x＋｜a｜.∴｜
a｜＝0，即a＝0.
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6. （多选）已知函数f（x）＝2a sin x＋a＋b的定义域是 ，值
域为[－5，－1]，则a，b的值为（ ）
A. a＝2，b＝－7 B. a＝－2，b＝2
C. a＝－2，b＝1 D. a＝1，b＝－2
解析： 当a＞0时，由条件知∴当a
＜0时，由条件知∴故选A、C.
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7. 函数f（x）＝ sin 2x＋1的奇偶性是 .
解析：f（－x）＝[ sin （－x）]2＋1＝ sin 2x＋1＝f（x），所以
f（x）为偶函数.
偶函数
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8. sin sin （填“＞”“＜”或“＝”）.
解析：因为－ ＞－ ，且y＝ sin x在 内为增函数，所
以 sin ＞ sin .
＞
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9. 函数y＝ 的最大值为 ，最小值为 .
解析：由题意知，x∈R，y＝ ＝ ＝3－
.∵－1≤ sin x≤1，∴1≤ sin x＋2≤3，即 ≤ ≤1，
∴－2≤y≤ ，即函数y＝ 的最大值为 ，最小值为－2.
－2
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解：当x∈ 时，3π－x∈ ，
∵当x∈ 时，f（x）＝1－ sin x，
∴f（3π－x）＝1－ sin （3π－x）＝1－ sin x.
又∵f（x）是以π为周期的偶函数，
∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x）.
∴f（x）的解析式为f（x）＝1－ sin x，x∈ .
10. 已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈ 时， f（x）
＝1－ sin x，求当x∈ 时，f（x）的解析式.
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11. 已知α，β∈ ，且 cos α＞ sin β，则α＋β与 的大小
关系为（ ）
解析： ∵α，β∈ ，∴ －α∈ .∵ cos α＞ sin β，∴ sin ＞ sin β.∵y＝ sin x在 上是增函数，∴ －α＞β，即α＋β＜ .
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12. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. y＝｜ sin x｜的定义域为R
B. y＝3 sin x＋1的最小值为1
C. y＝－ sin x为奇函数
解析： 选项A、C正确.对于B，y＝3 sin x＋1的最小值为－3
＋1＝－2；对于D，y＝ sin x－1的单调递增区间为 ，k∈Z. 故B、D不符合题意.
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13. 函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3.
（1）求实数a的值；
解： ∵ymax＝1－a，∴a＜0，
故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4，∴y＝－4 sin x＋1.
（2）求该函数的单调递增区间；
解： 当 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－
4 sin x＋1递增，
∴y＝－4 sin x＋1的递增区间为
（k∈Z）.
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（3）若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间.
解： ∵x∈[－π，π]， （k∈Z）
∩[－π，π]＝ ∪ .
∴当x∈[－π，π]时，y＝－4 sin x＋1的递增区间为
， .
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14. 函数y＝ 的定义域是 ，单
调递减区间是 .
解析：由－2 sin x≥0，得 sin x≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ
（k∈Z），即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）.∵y＝
与y＝ sin x的单调性相反，∴函数的单调递减区间为
［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z）.
[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z）
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15. 设函数f（x）＝ .
（1）请指出函数y＝f（x）的定义域、周期性和奇偶性；（不必
证明）
解： ∵函数f（x）＝ ，
∴ sin x≠0，x≠kπ，k∈Z，
故函数的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.
显然，f（x）的周期，即y＝ sin x的周期为2π.
由于满足f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），故f
（x）为奇函数.
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（2）请以正弦函数y＝ sin x的性质为依据，并运用函数单调性的
定义证明：y＝f（x）在区间 上单调递减.
解： 证明：正弦函数y＝ sin x在区间 上单调递
增，设0＜x1＜x2＜ ，则0＜ sin x1＜ sin x2＜1，
∴f（x1）＝ ＞ ＝f（x2），
即f（x1）＞f（x2），
因此，y＝f（x）在区间 上单调递减.
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