(共53张PPT)
第二课时
正弦型函数的性质（习题课）
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦型函数的周期
【例1】 求下列函数的周期：
（1）y＝ sin ；
解： 法一（定义法） y＝ sin
＝ sin
＝ sin ，
∴周期为π.
法二（公式法） y＝ sin 中ω＝2，
T＝ ＝ ＝π.
（2）y＝2 sin ；
解： ∵ω＝ ，∴T＝ ＝6π.
（3）y＝｜ sin x｜.
解： 作图如下.
观察图象可知周期为π.
通性通法
求三角函数周期的方法
（1）定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x判断是否存在非
零常数T，使f（x＋T）＝f（x），若存在，则T是它的一个
周期；
（2）公式法：正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常
数，且A≠0，ω≠0）的周期T＝ ；
（3）图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断.
【跟踪训练】
1. 若函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，则ω的
值等于（ ）
A. 2 B. 1
C. D.
解析： 由已知得 ＝π，解得ω＝1.故选B.
2. 已知函数f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜，则f（x）为（ ）
A. 周期函数，最小正周期为
B. 周期函数，最小正周期为
C. 周期函数，最小正周期为2π
D. 非周期函数
解析： 画出f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜的部
分图象，如图所示.由图象可知，函数为周期函
数，最小正周期为 ，故选A.
题型二 正弦型函数的单调性
【例2】 求函数y＝1＋ sin ，x∈[－4π，4π]的单调递减
区间.
解：y＝1＋ sin ＝－ sin ＋1.
由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），
解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π（k∈Z）.
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋ sin 的单调递减区间为 ， ， .
通性通法
求正弦型函数的单调区间的策略
（1）结合正弦函数的图象，熟记它的单调区间；
（2）在求形如y＝A sin （ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的函数的单调区
间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整
体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调
区间.当A＞0时y＝A sin z与y＝ sin x的单调性相同，当A＜0
时，y＝A sin z与y＝ sin x的单调性相反；
（3）求形如y＝A sin （ωx＋φ），x∈D的单调区间时，先求y＝A
sin （ωx＋φ），x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区
间D取交集即得y＝A sin （ωx＋φ），x∈D上的单调区间.
【跟踪训练】
求函数y＝ sin 的单调递增区间.
解：法一 函数y＝ sin x的单调递增区间为［－ ＋2kπ， ＋
2kπ］，k∈Z.
令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝ sin 的单调递增区间为 ，
k∈Z.
法二 令2x－ ＝ ，解得x＝ ，
所以函数y＝ sin 在x＝ 处取得最大值.
又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝
sin 的一个单调递增区间为 ，即 ，
所以函数y＝ sin 的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋
kπ］，k∈Z.
题型三 正弦型函数的最值（值域）
【例3】 已知函数f（x）＝ sin .给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为2π；②f 是f（x）的最大值；③把函数y
＝ sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数y＝f
（x）的图象.其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ① B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析： f（x）＝ sin 的最小正周期为2π，①正确； sin
＝1＝f 为f（x）的最大值，②错误；将y＝ sin x的图象上所有
点向左平移 个单位长度得到f（x）＝ sin 的图象，③正
确.故选B.
通性通法
求正弦型函数的最值（值域）的策略
求函数y＝A sin （ωx＋φ）的值域与最值问题时，要在x取值
范围的基础之上，把ωx＋φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来
求解.
当A＞0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最大，
sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最小；
当A＜0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最小，
sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最大.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ sin ＋ ，若f（x）在区间 上
的最大值为 ，求m的最小值.
解：由题意得－ ≤x≤m，∴－ ≤2x≤2m，
∴－ ≤2x－ ≤2m－ .∵函数f（x）的最大值为 ，∴y＝ sin
在 上的最大值为1，
∴2m－ ≥ ，∴m≥ .∴m的最小值为 .
正弦函数图象对称性问题的探究
1. 下列图案中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？有没有既
是轴对称又是中心对称的图形？
2. 正弦函数的图象如图.利用图象探索正弦函数图象的对称性.
【问题探究】
1. 正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没
有，请说明理由.
提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对
称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，
对称轴方程为x＝ ＋kπ，k∈Z.
2. 正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，
如果没有，请说明理由.
提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数
个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标
为（kπ，0），k∈Z.
3. 画出函数y＝ sin ｜x｜的图象，并利用图象说明它的对称性.
提示：画出函数图象如图，由图象可知，函
数y＝ sin ｜x｜的图象是轴对称图形，对称
轴为y轴，它不是中心对称图形.
【迁移应用】
1. 已知函数y＝ sin 的图象在R上关于原点对称，则φ的
值可以是（ ）
A. 0 B. － C. D. π
解析： 因为y＝ sin 的函数图象在R上关于原
点对称，所以y＝ sin 为奇函数，则只需 ＋φ＝
kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－ ，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－ 满
足题意.
2. 求函数y＝2 sin 的对称轴方程及对称中心坐标.
解：由x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ π＋kπ，
k∈Z. 由x－ ＝kπ，k∈Z，得x＝ ＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐
标为 ，k∈Z.
1. 函数f（x）＝ sin 的最小正周期为（ ）
A. B. π
C. 2π D. 4π
解析： 函数f（x）＝ sin 的最小正周期T＝ ＝4π.
2. （多选）对于函数f（x）＝ sin 2x，下列选项中错误的是
（ ）
A. f（x）在 上是递增的
B. f（x）的图象关于原点对称
C. f（x）的最小正周期为2π
D. f（x）的最大值为2
解析： 因为函数y＝ sin x在 上是单调递减的，所以f
（x）＝ sin 2x在 上是单调递减的，故A错误；因为f（－
x）＝ sin 2（－x）＝ sin （－2x）＝－ sin 2x＝－f（x），所以f
（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正
周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
3. 求函数y＝3 sin （x∈[0，π]）的单调递增区间.
解：函数y＝3 sin ＝－3 sin ，
令2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，求得kπ＋ ≤x≤kπ＋
，k∈Z，
又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数y＝2 sin （x∈[－π，0]）的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 法一 由－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－
＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 由于x∈[－π，0]，所以所求单调
递增区间为 .
法二 当x＝ 时，函数y＝2 sin 取得最大值，且其最小正周
期为2π，则函数y＝2 sin （x－ ）的一个单调递增区间为 ，即［－ ， ］，所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为
.
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2. 函数y＝3 sin 的图象的一条对称轴方程是（ ）
A. x＝0 B. x＝
C. x＝－ D. x＝
解析： 令 sin ＝±1，得2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），即
x＝ π＋ （k∈Z），取k＝1，得x＝ .
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3. 若函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f ＝
f ，则有f ＝（ ）
A. 3或0 B. －3或0
C. 0 D. －3或3
解析： 由f ＝f 知，x＝ 是函数的对称轴，解得
f ＝－3或3.故选D.
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4. 已知函数f（x）＝2 sin ，若对任意的x∈R都有f（x1）
≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值是（ ）
A. 4 B. 2
C. 1 D.
解析： 函数f（x）的最小正周期T＝ ＝4.由于对任意的
x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）＝f（x）
min＝－2，f（x2）＝f（x）max＝2，从而｜x1－x2｜的最小值为
＝2.
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5. （多选）已知函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为
π，则该函数的图象（ ）
A. 关于点 对称 B. 关于直线x＝ 对称
C. 关于点 对称 D. 关于直线x＝ 对称
解析： ∵f（x）的周期为π，∴ω＝2.∴f（x）＝ sin
，∴f（x）的图象关于点（ － ，0）（k∈Z）对称，关于
直线x＝ ＋ （k∈Z）对称.
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6. 将函数y＝ sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍
（纵坐标不变），所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增
（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝ sin
的图象.令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ－
≤x≤kπ＋ （k∈Z），则函数y＝ sin 的单调递增区间
为 （k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y
＝ sin 在区间 上单调递增.
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7. 函数y＝ sin 的单调递减区间是
.
解析：令 ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则 ＋
4kπ≤x≤ ＋4kπ，k∈Z.
（k∈Z）
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8. 已知f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，则当正数φ
取最小值时，函数f（x）的图象的对称轴方程是
.
x＝ ＋
（k∈Z）
解析：因为f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，所
以f（0）＝2 sin ＝0，所以2φ＋ ＝kπ（k∈Z），即φ＝
－ （k∈Z），所以当k＝1时，正数φ取得最小值 ，此时f
（x）＝－2 sin 2x.令2x＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋
（k∈Z），故所求函数f（x）图象的对称轴方程是x＝ ＋
（k∈Z）.
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9. 函数f（x）＝ sin （2x＋φ） 的图象向左平移 个单位
后所得图象对应的函数是奇函数，则函数f（x）＝
，在 上的最小值为 － .
sin
－
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解析：函数f（x）的图象向左平移 个单位得g（x）＝ sin
的图象.因为g（x）是奇函数，所以φ＋ ＝kπ，
k∈Z. 又因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，所以f（x）＝ sin
.又x∈ ，所以2x－ ∈ ，所以当x＝0时，f
（x）取得最小值－ .
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10. 已知曲线y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤ ）上最
高点为（2， ），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交
于点（6，0）.
（1）求函数的解析式；
解： 由题意可知A＝ ， ＝6－2＝4，
∴T＝16，即 ＝16，∴ω＝ ，
∴y＝ sin .
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又图象过最高点（2， ），
∴ sin ＝1，
故 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
由｜φ｜≤ ，得φ＝ ，
∴y＝ sin .
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（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.
解： ∵－6≤x≤0，∴－ ≤ x＋ ≤ ，
∴－ ≤ sin ≤1.
即函数在[－6，0]上的值域为[－ ，1].
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11. （多选）已知函数f（x）＝ sin ，则（ ）
A. f（x）的最小值为－1
B. 点 是f（x）的图象的一个对称中心
C. f（x）的最小正周期为π
D. f（x）在 上单调递增
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解析： 由正弦函数性质知f（x）的最小值是－1，A正确；
令2x＋ ＝kπ，x＝ － ，k∈Z，没有一个整数k，能使 －
＝ ，B错误；T＝ ＝π，C正确；由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ
＋ 得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 当k＝0时，－ ≤x≤ ，
而 ，D正确.故选A、C、D.
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12. 关于x的方程 sin ＝2m在[0，π]内有相异两实根，则实数
m的取值范围为 .
解析：由于0≤x≤π，所以 ≤x＋ ≤ ，由于关于x的方程 sin
＝2m在[0，π]内有相异两实根，令u＝x＋ ，由函数y
＝ sin u与y＝2m的图象（图略）可知， ≤2m＜1，解得 ≤m
＜ .
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13. 已知函数f（x）＝A sin （A＞0，ω＞0）的最小正周期
为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为－3.
（1）求函数f（x）的解析式；
解： ∵f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，T＝ ＝
π，∴ω＝ ＝2.
又函数f（x）图象上的最低点纵坐标为－3，且A＞0，∴A
＝3.
∴f（x）＝3 sin .
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（2）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程.
解： 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
可得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，
k∈Z，
由2x＋ ＝ ＋kπ，得x＝ ＋ ，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程为x＝ ＋ ，k∈Z.
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14. （多选）若将函数f（x）＝A sin （A≠0）的图象向左
平移 个单位得到函数g（x）的图象，则下列选项错误的是
（ ）
A. g（x）的最大值为A
B. g（x）的图象有一条对称轴是直线x＝
C. g（x）的图象有一个对称中心是点
D. g（x）是奇函数
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解析： 将函数f（x）＝A sin （A≠0）的图象向
左平移 个单位得到函数g（x）＝A sin ［2（ x＋ ）－ ］＝A
sin 的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错；又因为
g ＝A sin （ 2× ＋ ）＝A sin ＝A，所以直线x＝ 是g
（x）图象的一条对称轴，所以B正确；因为g ＝A sin
［2× ＋ ］＝A sin ≠0，所以C错；g（x）＝A sin
为非奇非偶函数，所以D错误.
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15. 某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin （ωx
＋φ） 0 5 －5 0
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（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析
式；
解： 根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－ .
数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin （ωx
＋φ） 0 5 0 －5 0
函数解析式为f（x）＝5 sin .
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（2）将y＝f（x）的图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位
长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）的图象的一个
对称中心为 ，求θ的最小值.
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解： 由（1）知f（x）＝5 sin ，
所以g（x）＝5 sin .
由于y＝ sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
所以令2x＋2θ－ ＝kπ，解得x＝ ＋ －θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点 成中心对称，
则 ＋ －θ＝ ，
解得θ＝ － ，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值 .
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7.3.2
正弦型函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）的实际意
义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最
值、单调区间等 数学抽象、
数学运算
2.会用“图象变换法”作正弦型函数y＝A sin
（ωx＋φ）的图象 数学运算、
直观想象
第一课时
正弦型函数的图象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交
流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin （ωx＋φ）的函数.
如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相
似.那么函数y＝A sin （ωx＋φ）与函数y＝ sin x有什么关系呢？
【问题】 （1）函数y＝A sin （ωx＋φ）的周期、最值分别受哪些
量的影响？
（2）如何作出函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象？
知识点一 正弦型函数
1. 形如y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ都是常数）的函数，通常
叫做正弦型函数.
2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期T
＝ ，频率f＝ ，初相为 ，值域为
， 也称为振幅，｜A｜的大小反映了y
＝A sin （ωx＋φ）的波动幅度的大小.
φ
[－｜
A｜，｜A｜]
｜A｜
知识点二 A，ω，φ对函数y＝A sin （ωx＋φ）图象的影响
1. φ对函数y＝ sin （x＋φ）图象的影响
2. ω对函数y＝ sin （ωx＋φ）图象的影响
3. A对函数y＝A sin （ωx＋φ）图象的影响
提醒 在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不
同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了｜
φ｜个单位长度，而后者平移了 个单位长度，这是因为由y＝
sin ωx的图象变换为y＝ sin （ωx＋φ）的图象的过程中，各点的
横坐标增加或减少了 个单位长度，即y＝ sin ωx的图象 y＝
sin ＝ sin （ωx＋φ）的图象.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝ sin x的图象向右平移 个单位长度，得到函数y＝
sin 的图象. （ × ）
（2）将函数y＝ sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到
函数y＝2 sin x的图象. （ √ ）
（3）函数y＝2 sin 2x的振幅为2. （ √ ）
×
√
√
2. 函数f（x）＝ sin 的最小正周期为（ ）
A. B. π C. 2π D. 4π
解析： 函数的最小正周期T＝ ＝4π.
3. 要得到y＝ sin 的图象，只要将y＝ sin x的图象（ ）
A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向上平移 个单位 D. 向下平移 个单位
解析： 将y＝ sin x的图象向左平移 个单位可得到y＝
sin 的图象.
4. 已知函数y＝3 sin ，则该函数的振幅、初相分别
是 ， .
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦型函数图象的变换
【例1】 （1）函数y＝ cos 的图象可以看作是由y＝ sin x的
图象经过怎样的变换得到的？
解： y＝ cos ＝ sin ＝ sin ，
可以看作是把y＝ sin x的图象上所有的点向左平移 个单位长
度得到.
（2）函数y＝2 sin －2的图象是由函数y＝ sin x的图象通过
怎样的变换得到的？
解：
通性通法
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
（1）确定函数y＝ sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，
关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注
意平移只对“x”而言；
（2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解
析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
【跟踪训练】
1. 先将函数y＝ sin x的图象上各点向右平移 个单位，再将所得各点
的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析
式是（ ）
A. y＝ sin B. y＝ sin
C. y＝ sin D. y＝ sin
解析： 将函数y＝ sin x所有的点向右平移 个单位，所得图象
的函数解析式为y＝ sin ，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的2倍得到y＝ sin ，故选C.
2. 为了得到函数y＝ sin ，x∈R的图象，只需把函数y＝ sin
x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵
坐标不变）；
②向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵
坐标不变）；
③向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变）；
④向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变）.
其中正确的是 .
解析：y＝ sin x y＝ sin
y＝ sin .
③
题型二 求正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式
【例2】 （多选）如图是函数y＝ sin （ωx＋φ）的部分图象，则 sin （ωx＋φ）＝（ ）
A. sin B. sin
C. cos D. cos
解析： 由题图可知，函数的最小正周期T＝2 ＝π，
∴ ＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝ sin （2x＋φ），将点
代入得， sin ＝0，∴2× ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝
2kπ＋ ，k∈Z，故y＝ sin .由于y＝ sin （2x＋ ）＝
sin ＝ sin ，故选项B正确；y＝ sin
＝ cos ＝ cos （2x＋ ），选项C
正确；对于选项A，当x＝ 时， sin （ ＋ ）＝1≠0，错误；对于选
项D，当x＝ ＝ 时， cos ＝1≠－1，错误；当ω＝
－2时，y＝ sin （－2x＋φ），将 代入，得 sin
＝0，结合函数图象，知－2× ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝ ＋2kπ，
k∈Z，∴y＝ sin （－2x＋ ），但当x＝0时，y＝ sin （－2x＋ ）
＝－ ＜0，与图象不符合，舍去.故选B、C.
通性通法
根据函数的部分图象求解析式的方法
（1）直接由图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝A sin （ωx＋
φ）中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ
＋ ，k∈Z，结合φ的范围求出φ；
（2）通过若干特殊点代入函数式，解方程组求相关待定系数A，
ω，φ；
（3）运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝A sin ωx，
再根据图象平移规律确定相关的参数.
【跟踪训练】
函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的
图象如图所示，则f（1）＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 由题意可知A＝3，T＝2×（7－3）＝8，所以ω＝ ＝ .
因为函数f（x）的图象经过点（3，0），所以 ＋φ＝π＋2kπ
（k∈Z），φ＝ ＋2kπ（k∈Z）.又φ∈[0，2π），所以φ＝ ，所以
f（x）＝3 sin ，所以f（1）＝3.故选B.
1. 函数y＝2 sin 的周期、振幅依次是（ ）
A. 6π，－2 B. 6π，2
C. π，2 D. π，－2
解析： 振幅为2，周期为 ＝6π.
2. 为了得到函数y＝3 sin 的图象，只要把函数y＝3 sin
图象上的所有点（ ）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
解析： 由函数图象的伸缩规律知，将函数y＝3 sin 图象
上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y＝3
sin 的图象.故选B.
3. 如图是函数y＝A sin （ωx＋φ） 的图象的
一部分，试求该函数的解析式.
解：由图象可知A＝2，T＝4×（6－2）＝16，ω＝ ＝ .
又x＝6时， ×6＋φ＝2kπ，又｜φ｜＜π，所以φ＝－ .
所以所求函数的解析式为y＝2 sin .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 为了得到函数y＝ sin （x－1）的图象，只需把函数y＝ sin x的图
象上所有的点（ ）
A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位
C. 向左平移π个单位 D. 向右平移π个单位
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2. 函数y＝ sin 在区间 上的简图是（ ）
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解析： 当x＝0时，y＝ sin ＝－ ＜0，排除B、D；当x
＝ 时，y＝ sin ＝ sin 0＝0，排除C，故选A.
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3. （多选）函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象如
图所示，为了与g（x）＝－A cos ωx的图象重合，可以将f（x）
的图象（ ）
A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位
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解析： 由题图所示可知A＝1，T＝4（ π－ ）＝π，所以ω
＝ ＝2，又2× ＋φ＝π，所以φ＝ ，f（x）＝ sin ，g
（x）＝－ cos 2x＝－ sin （ －2x＋2kπ）＝ sin
＝ sin ［2（x－ －kπ）＋ ］（k∈Z），可验证得k＝0时，B
正确，k＝－1时，C正确，故选B、C.
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4. 要得到y＝ sin 的图象，只要将函数y＝ sin 的图象
（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
解析： 由于y＝ sin ＝ sin ，所以要得到y＝
sin 的图象，只要将函数y＝ sin 的图象向左平移 个单位
长度即可.
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5. 函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（ ω＞0，－ ＜φ＜ ）的部分图象
如图，则ω，φ的值分别为（ ）
A. 2，－
B. 2，－
C. 4，－
D. 4，
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解析： ∵ T＝ π－ ＝ π，∴T＝π，∴ ＝π（ω＞
0），∴ω＝2.由图象知当x＝ π时，2× π＋φ＝2kπ＋
（k∈Z），即φ＝2kπ－ （k∈Z）.∵－ ＜φ＜ ，∴φ＝－ .
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6. 把函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐
标不变），所得图象的函数解析式为y＝ sin x，则（ ）
A. ω＝2，φ＝ B. ω＝2，φ＝－
C. ω＝ ，φ＝ D. ω＝ ，φ＝－
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解析： 将y＝ sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝ sin 2x，再将此函
数图象向右平移 个单位长度可得y＝ sin 的图象，即y
＝ sin 的图象，所以ω＝2，φ＝－ .
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7. 函数f（x）＝ sin ｜ax＋1｜的图象恒过定点 ；
当a＝π时，f ＝ － .
解析：∵f（0）＝ sin ｜a×0＋1｜＝ sin 1，∴f（x）＝ sin ｜ax
＋1｜的图象恒过定点（0， sin 1）.当a＝π时，f ＝ sin
＝ sin ＝－ .
（0， sin 1）
－
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8. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω
＝ .
解析：由题意设函数周期为T，则 ＝ － ＝ ，∴T＝ .∴ω
＝ ＝ .
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9. 将函数y＝ sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然
后纵坐标缩短为原来的 ，则所得图象的函数解析式为 y＝ sin
.
解析：y＝ sin 2x的图象 y＝ sin ＝ sin x的图象
y＝ sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝ sin x.
y＝ sin
x
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10. 已知曲线y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的
坐标为 ，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点
，若φ∈ .
（1）试求这条曲线的函数表达式；
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解： 依题意，A＝ ，T＝4× ＝π.
∵T＝ ＝π，ω＞0，∴ω＝2，
∴y＝ sin （2x＋φ），又曲线上的最高点为 ，
∴ sin ＝1.
∵－ ＜φ＜ ，∴φ＝ .
∴y＝ sin .
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（2）用“五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象.
解： 列出x，y的对应值表：
x 0 π π π π
2x＋ π π 2π
y 1 0 － 0 1
作图如下：
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11. （多选）有下列四种变换方式：
①向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变）；
②横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位；
③横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位；
④向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变）.
其中能将正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin 的图象的
是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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解析： ①向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵
坐标不变），则正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin 的
图象；②横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单
位，则正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin ＝ sin
的图象；
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③横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位，则正
弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin ＝ sin 的图象；
④向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变），则
正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin （2x＋ ）的图象，因此①和②
符合题意，故选A、B.
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12. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－ ＜φ＜
）在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式；
解： 由题设图象，易得A＝2， T＝
－ ＝ ，
所以T＝π，所以ω＝ ＝2.
所以f（x）＝2 sin （2x＋φ）.
因为函数f（x）的图象经过点 .
所以2 sin ＝2，即 sin ＝1.
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又因为－ ＜φ＜ ，所以－ ＜ ＋φ＜ .
所以 ＋φ＝ ，所以φ＝ .
故所求函数f（x）的解析式为f（x）＝2 sin （2x＋ ）.
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（2）设0＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实
数m的取值范围.
解： 由题意，知方程f（x）＝m有两个不同的实数
根等价于函数f（x）＝2 sin
的图象与g（x）＝m的图象有两个不同的交点.
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因为0＜x＜π，易画出函数f（x）＝2 sin
的图象与函数g（x）＝m的图象
（如图所示）.
依据图象可知：
当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线g（x）＝m与曲线f（x）＝2 sin 有两个不同的交点，
即方程f（x）＝m有两个不同的实数根，
故所求实数m的取值范围为（－2，1）∪（1，2）.
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13. 若将函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平
移 个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝ sin
的图象，则ω的最小值为 .
解析：f（x）＝ sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平
移 个单位长度得y＝ sin ，则y＝ sin 和g
（x）＝ sin 相同，所以 ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得ω＝
＋6k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为 .
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14. 函数y＝f（x）的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面
积称为函数f（x）在[a，b]上的面积.已知函数y＝ sin nx在
上的面积为 （n∈N＋）.
（1）求函数y＝ sin 3x在 上的面积；
解： y＝ sin 3x在［0， ］上的图象如
图所示，
由函数y＝ sin 3x在［0， π］上的面积为 ，所以在［0， π］上的面积为 .
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（2）求函数y＝ sin （3x－π）＋1在 上的面积.
解： 结合（1），由图可知阴影面积为S＝SABCD＋ ＝
π＋ .
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