(共59张PPT)
第二课时
两角和与差的正切
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ，
∠COD＝α－β.
【问题】 能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
知识点 两角和与差的正切
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和 的正切 tan（α＋β）
＝ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ
＋ ，k∈Z，且tan
α·tan β≠1
两角差 的正切 tan（α－β）
＝ Tα－β α，β，α－β≠kπ
＋ ，k∈Z，且tan
α·tan β≠－1
提醒 两角和与差的正切公式的变形：①tan α＋tan β＝tan（α＋
β）（1－tan αtan β）；②tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan
αtan β）；③tan αtan β＝1－ .
【想一想】
两角和与差的正切公式的有哪些结构特征？
提示：公式Tα±β的
右侧为分式形式，其
中分子为tan α与tan
β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为：
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立.
（ √ ）
（2）对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立.
（ × ）
（3）tan 能根据公式tan（α＋β）直接展开. （ × ）
√
×
×
2. 已知tan α＝3，tan β＝ ，则tan（α＋β）＝（ ）
A. － B. － C. D.
解析： ∵tan α＝3，tan β＝ ，∴tan（α＋β）＝
＝ ＝－ .
3. 设角θ的终边过点（2，3），则tan ＝ .
解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝ ，故
tan ＝ ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用公式化简求值
【例1】 求下列各式的值：
（1）tan 15°；
解： tan 15°＝tan（45°－30°）＝ ＝
＝ ＝2－ .
（2） ；
解： ＝ ＝
＝tan（30°－75°）＝tan（－45°）＝－tan 45°＝－1.
（3）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°.
解：因为tan（23°＋37°）＝tan 60°＝ ＝
，
所以tan 23°＋tan 37°＝ （1－tan 23°tan 37°），
所以原式＝ （1－tan 23°tan 37°）＋ tan 23°tan 37°＝
.
通性通法
1. 公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan
β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan
（α－β））.三者知二可表示或求出第三个.
2. 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1） ；
解： 原式＝ ＝
＝tan（45°－75°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－ .
（2）tan 36°＋tan 84°－ tan 36°tan 84°.
解： 原式＝tan 120°（1－tan 36°tan 84°）－ tan
36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－ tan 36°tan 84°＝
tan 120°＝－ .
题型二 根据条件求值或角
【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐
角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B
的横坐标分别为 ， .
（1）求tan（α＋β）的值；
（1）tan（α＋β）＝ ＝ ＝－3.
解：由条件得 cos α＝ ， cos β＝ ，
因为α，β为锐角，
所以 sin α＝ ， sin β＝ ，
所以tan α＝7，tan β＝ .
（2）求α＋2β的值.
解： tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β]
＝ ＝ ＝－1，
因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜ ，
所以α＋2β＝ .
通性通法
1. 通过先求角的某个三角函数值来求角.
2. 选取函数时，应遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是
，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦
较好；若角的范围为 ，选正弦较好.
3. 给值求角的一般步骤：
（1）求角的某一三角函数值；
（2）确定角的范围；
（3）根据角的范围写出所求的角.
【跟踪训练】
1. 已知 sin α＝ ，α为第二象限的角，且tan（α＋β）＝－ ，则
tan β的值为（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： 因为α为第二象限角，所以 cos α＜0，解得 cos α＝－
，所以tan α＝－ .tan β＝tan[（α＋β）－α]＝
＝ ＝－ .
2. 已知tan（α－β）＝ ，tan β＝－ ，α，β∈（0，π），求2α
－β的值.
解：因为tan β＝－ ，tan（α－β）＝ ，
所以tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝
＝ ，
tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝ ＝
＝1.因为tan α＝ ＞0，tan β＝－ ＜0，
所以α∈ ，β∈ .
所以α－β∈（－π，0）.
又因为tan（α－β）＝ ＞0，
所以α－β∈ ，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，
0）.
而tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－ .
题型三 判定三角形形状
【例3】 已知△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝ ，且
tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状.
解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C）
＝ ＝ ＝－ .
又0°＜A＜180°，所以A＝120°.
由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝
＝ ＝ ，
又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
【母题探究】
（变条件）本例中把条件改为“tan B＋tan C－ tan B·tan C＝－
，且 tan A＋ tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
解：由tan A＝tan [π－（B＋C）]
＝－tan（B＋C）＝
＝ ＝ .
又0°＜A＜180°，所以A＝60°.
由tan C＝tan [π－（A＋B）]
＝ ＝ ＝ .
又0°＜C＜180°，
所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形.
通性通法
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
（1）“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan
来代换，以达到化简求值的目的，如 ＝tan ；
＝ tan ；
（2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan
α·tan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式.
1. 已知α∈ ， sin α＝ ，则tan ＝（ ）
A. B. －
解析： 因为α∈ ， sin α＝ ，所以 cos α＝
＝ ，所以tan α＝ ，所以tan ＝ ＝
－ .
C. D. －
2. 已知α＋β＝－ ，则（1＋tan α）（1＋tan β）的值是
（ ）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 4
解析： （1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan
αtan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1
－tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2.
3. tan ＝ －2＋ .
解析：tan ＝－tan ＝－tan ＝－ ＝－2＋ .
－2＋
4. 已知α，β均为锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，则α＋β＝ .
解析：因为tan α＝ ，tan β＝ ，所以tan（α＋β）＝
＝ ＝1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以
α＋β＝ .
5. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，求tan 的值.
解：因为α＋ ＝（α＋β）－ ，
所以tan ＝tan
＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，
它的终边过点P（－3，－4），则tan ＝（ ）
A. － B. －7
解析： 由三角函数的定义可得tan α＝ ＝ ，所以tan
＝ ＝ ＝－7.故选B.
C. D.
2. 已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝（ ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 由已知得2tan θ－ ＝7，得tan θ＝2.
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3. 若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝（ ）
A. m B. （1－m）
C. （m－1） D. （m＋1）
解析： 由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan
α·tan β）可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan
32°）＝ （1－m）.
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4. 已知tan ＝ ，tan ＝－ ，则tan 的值为
（ ）
A. B.
C. D. 1
解析： tan（α＋ ）＝tan［ － ］＝
＝1.
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5. （多选）下列结果为 的是（ ）
A. tan 25°＋tan 35°＋ tan 25°·tan 35°
B. （1＋tan 20°）（1＋tan 40°）
C.
D.
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解析： 对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋
35°）·（1－tan 25°·tan 35°）＝ － tan 25°tan 35°，
所以原式＝ － tan 25°tan 35°＋ tan 25°tan 35°＝ .
对选项B，（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan
40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋ （1－tan 20°tan 40°）＋tan
20°·tan 40°＝1＋ －（ －1）tan 20°tan 40°≠ .对选
项C，原式＝ ＝tan 60°＝ .对选项D，原式＝
＝ .
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6. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，则 的值为
（ ）
A. B.
C. D.
解析： ＝tan ＝tan［（α＋β）－ ］＝
＝ ＝ ＝ ，故选B.
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7. 已知α，β均为锐角，且tan β＝ ，则tan（α＋β）
＝ .
解析：tan β＝ ＝ ＝tan ，∵ －α，
β∈ 且y＝tan x在（－ ， ）上是单调函数，∴β＝
－α，∴α＋β＝ ，∴tan（α＋β）＝tan ＝1.
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8. 若tan ＝－ ，则tan ＝ ，tan α＝ .
解析：tan ＝ ＝ ＝－ ，解得tan α＝－
4，tan ＝ ＝ ＝ .
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9. 如图所示，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为 .
解析：由题图可知tan α＝ ，tan β＝ ，且α，β均为锐角，所
以tan（α＋β）＝ ＝ ＝1.因为α＋β∈（0，
π），所以α＋β＝ .
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10. 已知tan ＝2，tan β＝ .
（1）求tan α的值；
解： 因为tan ＝2，所以 ＝2，所以
＝2，解得tan α＝ .
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（2）求 的值.
解： 原式＝ ＝
＝ ＝tan（β－α）＝
＝ ＝ .
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11. （1＋tan 20°）（1＋tan 21°）（1＋tan 24°）（1＋tan 25°）
等于（ ）
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
解析： 由tan（20°＋25°）＝1得tan 20°＋tan 25°＝1－tan
20°tan 25°，∴（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋
tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.同理（1＋tan 21°）·（1＋tan
24°）＝2.故原式等于4.
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12. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝－2，则tan ＝
，tan（α＋2β）＝ .
解析：tan ＝tan ＝
＝ ＝－8.tan ＝ ＝－
2，tan β＝－ ，tan（α＋2β）＝ ＝ .
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13. 在①角α的终边经过点P（1，2）；②α∈ ， sin α＝
；③α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ，这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知 ，且tan（α＋β）＝4，求tan β的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2），
∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得
tan β＝ .
选择条件②，∵α∈ ， sin α＝ ，∴ cos α＝
＝ ，∴tan α＝ ＝ ，
则tan （α＋β）＝ ＝ ＝4，
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解得tan β＝ .
选择条件③，∵α∈ ， sin α＋2 cos α＝ ，
由 sin 2α＋ cos 2α＝1，则可得 sin α＝ ， cos α＝ ，
∴tan α＝ ＝3，
则tan（α＋β）＝ ＝ ＝4，解得tan β＝ .
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14. （多选）已知tan α＝lg（10a），tan β＝lg ，且α＋β＝ ，
则实数a的值可以为（ ）
A. B. 1
C. D.
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解析： 因为α＋β＝ ，所以tan（α＋β）＝ ＝
1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10a）＋lg ＝1－lg
（10a）lg ，即1＝1－lg（10a）lg ，所以lg（10a）lg ＝0.lg
（10a）＝0或lg ＝0.得a＝ 或a＝1.
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15. 已知α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ .
（1）求 cos （α＋β）的值；
解： ∵α，β∈ ， sin α＝ ， sin β＝ ，
∴ cos α＝ ， cos β＝ .
∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ .
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（2）是否存在x，y∈ ，使得下列两个式子：
① ＋y＝α＋β；②tan ·tan y＝2－ 同时成立？若存
在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由.
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解： ∵α＋β∈（0，π）， cos （α＋β）＝ ，
∴α＋β＝ ，
∴ ＋y＝α＋β＝ .∴tan ＝ ＝ .
∵tan ·tan y＝2－ ，∴tan ＋tan y＝3－ .
∴tan ，tan y是方程t2－（3－ ）t＋2－ ＝0的两个根.
∵x，y∈ ，∴0＜tan ＜1，∴tan ＝2－ ，tan y
＝1.
∴ ＝ ，y＝ ，即存在x＝ ，y＝ 满足条件.
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8.2.2
两角和与差的正弦、正切
新课程标准解读 核心素养
1.理解两角和与差的正弦、正切公式的推导过程 逻辑推理
2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决求
值、化简等问题 数学运算
第一课时
两角和与差的正弦
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的
思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这
一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就
会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
【问题】 （1）类比两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦
公式？
（2）由 sin （α＋β）能推导出 sin （α－β）吗？
知识点 两角和与差的正弦
1. 两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的
正弦 sin （α＋β）＝ Sα＋β α，β∈R
两角差的
正弦 sin （α－β）＝ Sα－β α，β∈R
sin α· cos
β＋ cos α sin β
sin α· cos
β－ cos α sin β
2. 辅助角公式
a sin x＋b cos x＝ · sin （x＋φ）（或a sin x＋b cos x＝
· cos （x－φ）），其中 sin φ＝ ， cos φ
＝ （或 cos φ＝ ， sin φ＝ ）.
提醒 两角和与差的正弦公式的结构特征：①“正余余正”表示展
开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦；②“符号相
同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号
相同，即两角和用“＋”，两角差用“－”；③两角和与差的正弦
公式只有中间的连接符号不同.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） sin （α－β）＝ sin α cos α－ cos β sin β. （ × ）
（2） sin α＋ sin β＝ sin （α＋β）. （ × ）
（3） sin （α＋β－15°）＝ sin （α－15°） cos β＋ cos （α
－15°） sin β. （ √ ）
（4） sin 15°＋ cos 15°＝ sin 60°. （ √ ）
×
×
√
√
2. sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝（ ）
A. － B. C. － D.
解析： sin 20° cos 40°＋ cos 20° sin 140°＝ sin 20° cos
40°＋ cos 20° sin 40°＝ sin 60°＝ .
3. 已知θ为锐角，且 sin θ＝ ，则 sin （θ－45°）＝（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： ∵θ为锐角，且 sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝
，∴ sin （θ－45°）＝ （ sin θ－ cos θ）＝ × ＝
－ .
4. 函数y＝ sin x－ cos x的最小正周期是（ ）
A. B. π
C. 2π D. 4π
解析： y＝ sin x－ cos x＝ （ sin x－ cos x）＝ sin
，所以函数的最小正周期为T＝2π.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用公式化简求值
【例1】 （1） ＝（ ）
A. － B. － C. D.
解析：
＝
＝
＝ ＝ sin 30°＝ .
（2）求 sin 157° cos 67°＋ cos 23° sin 67°的值；
解：原式＝ sin （180°－23°） cos 67°＋ cos 23° sin
67°＝ sin 23° cos 67°＋ cos 23° sin 67°＝ sin （23°＋
67°）＝ sin 90°＝1.
（3）求 sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°）
的值.
解： sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ
＋15°）
＝ sin （θ＋15°＋60°）＋ cos （θ＋15°＋30°）－ cos
（θ＋15°）
＝ sin （θ＋15°） cos 60°＋ cos （θ＋15°） sin 60°＋ cos
（θ＋15°）· cos 30°－ sin （θ＋15°） sin 30°－ cos
（θ＋15°）
＝ sin （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）－
sin （θ＋15°）－ cos （θ＋15°）＝0.
通性通法
1. 解给角求值问题的基本思路
（1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值；
（2）化为正、负相消的项，消去求值；
（3）分子、分母出现公约数时进行约分求值.
2. 对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公
式求出具体数值，一般有以下三种途径：
（1）化为特殊角的三角函数值；
（2）化为正负相消的项，消去，求值；
（3）化为分子、分母形式，进行约分再求值.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1） sin ；
解： sin ＝－ sin π＝－ sin ＝ sin ＝
sin ＝ sin cos － cos sin ＝ .
（2） －2 cos （α＋β）.
解： 原式＝
＝
＝ ＝ .
题型二 给值（式）求值
【例2】 设α∈ ，β∈ ，若 cos α＝－ ， sin β
＝－ ，求 sin （α＋β）的值.
解：因为α∈ ， cos α＝－ ，所以 sin α＝ ，
因为β∈ ， sin β＝－ ，所以 cos β＝ .
所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋
× ＝ .
【母题探究】
1. （变条件）若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果
如何？
解：因为β为第三象限角，所以 cos β＝－ .
所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋
× ＝－ ＋ ＝0.
2. （变设问）若条件不变，试求 sin （α－β）＋ cos （α－
β）的值.
解： sin （α－β）＋ cos （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin
β＋ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × － × ＋
× ＋ × ＝ － － － ＝－1.
通性通法
解给值（式）求值的策略
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知
角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知
角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成
“已知角”.
【跟踪训练】
已知0＜α＜ ＜β＜π， sin α＝ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin β
＝ .
解析：由0＜α＜ ＜β＜π，得 ＜α＋β＜ .又 sin α＝ ， sin
（α＋β）＝ ，∴ cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ .∴ sin β＝ sin
[（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β）· sin α
＝ × － × ＝ .
题型三 辅助角公式的应用
【例3】 设函数f（x）＝ sin x＋ sin .
（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
解： f（x）＝ sin x＋ sin x cos ＋ cos x sin ＝ sin x＋ sin
x＋ cos x＝ sin x＋ cos x＝ （ sin x cos ＋ cos x sin ）＝
sin ，当 sin ＝－1时，f（x）min＝－ ，
此时x＋ ＝ ＋2kπ（k∈Z），所以x＝ ＋2kπ（k∈Z）.
所以f（x）的最小值为－ ，x的集合为{x｜x＝ ＋2kπ，
k∈Z}.
（2）求函数f（x）的单调区间.
解： 当2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），
即2kπ－ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为增函数；
当2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ ，
即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）时，函数f（x）为减函数.
所以函数f（x）的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ＋ ］
（k∈Z），
函数f（x）的单调递减区间为［2kπ＋ ，2kπ＋ ］（k∈Z）.
通性通法
辅助角公式及其应用
（1）公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ sin （α＋φ）（或
a sin α＋b cos α＝ cos （α－φ））将形如a sin α＋b
cos α（a，b不同时为零）的三角函数式收缩为同一个角的一
种三角函数式；
（2）形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求
变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.
【跟踪训练】
1. 已知 sin θ＋ sin ＝1，则 sin ＝（ ）
A. B.
解析： ∵ sin θ＋ sin ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin
＝1，∴ sin ＝ ，故选B.
C. D.
2. 函数y＝ sin （x＋10°）＋ cos （x＋40°）（x∈R）的最大值
是 .
解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，∴y＝ sin α＋
cos （α＋30°）＝ sin α＋ cos α－ sin α＝ sin α＋ cos α
＝ sin （α＋60°），∴ymax＝1.
1
两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
在钝角三角形ABC中，已知C为钝角，A，B都是锐角，试探究P
＝ sin （A＋B），Q＝ sin A＋ sin B，R＝ cos A＋ cos B的大小，并
把P，Q，R按从小到大的顺序排列起来.
【问题探究】
1. 当A＝30°，B＝30°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小.
提示：当A＝30°，B＝30°时，
P＝ sin （30°＋30°）＝ sin 60°＝ ，
Q＝ sin 30°＋ sin 30°＝2 sin 30°＝1，
R＝ cos 30°＋ cos 30°＝2 cos 30°＝ ，
∴P＜Q＜R.
2. 当A＝30°，B＝45°时，求P，Q，R的值，并比较它们的大小.
提示：当A＝30°，B＝45°时，
P＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋ cos 30° sin 45°
＝ × ＋ × ＝ ，
Q＝ sin 30°＋ sin 45°＝ ＋ ＝ ，
R＝ cos 30°＋ cos 45°＝ ＋ ＝ ，
∵P－Q＝ － ＝ ＜0，
∴P＜Q，
∵Q－R＝ － ＝ ＜0，
∴Q＜R，∴P＜Q＜R.
3. 由问题1，2你能得到什么结论，并证明你的结论.
提示：由问题1，2猜想P＜Q＜R.
证明：∵C为钝角，∴0＜A＋B＜ ，
∴A＜ －B，B＜ －A，
∴ cos A＞ cos ＝ sin B，
cos B＞ cos ＝ sin A，
∴R－Q＝ cos A＋ cos B－ sin A－ sin B＞ sin B＋ sin A－ sin A－
sin B＝0，即R＞Q.
∵P－Q＝ sin （A＋B）－ sin A－ sin B
＝ sin A cos B＋ cos A sin B－ sin A－ sin B
＝ sin A（ cos B－1）＋ sin B（ cos A－1）＜0，
∴P＜Q.
综上可得P＜Q＜R.
4. 若将钝角三角形改为锐角三角形，P，Q，R的大小又如何？
提示：∵P－R＝ sin （A＋B）－ cos A－ cos B
＝ sin A cos B＋ cos A sin B－ cos A－ cos B
＝（ sin A－1） cos B＋（ sin B－1） cos A＜0，
∴P＜R.
∵△ABC为锐角三角形，
∴0＜A＜ ，0＜B＜ ，A＋B＞ ，
∴ －B＜A＜ ， －A＜B＜ ，
∴ sin ＜ sin A， sin ＜ sin B，
∴R－Q＝ cos A＋ cos B－ sin A－ sin B＜ cos A＋ cos B－ sin － sin
＝ cos A＋ cos B－ cos B－ cos A＝0，
∴R＜Q，综上，P＜R＜Q.
【迁移应用】
已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan ＋ ，若任
意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论.
解：任意交换两个角的位置，y的值不变.
证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴ ＝ － .
y＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan ＋
＝tan ＋tan ＋tan ，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变.
1. 的值是（ ）
A. B.
C. 1 D.
解析： 原式＝
＝
＝
＝ ＝ .
2. 已知α∈（0，π）， cos ＝－ ，则 sin （－α）＝
（ ）
A. B. －
C. － D.
解析： 由于α∈（0，π），α＋ ∈ ，而 cos
＝－ ＞－ ＝ cos ，所以 ＜α＋ ＜ ，所以 sin ＝
＝ .所以 sin （－α）＝ sin ＝ sin
cos － cos sin ＝ × － × ＝－ .
3. sin 15°＋ sin 75°＝（ ）
A. B. 1 C. D.
解析： sin 15°＋ sin 75°＝ sin 15°＋ cos 15°＝2 sin
（15°＋30°）＝2 sin 45°＝ .故选C.
4. sin 155° cos 35°－ cos 25° cos 235°＝ .
解析：原式＝ sin 25° cos 35°＋ cos 25° sin 35°＝ sin （25°＋
35°）＝ sin 60°＝ .
5. 设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝（ sin A， sin
B），n＝（ cos B， cos A），若m·n＝1＋ cos （A＋B），
求C.
解：因为m·n＝1＋ cos （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A
sin B，
所以 sin （A＋B）＝1＋ cos （A＋B）.
又A＋B＝π－C，整理得 sin ＝ ，
因为0＜C＜π，所以 ＜C＋ ＜ ，所以C＋ ＝ ，所以C＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin 14° cos 16°＋ sin 76° cos 74°＝（ ）
A. B. C. － D. －
解析： 原式＝ sin 14° cos 16°＋ cos 14 sin 16°＝ sin （14°
＋16°）＝ sin 30°＝ .
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2. （多选）下列四个选项，化简正确的是（ ）
A. cos （－15°）＝
B. cos 15° sin 105°－ sin 15° cos 105°＝ sin （15°－105°）＝
－1
C. cos （α－35°） cos （α＋25°）＋ sin （α－35°） sin （α＋
25°）＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos （－60°）＝
cos 60°＝
D. sin （x＋y） sin （y－x）－ cos （x＋y） cos （x－y）＝－
[ cos （x＋y） cos （x－y）＋ sin （x＋y） sin （x－y）]＝－
cos [（x＋y）－（x－y）]
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解析： ∵ cos （－15°）＝ cos 15°＝ cos （45°－30°）＝
cos 45°· cos 30°＋ sin 45°· sin 30°＝ ，故A错.∵ cos
15° sin 105°－ sin 15° cos 105°＝ sin 105° cos 15°－ cos
105°· sin 15°＝ sin （105°－15°）＝ sin 90°＝1，故B
错.C、D正确.
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3. sin θ＋ sin ＋ sin 的值为（ ）
A. 0 B.
C. 1 D. 2
解析： 原式＝ sin θ＋ sin θ cos ＋ cos θ sin ＋ sin θ cos
＋ cos θ sin ＝ sin θ－ sin θ＋ cos θ－ sin θ－ cos θ
＝0.
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4. 已知f（x）＝ sin （3x＋θ）－ cos （3x＋θ）是奇函数，且在
上是减函数，则θ的一个值是（ ）
A. B. π
C. π D. π
解析： f（x）＝ sin ，∵f（x）是奇函数，∴f
（0）＝ sin ＝0，∴θ＝kπ＋ ，k∈Z. ∵f（x）在
上是减函数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝ π.
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5. 若0＜α＜ ＜β＜π，且 cos β＝－ ， sin （α＋β）＝ ，则 sin
α的值是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由 ＜β＜π， cos β＝－ 得 sin β＝ .又0＜α＜
＜β＜π，所以 ＜α＋β ＜ ，所以 cos （α＋β）＝－
＝－ ＝－ .所以 sin α＝ sin [（α
＋β）－β]＝ sin （α＋β） cos β－ cos （α＋β） sin β＝
× ＋ × ＝ ，故选C.
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6. 在△ABC中，3 sin A＋4 cos B＝6，3 cos A＋4 sin B＝1，则C的大
小为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
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解析： 由已知可得（3 sin A＋4 cos B）2＋（3 cos A＋4 sin B）2
＝62＋12，即9＋16＋24 sin （A＋B）＝37，所以 sin （A＋B）
＝ .所以在△ABC中， sin C＝ ，所以C＝ 或C＝ .又1－3 cos
A＝4 sin B＞0，所以 cos A＜ .又 ＜ ，所以A＞ ，所以C＜
，所以C＝ 不符合题意，所以C＝ .
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7. 已知 cos θ＝ ，则 sin 的值为 ， sin
的值为 .
解析：因为 cos θ＝ ，所以 sin θ＝ ＝
，所以 sin ＝ sin θ cos ＋ cos θ sin ＝ ×
＝ ； sin （θ－ ）＝ sin θ cos － cos θ sin ＝ × －
× ＝ .
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8. 若 sin x＋ cos x＝4－m，则实数m的取值范围为 .
解析：∵ sin x＋ cos x＝4－m，∴ sin x＋ cos x＝ ，
∴ sin sin x＋ cos cos x＝ ，∴ cos ＝ ，
∵ ≤1，∴ ≤1，∴2≤m≤6.
[2，6]
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9. 已知△ABC的内角为A，B，C. 若2 cos B sin A＝ sin C，则△ABC
的形状一定是 .
解析：因为2 cos B sin A＝ sin C，所以2 cos B sin A＝ sin （A＋B）
＝ sin A cos B＋ cos A sin B，所以 cos B sin A－ cos A sin B＝0 sin
（A－B）＝0.因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B.
等腰三角形
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解：因为 ＜α－β＜π， cos （α－β）＝－ ，
所以 sin （α－β）＝ .
因为 ＜α＋β＜2π， sin （α＋β）＝－ ，
所以 cos （α＋β）＝ .
10. 已知 cos （α－β）＝－ ， sin （α＋β）＝－ ， ＜α－β
＜π， ＜α＋β＜2π，求β的值.
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因为 ＜α－β＜π， ＜α＋β＜2π，
所以 ＜2β＜ ，2β＝π，所以β＝ .
所以 cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]＝ cos （α＋β）
cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）＝ × ＋
× ＝－1.
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11. （多选）已知θ为锐角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ可能取
的值是（ ）
A. B.
解析： sin θ＋ cos θ＝ sin （θ＋ ），∵0＜θ＜ ，
∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin ≤1，∴1＜ sin θ＋ cos
θ≤ ，∴ sin θ＋ cos θ可能取的值是 和 ，故选A、D.
C. D.
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12. 函数f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）的最大值
为 ，最小值为 .
解析：因为f（x）＝ sin （x＋2φ）－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin
[（x＋φ）＋φ]－2 sin φ cos （x＋φ）＝ sin （x＋φ） cos φ－ sin
φ· cos （x＋φ）＝ sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值
为－1.
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13. 已知函数f（x）＝A sin ，x∈R，且f（ ）＝ .
（1）求A的值；
解： 由f ＝A sin ＝A sin ＝ A＝ ，
可得A＝3.
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（2）若f（θ）－f（－θ）＝ ，θ∈ ，求f .
解： f（θ）－f（－θ）＝ ，
则3 sin －3 sin ＝ ，
3 －3 ＝ ，得 sin θ＝
.
因为θ∈ ，所以 cos θ＝ ，f ＝3 sin
＝3 sin ＝3 cos θ＝ .
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14. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，那么
β＝（ ）
A. B.
C. D.
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解析： sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）
－ cos α sin （α－β），由已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝
，0＜β＜α＜ ，可知 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，代
入上式得 sin β＝ × － × ＝ ＝ ，所以β＝ .
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15. 已知向量a＝（ sin x， cos x－1），b＝（ ，－1），设f
（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（1）f（x）的最小正周期T＝2π，
令x－ ＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋ （k∈Z），
又f ＝2 sin （kπ）＋1＝1，
因此函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z.
解：由题意得f（x）＝a·b＝ sin x－ cos x＋1＝2 sin
＋1.
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（2）已知α为锐角，β∈（0，π），f ＝ ， sin （α＋
β）＝－ ，求 sin （2α＋β）的值.
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解： f ＝2 sin ＋1＝2 sin α＋1＝ sin
α＝ .
∵α∈ ，∴ cos α＝ .
∵α∈ ，β∈（0，π），∴α＋β∈ .
又 sin （α＋β）＝－ ＜0，∴α＋β∈ ，
∴ cos （α＋β）＝－ ，
∴ sin （2α＋β）＝ sin [（α＋β）＋α]＝ sin （α＋β） cos α
＋ cos （α＋β） sin α＝－ × ＋ × ＝－ .
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