【培优方案】第七章 章末复习与总结（课件）人教B版数学必修第三册

(共30张PPT)
章末复习与总结
　　
一、数学抽象
　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映
了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本
章中主要体现在三角函数的定义中.
培优一 三角函数的定义
【例1】　在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点P（－
4a，3a）（a≠0）.
（1）求 cos α的值；
解： 因为x＝－4a，y＝3a，所以r＝
＝5｜a｜（a≠0），当a＞0时， cos α
＝ ＝ ＝－ ；当a＜0时， cos α＝ ＝ ＝ .
（2）设a＞0，角β的终边与角α的终边关于y＝x对称，求 cos β
的值.
解： 因为角α的终边经过点P（－4a，3a），由角β的
终边与角α的终边关于y＝x对称可得，角β的终边经过点Q
（3a，－4a），
又a＞0，则r＝ ＝5｜a｜＝5a，故 cos β
＝ ＝ ＝ .
二、数学运算
　　在数学运算核心素养的形成过程中，学生可进一步发展数学运算
能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思
维发展.本章中同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用、三角函
数的最值问题都彰显了学科素养中的数学运算.
培优二 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【例2】　已知条件：①若α为第二象限角， sin ＝－ ；
②已知角α终边上一点P（－4，3）.现从上述条件选择一个解答
以下问题：
（1）求 sin α的值；
解：选①，（1）因为 sin ＝ cos α＝－ ，
所以 sin α＝± ＝± .
又因为α为第二象限角，所以 sin α＝ .
（2）若f（α）＝ ，
求f（α）的值.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①，（2）f（α）＝
＝ ＝ sin α＝ .
选②，（1）因为α终边上一点P（－4，3），
所以 sin α＝ ， cos α＝－ .
（2）f（α）＝ ＝
＝ sin α＝ .
培优三 三角函数的最值
【例3】　（1）已知函数y＝a sin ＋b在x∈ 上的值域
为[－5，1]，求a，b的值；
解： ∵x∈ ，
∴2x＋ ∈ ， sin ∈ .
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
（2）求y＝ 的最大值和最小值.
解： 由已知y＝ ，得 sin x＝ .
∵｜ sin x｜≤1，∴ ≤1，∴ ≤1，
∴
∴（y＋2）（3y－4）≤0且y≠3，解得－2≤y≤ .
故所求函数的最大值为 ，最小值为－2.
三、逻辑推理
　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命
题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数式的化简与证
明、三角函数的性质等问题中.
培优四 三角函数式的化简与证明问题
【例4】　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证： sin 2β＝2 sin 2α－1.
证明：由tan2α＝2tan2β＋1，
得tan2α＋1＝2（tan2β＋1），
即 ＝2· ，
所以 ＝ ，即 cos 2β＝2 cos 2α，
即1－ sin 2β＝2（1－ sin 2α），
故 sin 2β＝2 sin 2α－1.原式得证.
培优五 三角函数的性质
【例5】　（1）下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是（　　）
A. y＝ cos B. y＝ sin
C. y＝ sin D. y＝ cos x
解析： 对于A，y＝ cos 的最小正周期T＝ ＝
π，但为非奇非偶函数，故A不符合题意；对于B，y＝ sin
＝ cos 2x，最小正周期T＝ ＝π，由诱导公式，可
知 cos （－2x）＝ cos 2x，则y＝ cos 2x为偶函数，所以y＝
sin 的最小正周期为π且为偶函数，故B符合题意；
对于C，y＝ sin 的最小正周期T＝2π，故C不符合题
意；对于D，y＝ cos x为偶函数，但其最小正周期T＝2π，故
D不符合题意.故选B.
（2）已知函数f（x）＝ sin x＋ ，则（　　）
A. f（x）的最小值为2
B. f（x）的图象关于y轴对称
C. f（x）的图象关于直线x＝π对称
D. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
解析：由题意得 sin x∈[－1，0）∪（0，1].对于A，当 sin x∈
（0，1]时，f（x）＝ sin x＋ ≥2 ＝2，当且仅
当 sin x＝1时取等号；当 sin x∈[－1，0）时，f（x）＝ sin x＋
＝－ ≤－2· ＝－2，当且仅
当 sin x＝－1时取等号，所以A错误；对于B，f（－x）＝ sin
（－x）＋ ＝－ ＝－f（x），所以f（x）
是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误；
对于C，f（x＋π）＝ sin （x＋π）＋ ＝－ ，
f（π－x）＝ sin （π－x）＋ ＝ sin x＋ ，则f（x＋π）
≠f（π－x），f（x）的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误；对
于D，f ＝ sin ＋ ＝ cos x＋ ，f ＝
sin ＋ ＝ cos x＋ ，所以f ＝f ，f（x）
的图象关于直线x＝ 对称，所以D正确.故选D.
四、直观想象
　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手
段，在本章中主要体现在三角函数图象的识别、变换及应用中.
培优六 三角函数的图象
【例6】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝
sin x与y＝2 sin （3x－ ）的交点个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
解析： 因为函数y＝ sin x的最小正
周期为T＝2π，函数y＝2 sin （3x－
）的最小正周期为T＝ ，所以在
x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－ ）
的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
（2）（2023·全国乙卷理6题）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）在
区间（ ， ）上单调递增，直线x＝ 和x＝ 为函数y＝f
（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－ ）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析：由函数f（x）在区间（ ， ）上单调递增，且直线x＝ 和x＝ 是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得 ＝2（ － ），
解得ω＝2，则f（ ）＝ sin （ ＋φ）＝－1，所以φ＝－ ＋2kπ－ ＝－ ＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ），k∈Z，
则f（－ ）＝ sin （－ ＋2kπ）＝ sin （－ ）＝ .故选D.
（3）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞
0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图所示.
①求f（x）的解析式；
②请写出g（x）＝f 的表达式，
并求出函数y＝g（x）
的图象的对称轴和对称中心.
解：①由题图可知A＝3， ＝ － ，
所以T＝π ω＝2，f（x）＝3 sin （2x＋φ），
所以 ＋φ＝ ，φ＝－ ，所以f（x）＝3 sin .
②由（1）知g（x）＝f ＝3 sin ［2（x＋ ）－ ］＝3
sin ＝3 cos 2x，令2x＝kπ（k∈Z），所以所求的对称
轴为直线x＝ （k∈Z），令2x＝ ＋kπ（k∈Z），
x＝ ＋ （k∈Z），所以所求的对称中心为
（k∈Z）.
五、数学建模
　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用
数学方法构建模型解决问题的素养.主要步骤为：发现和提出问题，
建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
培优七 构建三角函数模型
【例7】　游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心
城区城市美景，据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮
的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升
电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到
达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需
20分钟，以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示
的平面直角坐标系.
（1）试将游客甲离地面的距离h（t）（单位：米）表示为其坐上摩
天轮的时间t（单位：分钟）的函数；
解： 法一　据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度
为 ＝ 弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t分钟后甲到达
Q，则以OP为始边，OQ为终边的角的大小是 t，因为圆的半
径为r＝50米，由三角函数定义知点Q的纵坐标为y＝50 sin
（ t－ ），则其离地面的距离为h（t）＝20＋50＋50 sin
＝70－50 cos t（t≥0）.
法二　因为摩天轮是做匀速圆周运动，故可设h（t）＝A sin （ωt＋
φ）＋b（A＞0，ω＞0），据题意有
又周期T＝20，所以ω＝ ，由在最低点入舱得 ·0＋φ＝－ φ＝
－ ，
故得h（t）＝50 sin ＋70＝70－50 cos t，t≥0.
（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩
天轮后，甲乙离地面距离之差的表达式.
解：由（1）可知游客乙离地面的距离：g（t）＝70－50 cos ＝70－50 sin t，
其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙离地面距离之差表
达式为：Δh＝h（t）－g（t）＝50 .