章末检测（七） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.把－765°化成2kπ＋α（0≤α＜2π），k∈Z的形式是（ ）
A.－4π－ B.－4π＋
C.－6π－ D.－6π＋
2.若角α的终边经过点P（1，－2），则tan α的值为（ ）
A. B.－
C.－2 D.－
3.在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对应的弧长为（ ）
A. cm B. cm
C. cm D. cm
4.已知cos＝，且｜φ｜＜，则tan φ＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
5.如果函数y＝3sin（2x＋φ）的图象关于点中心对称，那么｜φ｜的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
6.为了得到函数y＝tan的图象，只需把函数y＝tan 2x的图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
7.若函数f（x）＝sin2x＋2cos x在区间上的最大值为1，则θ的值是（ ）
A.0 B. C. D.－
8.若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω和φ的取值是（ ）
A.ω＝1，φ＝ B.ω＝1，φ＝－
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若角α是第四象限的角，则（ ）
A.sin α＞0 B.cos α＞0
C.tan α＞0 D.sin αcos α＜0
10.同时满足下列三个条件的函数为（ ）
①在上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为T≥π.
A.y＝tan x B.y＝｜cos x｜
C.y＝tan D.y＝sin x
11.设函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，－＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，最小正周期是π，则（ ）
A.f（x）的图象过点
B.f（x）在上是减函数
C.f（x）图象的一个对称中心是点
D.将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3sin ωx的图象
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.函数f（x）＝2sin x＋1，x∈的值域为 .
13.已知sin α－cos α＝－，则tan α＋＝ .
14.将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f（x）的解析式为 ，f＝ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）（1）化简：·sin（α－π）·cos（2π－α）；
（2）求值：sin cos＋sin cos .
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的一段图象如图所示.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈，求函数f（x）的值域.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝3tan（2x－）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）试比较f与f的大小.
18.（本小题满分17分）在①将函数f（x）图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称；②函数y＝f是奇函数；③当x＝时，函数y＝f取得最大值.三个条件中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.
已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），其中ω＞0，｜φ｜＜，其图象相邻的对称中心之间的距离为， .
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）求函数y＝f（x）在上的最小值，并写出取得最小值时x的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）.
（1）若f（x）＝cos x，x∈[0，π]；g（x）＝sin x，x∈[0，π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说明理由；
（2）若f（x）＝cos x－1与g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1具有关系M（k），求实数k的取值范围；
（3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1；②对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0.
判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4），若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
3 / 3参考答案与详解
章末检测（七） 三角函数
1.D 2.C 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C
9.BD 若角α是第四象限的角，则sin α＜0， cos α＞0，tan α＜0，sin αcos α＜0，故选B、D.
10.AD A中y＝tan x，在上是增函数且为奇函数又是以π为最小正周期的函数，三个条件均满足；B中y＝｜cos x｜，为偶函数且在上是减函数又是以π为最小正周期的函数，不满足条件①②；C中y＝tan ，以2π为最小正周期，不满足条件③；D中y＝sin ，在上是增函数且为奇函数又以4π为最小正周期的函数，满足三个条件.故选A、D.
11.BC 由题意得T＝π＝，则ω＝2，故f（x）＝3sin（2x＋φ）.∵直线x＝是f（x）的图象的一条对称轴，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－π＋kπ，k∈Z，又－＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝3sin.f（0）＝3sin ＝，故A错误；当x∈时，2x＋∈，f（x）单调递减，故B正确；f＝3sin＝0，故C正确；将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3sin［2＋］＝3sin的图象，故D错误.故选B、C.
12.[0，3] 解析：易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，又f（0）＝1，f＝3，f＝0，故所求的最大值为3，最小值为0.
13.－ 解析：∵sin α－cos α＝－，∴sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，∴tan α＋＝＋＝＝＝－.
14.f（x）＝sin
解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f（x）＝sin（x＋），所以f＝sin＝sin＝.
15.解：（1）原式＝·（－sin α）cos α＝－sin2α.
（2）原式＝sin cos ＋＝×＋×＝.
16.解：（1）由题图可得f（x）＝2sin，
由－＋2kπ≤2x＋π≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为，k∈Z.
（2）因为x∈，所以2x＋π∈，
所以当x＝时，f（x）min＝－，
当x＝－时，f（x）max＝2，
所以函数f（x）的值域为[－，2].
17.解：（1）由已知得2x－≠kπ＋（k∈Z），
即x≠＋（k∈Z），
所以f（x）的定义域为.
（2）f＝3tan＝－3tan ＜0，f＝3tan＝3tan＝3tan＝3tan ＞0，所以f＜f.
18.解：（1）因为函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象相邻的对称中心之间的距离为，所以周期＝，即T＝π，所以ω＝＝2.
若选择①，
因为函数f（x）图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称，
所以g（x）＝2sin＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ－＝kπ＋，k∈Z，
因为｜φ｜＜，所以φ＝－.
所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
若选择②，
因为y＝f＝2sin＝2sin（2x＋＋φ）是奇函数，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝－.所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
若选择③，
y＝f＝2sin＝2sin（2x－＋φ），
由题设，当x＝时，函数y＝f取得最大值，
所以2×－＋φ＝2kπ＋（k∈Z），
即φ＝2kπ－（k∈Z），因为｜φ｜＜，所以φ＝－.
所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
（2）因为f（x）＝2sin，x∈，
所以2x－∈，所以当2x－＝－，
即x＝－时，函数f（x）取得最小值，最小值为－2.
19.解：（1）f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下：
当x∈[0，π]时，f（x）＝cos x∈[－1，1]，g（x）＝sin x∈[0，1]，
当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝时，g（x2）＝g（）＝1，
此时f（π）－g（）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系M（－2）.
（2）由函数f（x）＝cos x－1∈[－2，0]，
且g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1＝－2（sin x－）2＋，
因为sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝－1时，g（x）min＝－2×（－1－）2＋＝－2，当sin x＝时，g（x）max＝，
所以g（x）∈［－2，］，
所以[f（x1）－g（x2）]∈［－，2］，所以k∈［－，2］，即实数k的取值范围为［－，2］.
（3）不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.理由如下：
因为在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1，且h（x）为定义在R上的奇函数，
所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－时，h（x）取得最小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]，
由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h（x）关于点（a，0）对称，
又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的周期为2a，
又sin 2πx∈[－1，1]，cos 2πx∈[－1，1]，
所以当h（x1）＝1时，x1＝＋2na，n∈Z，sin 2πx1＝1时，x1＝＋k，k∈Z，
若＋2na＝＋k，即a＝，k，n∈Z，此时有f（x1）＝sin 2πx1＋h（x1）＝2；
当h（x2）＝－1时，x2＝－＋2ma，m∈Z，cos 2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z，
若－＋2ma＝t，则a＝，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－cos 2πx2＝－2，
因为≠，所以sin 2πx1＋h（x1）＋cos 2πx2－h（x2）＜4，
所以不存在x1∈R，x2∈R使得sin 2πx1＋f（x1）＋cos 2πx2－f（x2）＝4，
故不存在实数a使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4）.
章末检测（八） 向量的数量积与三角恒等变换
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.B 7.D 8.A
9.AD ∵sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，∴m2＋n2＝1，∴＝，∴tan（－θ）＝＝＝＝＝＝.
10.BCD ∵180°＜α＜270°，∴cos α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误.∵90°＜＜135°，∴sin ＝ ＝ ＝；cos ＝－ ＝ ＝－；tan ＝＝－2，故B、C、D均正确.
11.ABD f（x）＝sin＋cos＝sin（ 2x＋＋）＝cos 2x.选项A，f（－x）＝cos（－2x）＝cos 2x＝f（x），它是偶函数，A正确；选项B，x∈，所以2x∈（0，π），因此f（x）在上单调递减，B正确；选项C，f（x）＝cos 2x的最大值为，C不正确；选项D，当x＝时，f（x）＝cos＝－，因此当x＝时，函数有最小值，因此函数图象关于x＝对称，D正确.故选A、B、D.
12.－ 解析：由2sin α＋cos β＝两边平方可得4sin2α＋4sin αcos β＋cos2β＝ ①，由2cos α＋sin β＝－两边平方可得4cos2α＋4cos αsin β＋sin2β＝ ②，①＋②，可得5＋4sin αcos β＋4cos αsin β＝3，即4sin（α＋β）＝－2，即sin（α＋β）＝－.
13.6 解析：由题知a·b＝2×（－2）＋4×2＝4，所以c＝a＋4b＝（－6，12），｜c｜＝＝6.cos＜a，b＞＝＝＝.
14. 解析：依题意＝，所以tan α＝，所以－tan α＝－tan α＝－tan α＝＝＝＝.
15.解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝－16，｜a＋b｜＝＝＝4.
（2）由题意，知（a＋2b）·（ka－b）＝ka2＋（2k－1）a·b－2b2＝0，即16k－16（2k－1）－2×64＝0，解得k＝－7.
16.解：（1）f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
因为x∈R，所以f（x）的最大值为.
（2）由（1）得f＝sin
＝sin＝cos 2α.
由P（－3，4）在角α的终边上，得cos α＝－.
所以f＝2cos2α－＝－.
17.解：（1）因为A（2，3），B（1，4），C（3，3），
所以＝（2，3），＝（3，3）－（1，4）＝（2，－1），
所以cos＜，＞＝＝＝，
故向量与夹角的余弦值为.
（2）依题意可得＝（1，4），＝（3，3），
由∥，不妨设＝λ＝（λ，4λ）（λ≠0），
所以＝＋＝（2，3）＋（λ，4λ）＝（λ＋2，4λ＋3），
因为⊥，
所以·＝3（λ＋2）＋3（4λ＋3）＝0，解得λ＝－1，
所以＝（1，－1），即D（1，－1），
所以·＝1×1＋4×（－1）＝－3，｜｜＝＝，
所以向量在向量上的投影向量为·＝·（1，4）＝（－，－），
故向量在向量上的投影向量的坐标为（－，－）.
18.解：选条件①：因为tan α＝4，所以＝4.
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，
解得或
因为α∈，所以
（1）sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝（sin α＋cos α）＝＝.
（2）因为cos（α－β）＝，所以由sin2（α－β）＋cos2（α－β）＝1，解得sin2（α－β）＝.因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以sin（α－β）＝，
所以cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin（α－β）sin α＝×＋×＝，
由0＜β＜，所以β＝.
选条件②：因为7sin 2α＝8cos α，所以14sin αcos α＝8cos α，
因为α∈，所以cos α≠0，所以sin α＝.
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝.
因为α∈，所以cos α＝.
以下同①的解法.
选条件③：因为tan ＝，所以cos α＝cos2－sin2＝＝＝.
由平方关系sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝.
因为α∈，所以sin α＝.
以下同①的解法.
19.解：（1）证明：∵C＝π－（A＋B），∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B），
∴tan C＝－，
∴tan C（1－tan Atan B）＝－（tan A＋tan B），
∴tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
（2）①tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°
＝tan 20°＋tan 40°＋tan 120°＋tan 20°tan 40°＋
＝tan 20°tan 40°tan 120°＋tan 20°tan 40°＋
＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＋＝.
②＝
＝tan 120°＝－.
（3）∵C＝135°，则0°＜A＜45°，0°＜B＜45°，且A＋B＝45°，
∴tan A＞0，tan B＞0，
∴tan A＋tan B＝－tan 135°＋tan Atan Btan 135°
＝1－tan Atan B≥1－，
∴（tan A＋tan B）2＋4（tan A＋tan B）－4≥0，
解得tan A＋tan B≥2－2或tan A＋tan B≤－2－2（舍去），
∴tan A＋tan B≥2－2，当且仅当tan A＝tan B＝－1时取等号，
∴tan A＋tan B的最小值为2－2.
模块综合检测
1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.C 8.D
9.BD 由a＝λb可知a∥b，即a与b夹角为0或π，｜a－b｜2＝a2＋b2－2｜a｜·｜b｜·cos 0＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜a｜·｜b｜＝1＋4－4＝1或｜a－b｜2＝a2＋b2－2｜a｜·｜b｜cos π＝｜a｜2＋｜b｜2＋2｜a｜·｜b｜＝1＋4＋4＝9，所以｜a－b｜＝1或3.
10.BCD 若a·b＞0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B正确；若a·b＝c·b，b·（a－c）＝0，·（－）＝0，·（＋）＝0，取AC中点D，连接BD（图略），则·2＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；因为c·a＋c2＝·＋＝·（＋）＝0，所以·＝0，所以⊥，即△ABC为直角三角形，D正确.故选B、C、D.
11.CD 由诱导公式可得f（x）＝cos＝sin 2x，所以T＝＝＝π≠2π，A错误；若x∈，则2x∈，sin 2x∈，故函数f（x）在上的值域是，B错误；令＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），即＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），函数f（x）在［＋kπ，＋kπ］（k∈Z）上单调递减，当k＝0时，函数f（x）在上是减函数，所以C正确；令2x＝kπ（k∈Z），则x＝（k∈Z），函数f（x）＝sin 2x的对称中心为（k∈Z），当k＝－1时，函数f（x）的图象关于点对称，故D正确.
12.1 解析：因为a∥b，所以（1－sin θ）（1＋sin θ）－＝0.所以cos2θ＝，因为θ为锐角，所以cos θ＝，所以θ＝，所以tan θ＝1.
13.－ 解析：sin（α＋）－cos α＝sin α－cos α＝sin（α－）＝，∴cos（2α＋）＝cos［2（α－）＋π］＝－cos［2（α－）］＝2sin2（α－）－1＝－.
14. 解析：由已知f（0）＝2sin φ＝，又｜φ｜＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin，由f（2）＝0，即2sin＝0，所以2ω＋＝2kπ＋π，k∈Z，解得ω＝kπ＋，k∈Z，而0＜ω＜，所以ω＝，所以f（x）＝2sin，令f（x）＝，得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，由题图可知，B（1，）.所以＝（－2，），＝（－1，），所以｜｜＝，｜｜＝2，所以cos ∠ACB＝＝＝.
15.解：（1）因为θ＝，所以a＝，所以2a＋b＝2＋（2，1）＝（4，2）.
（2）因为a∥b，所以sin θ＝.
又θ∈，所以cos θ＝，
所以sin＝sin θcos ＋cos θsin ＝.
16.解：（1）根据题意，画出平面四边形ABCD的示意图，如图①所示.
因为｜｜＝｜｜＝2，∠BAD＝，
所以△ABD为等边三角形，则｜｜＝2.
又｜｜＝1，｜｜＝，所以｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，
则△BCD为直角三角形，
且∠C＝，∠DBC＝.
所以∠ABC＝＋＝，
所以·＝｜｜｜｜cos ＝0.
（2）根据题意，建立如图②所示的平面直角坐标系.
易知A（0，2），D（，1），设E（a，0），0≤a≤，
则＝（－a，2），＝（－a，1），
所以·＝（－a，2）·（－a，1）＝a2－a＋2＝＋.
所以当a＝时，·取得最小值.
故·的最小值为.
17.解：（1）∵f（x）＝（2cos2x－1）sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝（sin 4x＋cos 4x）
＝sin，
∴函数f（x）的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴函数f（x）的单调递减区间为［＋，＋］，k∈Z.
（2）∵f＝，∴sin＝1.
又α∈（0，π），∴－＜α－＜，
∴α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
18.解：（1）f（x）＝·＝cos xcos x－sin xsin x＝cos＝cos 2x.
（2）由（1）知f（x）＝cos 2x，
∵x∈，∴2x∈，
∴cos 2x∈[0，1].故函数f（x）的值域为[0，1].
（3）由（2）知2f（x）＋a∈[a，a＋2]，即D＝[a，a＋2].
①当a＋2≤－1，即a≤－3时，g（t）min＝g（a＋2）＝（a＋2）2＋（a＋2）－2＝2，解得a＝－6或a＝0（舍）.
②当a＜－1＜a＋2，即－3＜a＜－1时，g（t）min＝g（－1）＝－1－2＝－，不合题意.
③当a≥－1时，g（t）min＝g（a）＝a2＋a－2＝2，解得a＝2或a＝－4（舍）.
综上所述，a＝2或a＝－6.
19.解：（1）因为＝，所以＝－＝－，
所以｜｜2＝｜－｜2＝｜｜2－·＋｜｜2，
得｜｜2＝×42－×4×4×＋42＝13，
所以｜｜＝.
（2）因为＝λ，所以＝＋＝＋λ，
所以·＝（＋λ）·（－）＝·－｜｜2＋λ·－λ·＝×4×4×－42＋λ×4×4×－λ×4×4×（－）＝－10＋14λ，
因为AE⊥BF，所以·＝0，即－10＋14λ＝0，解得λ＝，
故当λ＝时，AE⊥BF.
（3）证明：＝－＝－－（λ－1）＝－＋（1－λ），
·＝·［－＋（1－λ）］＝－·＋（1－λ）·
＝－×4×4×cos 60°＋（1－λ）×4×4×cos 120°
＝－×4×4×＋（1－λ）×4×4×（－）＝8λ－10，
因为0≤λ≤1，所以·－·＝－10＋14λ－（8λ－10）＝6λ≥0，
所以·≥·.
8 / 8
