7.2.3 同角三角函数的基本关系式
新课程标准解读 核心素养
1.理解同角三角函数基本关系式 逻辑推理
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明 数学运算
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
【问题】 既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
知识点 同角三角函数的基本关系式
关系式 文字表述
平方 关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的 等于1
商数 关系 ＝ 同一个角α的正弦、余弦的 等于角α的
提醒 同角三角函数基本关系式的变形：①sin2α＝1－cos2α；②cos2α＝1－sin2α；③sin α＝cos αtan α；④cos α＝；⑤（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.【想一想】
1.同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？
2.“同角”一词的含义是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对 x∈R，sin24x＋cos24x＝1.（ ）
（2）对 x∈R，tan x＝.（ ）
（3）若cos α＝0，则sin α＝1.（ ）
2.设θ∈，若sin θ＝，则cos θ＝（ ）
A. B. C. D.
3.已知tan α＝－，＜α＜π，则sin α＝ .
题型一 利用同角三角函数的基本关系式求值
【例1】 （1）已知角α是第二象限角，且cos α＝－，则tan α的值是（ ）
A. B.－
C. D.－
（2）已知＝2，则＝ .
尝试解答
【母题探究】
（变设问）本例（2）条件不变，计算2sin2α－3sin αcos α的值.
通性通法
1.求三角函数值的方法
（1）已知sin θ（或cos θ）求tan θ常用以下方式求解
（2）已知tan θ求sin θ（或cos θ）常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间（象限）讨论.
2.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式值的方法
（1）关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
【跟踪训练】
1.设α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
2.若tan θ＋＝4，则sin θcos θ＝（ ）
A. B.
C. D.
题型二 三角函数式的化简与证明
角度1 三角函数式的化简
【例2】 若sin α·tan α＜0，化简＋.
尝试解答
通性通法
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
角度2 三角函数式的证明
【例3】 求证：＝.
尝试解答
通性通法
证明三角恒等式常用的方法
（1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等；
（3）比较法：即证左边－右边＝0或证＝1；
（4）综合法：即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想.
【跟踪训练】
1.化简tan α，其中α是第二象限角.
2.求证：＝.
题型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
【例4】 已知sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π），求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.
尝试解答
通性通法
已知sin α±cos α，sin αcos α的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
（1）（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α；
（2）（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α；
（3）（sin α＋cos α）2＋（sin α－cos α）2＝2；
（4）（sin α－cos α）2＝（sin α＋cos α）2－4sin αcos α.
【跟踪训练】
1.已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为（ ）
A. B.±
C. D.±
2.已知sin x＋cos x＝，且0＜x＜π.求sin x，cos x，tan x的值.
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（ ）
A.tan α＝－
B.cos α＝－
C.sin α＝－
D.tan α＝
2.若cos α＝－，α∈（0，π），则sin α的值等于（ ）
A.－ B.
C. D.－
3.已知tan α＝2，则＝（ ）
A.－5 B.
C. D.－
4.已知sin θ－cos θ＝，则sin3 θ－cos3 θ的值为 .
5.已知f（α）＝＋，其中α是第四象限角.
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝4，求sin α，cos α.
提示：完成课后作业 第七章 7.2 7.2.3
4 / 4学习讲义部分
第七章 三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
【基础知识·重落实】
知识点一
1.射线 始边 终边 2.（4）α ∠AOB 3.逆时针 顺时针 没有 转角 4.（1）逆时针 （2）顺时针
想一想
1.提示：角的三要素是顶点、始边、终边.
2.提示：在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边.
自我诊断
－30°
知识点二
1.第几象限角 坐标轴 2.（1）{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）×
2.ABC 因为－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°，所以A、B、C是正确的.
3.－25° 395°
【典型例题·精研析】
【例1】 C 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A不正确；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B不正确；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D不正确，故选C.
跟踪训练
1.B 各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°＋（－270°）＝－150°，故选B.
2.D 分针是按顺时针方向旋转的，因此分针1分钟转过的角为－6°，则分针158分钟转过的角为－6°×158＝－948°.
【例2】 解：（1）用－1 120°除以360°，得商为－4，余数为320°，
∴α＝320°＋（－4）×360°.
（2）法一 与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝320°＋k·360°，k∈Z}.
则由－720°≤320°＋k·360°≤0°，得－≤k≤－，k∈Z，∴k＝－2或－1.
当k＝－2时，θ＝－2×360°＋320°＝－400°；
当k＝－1时，θ＝－1×360°＋320°＝－40°.
故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°.
法二 与角α＝－1 120°终边相同的角θ的集合S＝{θ｜θ＝－1 120°＋k·360°，k∈Z}.
则由－720°≤－1 120°＋k·360°≤0，得≤k≤，k∈Z，∴k＝2或3.
当k＝2时，θ＝－1 120°＋2×360°＝－400°；
当k＝3时，θ＝－1 120°＋3×360°＝－40°.
故在－720°～0°之间的角θ＝－400°或－40°.
跟踪训练
1.D 因为2 025°＝360°×6－135°，所以－135°角与2 025°角的终边相同.
2.解：（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的正半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z}.
（2）在0°～360°范围内，终边在y＝x（x≥0）上的角有一个45°.故终边在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝45°＋k·360°，k∈Z}.
【例3】 （1）{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
解析：终边落在OA位置上的角的集合为{γ｜γ＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{γ｜γ＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
（2）解：法一 ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z）.
∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）.
当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得
n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，n∈Z，
这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得
n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，n∈Z，
这表明是第三象限角.
∴为第一或第三象限角.
法二 如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角.
母题探究
1.解：∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°（k∈Z），
∴k·720°＋360°＜2α＜k·720°＋540°（k∈Z），
∴角2α的终边在第一或第二象限或在y轴的正半轴上.
2.解：∵k·360°＜α＜k·360°＋90°（k∈Z），
∴k·180°＜＜k·180°＋45°（k∈Z）.
当k＝2n（n∈Z）时，n·360°＜＜n·360°＋45°，
∴是第一象限角.
当k＝2n＋1（n∈Z）时，n·360°＋180°＜＜n·360°＋225°，
∴是第三象限角.
∴是第一或第三象限角.
跟踪训练
1.A 由α是第二象限角可得，90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－（180°＋k·360°）＜180°－α＜180°－（90°＋k·360°），k∈Z.－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角.
2.解：（1）先表示出一个周期内满足条件的不等式45°≤α≤120°，再加360°的整数倍，得{α｜45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
（2）从135°角的终边开始逆时针旋转到与－45°终边相同的角应为135°＋180°＝315°，所以{α｜135°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}.
随堂检测
1.A 由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z.当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，n∈Z，其终边在第一象限.综上，α终边所在的象限是第一或第三象限.
2.D 330°角的终边与－30°角的终边相同，因此终边落在阴影部分（包括边界）的一个区间角为{α｜－30°≤α≤120°}，在此区间角的两端分别加上“k·360°”，右端注明“k∈Z”即可得到终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
3.CD 集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A C，A＝D.
4.240° 三 解析：因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角.
5.解：（1）420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角.
（2）－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角.
（3）1 020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角.
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
【基础知识·重落实】
知识点一
1. 半径长 2.（1）π
想一想
1.提示：不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
2.提示：这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则会产生混乱，正确的表示方法应为{αk∈Z}或{α｜α＝k·360°＋30°，k∈Z}.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.D
知识点二
αr lr αr2
想一想
提示：只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定.
自我诊断
1.B 设扇形的圆心角为α rad，半径为R cm，则解得α＝1.
2.6π 解析：扇形的面积为×62×＝6π.
【典型例题·精研析】
【例1】 D 利用弧度的定义及角度的定义判断.
选项 结论 理由
A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位
B 错误
C 错误
D 正确
跟踪训练
B 显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度数为×2π＝－π.
【例2】 解：（1）∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝＝2π＋；
α2＝－750°＝－750×＝－＝－4π－.
∴角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限.
（2）β1＝＝＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°（k∈Z），
∵－360°＜θ1＜360°，∴－360°＜k·360°＋144°＜360°，
∴k＝－1或k＝0.
∴在（－360°，360°）内与角β1终边相同的角是－216°.
β2＝－＝＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°（k∈Z），
∵－360°＜θ2＜360°，∴－360°＜k·360°－330°＜360°，
∴k＝0或k＝1.
∴在（－360°，360°）内与角β2终边相同的角是30°.
跟踪训练
1.（1）690° （2）－390° 解析：（1）＝＝690°.
（2）－＝－＝－390°.
2.解：∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π，
∴α＝－800°＝＋（－3）×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角.
【例3】 解：（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝.
（2）由（1）得扇形的面积S＝××＝.
母题训练
1.解：设圆心角为α，则α＝60°＝rad.又r＝10，∴l＝αr＝.
2.解：设扇形的圆心角的度数为n，由l＝αr，∴r＝3，∴S＝lr＝.
跟踪训练
1.D 设扇形的圆心角为θ，半径为r，则解得故扇形的圆心角为.
2.1 2 解析：设扇形的半径为r，则弧长l＝4－2r，∴扇形面积S＝lr＝（2－r）r＝－（r－1）2＋1，当r＝1时，S最大，最大值为1.此时l＝2，扇形的圆心角α＝＝2.
拓视野 扇形的弧长公式的应用
迁移应用
解：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s.
随堂检测
1.ABD 对于A，－210°＝－210×＝－，正确；对于B，405°＝405×＝，正确；对于C，335°＝335×＝，错误；对于D，705°＝705×＝，正确.
2.A 根据弧长公式，得l＝π×8＝π（cm）.
3.C 因为－π＜－2＜－，所以α的终边在第三象限.
4.－10π＋π 解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋π.
5.解：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则2r＋l＝4. ①
由扇形的面积公式S＝lr，得lr＝1. ②
由①②得r＝1，l＝2，所以α＝＝2 rad.
所以扇形的圆心角为2 rad.
7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
三角函数
想一想
提示：无关.三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角α的大小有关.
自我诊断
1.B ∵角α的终边经过点P（3，－4），∴sin α＝＝－.
2.－ －1 解析：如图，在135°角的终边上取一点P，使OP＝1，作PM垂直于x轴，垂足为点M，则∠POM＝45°.在Rt△PMO中，OM＝MP＝，所以点P的坐标为.所以cos 135°＝－，tan 135°＝－1.
知识点二
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.解：（1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0.
（2）因为－是第四象限角，所以sin＜0.
（3）因为是第三象限角，所以tan ＞0.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A 由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
（2）解：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，），则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；在第四象限取直线上的点（1，－），则r＝＝2，所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
母题探究
解：由条件知不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝－，sin α＝＝－，tan α＝＝.
跟踪训练
1.D 由三角函数的定义得cos α＝x＝，解得x＝0或x＝±.又点P在第二象限内，所以x＝－.
2.解：如图，在的终边上取点P，使OP＝2，作PM⊥Ox，
则在Rt△POM中，∠POM＝2π－＝，所以∠OPM＝，
则OM＝1，MP＝.所以点P的坐标为（1，－），
因此sin ＝－，cos ＝，tan ＝－.
【例2】 （1）D （2）C 解析：（1）角α是第三象限角，所以sin α＜0，所以点P（2，sin α）在第四象限.
（2）因为点P（2sin θ，3cos θ）位于第三象限，所以2sin θ＜0，3cos θ＜0，只有终边在第三象限的角正弦小于零，余弦小于零，故选C.
跟踪训练
ABD 因为90°＜165°＜180°，所以sin 165°＞0；因为270°＜280°＜360°，所以cos 280°＞0；因为90°＜170°＜180°，所以tan 170°＜0；因为270°＜310°＜360°，所以tan 310°＜0.故选A、B、D.
【例3】 C ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0.
∴－＝－＝2.
跟踪训练
{－4，0，2} 解析：由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，sin xcos x＞0，y＝0；当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，sin xcos x＜0，y＝2；当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，sin xcos x＞0，y＝－4；当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，sin xcos x＜0，y＝2.故函数y＝＋－的值域为{－4，0，2}.
随堂检测
1.B ∵角α的终边经过点P（－4，3），∴r＝｜OP｜＝5.∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.∴2sin α＋tan α＝2×＋＝.故选B.
2.D 由cos α＞0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上.由sin α＜0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.综上可得，角α的终边在第四象限.
3.A 因为0＜1＜，＜2＜π，＜3＜π，所以sin 1＞0，cos 2＜0，tan 3＜0，所以sin 1·cos 2·tan 3＞0.
4.（1）＜ （2）＜ （3）＜ 解析：（1）因为270°＜328°＜360°，所以328°在第四象限，所以sin 328°＜0.
（2）因为π＜π＜π，所以π在第三象限，所以cos π＜0.
（3）因为π＜π＜π，所以π在第二象限，所以tan π＜0.
5.解：根据三角函数的定义，tan α＝＝－，
所以a＝－12，
所以P（5，－12），r＝13，
所以sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－.
7.2.2 单位圆与三角函数线
【基础知识·重落实】
知识点一
2.余弦 正弦
想一想
1.提示：单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1.
2.提示：可以.
自我诊断
解析：由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，所以角的终边与单位圆的交点的坐标是.
知识点二
三角函数线
想一想
1.提示：三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
2.提示：能，当三角函数线与x轴（或y轴）正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴（或y轴）正向反向时，所表示三角函数值为负的.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.C α为第三象限角，故正弦线为，正切线为，所以C正确.
3.C 与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D 根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长度相等，0＜α＜2π，所以α＝或.
（2）解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角π，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝，cosπ＝，tan π＝，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
跟踪训练
1.B 根据正弦线的定义知，｜sin α｜＝1，所以sin α＝±1，所以角α的终边在y轴上.
2.C 和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线长度相等；和的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C.
【例2】 解：如图所示，设的终边与单位圆交于点P1，的终边与单位圆交于点P2.
（1）过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴于点M2，则，分别是，的正弦线.
∵｜｜＞｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相同，∴sin ＞sin .
（2）易知，分别是，的余弦线.
∵｜｜＜｜｜，且与的方向都与x轴的正方向相反，∴cos ＞cos .
（3）过点A（1，0）作x轴的垂线，交的终边的反向延长线于点T1，交的终边的反向延长线于点T2，则，分别是，的正切线.
∵｜｜＞｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相反，∴tan ＜tan .
跟踪训练
解：如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的任意一个角α及其余弦线、正弦线、正切线，，.
由图知，｜｜＜｜｜＜｜｜，
∴－｜｜＜－｜｜＜｜｜，
即sin α＜cos α＜tan α.
【例3】 解：（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（如图①所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围.
故满足要求的角α的集合为
.
（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域（如图②所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为，.
跟踪训练
D 如图，适合sin α＜的角α的范围和适合cos α＞的角α的范围的公共部分，即为角α的范围.
拓视野 三角函数在单位圆中的几何表示及应用
迁移应用
解：设0≤α1＜α2≤，分别作出α1，α2的正弦线，，如图所示.
∵｜｜＜｜｜，且与的方向都与y轴的正方向相同，
∴sin α1＜sin α2，
故正弦函数在上是增函数.
随堂检测
1.D 由正切线的定义知，当角α是第一、第三象限的角时，正切线都在第一象限.
2.C 由－2sin x≥0，得sin x≤，利用单位圆与三角函数线可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
3. 解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边的范围（如图阴影部分所示）.因此所求定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}.
4.解：（1）作直线y＝交单位圆于P，Q两点，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α的终边，如图甲.
（2）作直线x＝－交单位圆于M，N两点，连接OM，ON，则OM与ON为角α的终边，如图乙.
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
【基础知识·重落实】
知识点
平方和 tan α 商 正切
想一想
1.提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，它要求α≠kπ＋，k∈Z.
2.提示：一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.二是对任意一个角（在使得函数有意义的前提下），关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝1等.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.D ∵θ∈，sin θ＝，∴cos θ＝＝＝，故选D.
3. 解析：由tan α＝＝－，得cos α＝－2sin α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.
因为＜α＜π，所以sin α＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2） 解析：（1）因为α为第二象限角，所以sin α＝＝＝，所以tan α＝＝＝－.
（2）由＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.原式＝＝.
母题探究
解：因为tan α＝3，
所以原式＝＝＝＝＝.
跟踪训练
1.A 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.因为tan α＝－，所以＝－ ①.又sin2α＋cos2α＝1 ②，联立①②，解得cos α＝－.
2.D ∵tan θ＋＝4，∴＋＝4，即＝4，sin θcos θ＝.故选D.
【例2】 解：因为sin α·tan α＜0，所以cos α＜0.
原式＝＋
＝＋＝＋＝＝－.
【例3】 证明：法一 因为左边＝
＝＝
＝＝＝右边.
所以原式成立.
法二 由法一知，左边＝，
右边＝＝，
所以左边＝右边，原式成立.
跟踪训练
1.解：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α＝tan α＝tan α
＝·＝·＝－1.
2.证明：左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α），
所以＝，即左边＝右边，故原等式成立.
【例4】 解：因为sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π），
所以（sin θ＋cos θ）2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上式可知，θ为第二象限的角，
所以sin θ－cos θ＞0，
所以sin θ－cos θ
＝
＝＝.
跟踪训练
1.A 由已知得（cos α－sin α）2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.
2.解：∵sin x＋cos x＝， ①
两边平方，得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
∴2sin xcos x＝－，
∴（sin x－cos x）2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x
＝1＋＝.
∵sin xcos x＜0，而0＜x＜π，∴sin x＞0，cos x＜0，
∴sin x－cos x＞0，则sin x－cos x＝. ②
联立①②两式，
解得sin x＝，cos x＝－，故tan x＝－.
随堂检测
1.B 由商数关系可知A、D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确.
2.C ∵cos α＝－，α∈（0，π），∴sin α＝＝＝.故选C.
3.B ∵tan α＝2，∴＝＝＝＝.
4. 解析：将sin θ－cos θ＝两边同时平方，得1－2sin θcos θ＝，从而可得sin θcos θ＝，
故sin3θ－cos3θ＝（sin θ－cos θ）（sin2θ＋sin θcos θ＋cos2 θ）＝×＝.
5.解：（1）∵α是第四象限角，∴sin α＜0，cos α＞0，
∴f（α）＝＋＝＋＝＋＝－.
（2）∵f（α）＝－＝4，∴sin α＝－，
∴cos α＝＝.
7.2.4 诱导公式
第一课时 诱导公式①、②、③、④
【基础知识·重落实】
知识点
x y 原点 sin α －sin α sin α －sin α cos α
cos α －cos α －cos α tan α －tan α －tan α tan α
想一想
1.提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等.
2.提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称.
3.提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.D cos ＝cos ＝cos＝－cos ＝－.
3.A ∵tan α＝，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－.
4.－ 解析：sin 300°＝sin（360°－60°）＝sin（－60°）＝－sin 60°＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－.
（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝.
（3）sin＝－sin＝－sin＝－sin（π＋）＝sin＝.
（4）tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1.
跟踪训练
（1） － （2）1 解析：（1）sin 750°＝sin（2×360°＋30°）＝sin 30°＝；cos（－2 040°）＝cos 2 040°＝cos（5×360°＋240°）＝cos 240°＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－.
（2）原式＝－sin －cos ＝－sin－cos＝sin ＋cos ＝＋＝1.
【例2】 解：（1）原式＝＝＝＝1.
（2）原式＝
＝
＝＝－1.
跟踪训练
解：当n＝2k时，原式＝＝1；
当n＝2k＋1时，原式＝＝1.
综上，原式＝1.
【例3】 解：（1）cos＝cos
＝－cos＝－.
（2）cos＝cos
＝cos＝.
母题探究
1.解：sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝.
2.解：因为α∈，则α－∈.
所以cos＝－cos＝－cos
＝＝＝.
跟踪训练
1.D 因为sin（π＋α）＝－sin α，根据条件得sin α＝－，又α∈，所以cos α＝－＝－.所以tan α＝＝＝.所以tan（π－α）＝－tan α＝－.
2.解：∵－＝2π，
∴α－＝－2π.
∵sin＝－，
∴sin＝sin＝sin＝－.
随堂检测
1.C cos＝cos ＝－cos ＝－.
2.A 由cos（α－π）＝－，得cos α＝.又α为第四象限角，所以sin（－2π＋α）＝sin α＝－＝－.
3.C 2 025°＝6×360°－135°，所以cos 2 025°＝cos（－135°）＝cos 135°＜0，sin 2 025°＝sin（－135°）＝－sin 135°＜0，所以点P在第三象限.
4.1 解析：原式＝＝1.
5.解：（1）原式＝sin（－4×360°＋45°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.
（2）原式＝sin·cos·tan＝sin ·cos·tan ＝sin·cos ·tan ＝－sin ·cos ·tan ＝－××＝－.
第二课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
【基础知识·重落实】
知识点
1.cos α sin α 2.cos α －sin α 3.－cos α sin α
4.－cos α －sin α
想一想
1.提示：如图，角－α与角α的终边关于y＝x对称.
2.提示：点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是P2（b，a）.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.－ 解析：由sin－3cos＝0，可得－cos θ－3sin θ＝0，tan θ＝－.
3.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）－ （3） 解析：（1）sin 239°tan 149°＝sin（270°－31°）·tan（180°－31°）＝－cos 31°·（－tan 31°）＝sin 31°＝＝.
（2）因为cos（π＋α）＝－cos α＝－，所以cos α＝，又α为第一象限角，则cos＝－sin α＝－＝－＝－.
（3）cos＝cos＝sin（－α）＝.
跟踪训练
D ∵＋α－＝，∴cos＝sin＝sin＝－sin＝－.
【例2】 解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α，
cos＝cos＝cos＝－sin α，
sin（＋α）＝sin［6π－（－α）］＝－sin（－α）＝－cos α，
tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tan α，
sin（3π－α）＝sin（π－α）＝sin α，
∴原式＝－＝－＋＝＝＝1.
跟踪训练
解：（1）原式＝·sin（－sin α）
＝·（－sin α）
＝·（－cos α）（－sin α）＝－cos2α.
（2）原式＝sin（－α－π）cos－sin［π＋（＋α）］·cos[－（2π－α）]
＝sin[－（α＋π）]cos＋sincos（2π－α）
＝－sin（α＋π）sin α＋cos αcos α＝sin2α＋cos2α＝1.
【例3】 解：（1）f（α）＝
＝＝－sin α.
（2）因为cos＝－，
即cos＝cos
＝cos＝sin α＝－，即sin α＝－，
由（1）知f（α）＝－sin α＝.
母题探究
解：由cos（3π－α）＝可得cos α＝－，由本例可知f＝－sin＝－sin＝sin＝cos α＝－.
跟踪训练
解：由题意知m2＋＝1，解得m2＝，
因为α为第二象限角，故m＜0，
所以m＝－，所以sin α＝，cos α＝－.
原式＝＝＝－.
随堂检测
1.C 原式＝sin（90°＋5°）＋cos（180°－5°）＝cos 5°－cos 5°＝0.故选C.
2.B sin＝sin＝sin＝cos x.
3. 解析：sin＝sin＝sin（x＋）＝，cos＝cos＝sin＝，则sin＋cos＝.
4.－sin θ 解析：原式＝＝＝－sin θ.
7.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第一课时 正弦函数的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.非零常数T 每一个 f（x＋T）＝f（x） 2.周期 所有周期中 最小的正数 最小的正数
想一想
1.提示：不一定唯一.
2.提示：不是，必须对定义域内的每一个值成立.
自我诊断
0 解析：因为f（x）是周期为2的函数，所以f（3）＝f（3－2）＝f（1）＝0.
知识点二
1.唯一 正弦函数 2.R [－1，1] 奇 2π
想一想
1.提示：是.2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期.
2.提示：不是，是实数kπ，k∈Z.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.D
3.A ∵x∈R，∴sin x∈[－1，1]，∴当sin x＝1时，ymin＝－1；当sin x＝－1时，ymax＝3.故选A.
4.[0，2] （k∈Z） 解析：∵函数y＝sin x的值域为[－1，1]，∴函数y＝－sin x＋1的值域为[0，2].由函数y＝sin x在区间（k∈Z）上单调递减，知函数y＝－sin x＋1的单调递增区间为（k∈Z）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）f（x）＝sin 2x＋x2sin x.
∵x∈R，f（－x）＝sin（－2x）＋（－x）2sin（－x）
＝－sin 2x－x2sin x＝－f（x），
∴f（x）是奇函数.
（2）在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f（x＋T）＝f（x）成立，对于个别的x0，虽说满足f（x0＋T）＝f（x0），但不能说T是函数f（x）的周期.如sin＝sin ＝1，而sin 0＝0，故sin≠sin 0，所以不是函数y＝sin x的一个周期.
跟踪训练
1.B A选项，函数的最小正周期为2π，所以该选项错误；B选项，根据函数的图象得函数的最小正周期为π，所以该选项正确；C、D选项中的函数不存在周期，所以C、D选项都错误.
2.解：设g（x）＝f（x）－2，则g（x）＝ax3＋sin x.
则对任意x∈R，都有g（－x）＝a（－x）3＋sin（－x）＝－ax3－sin x＝－（ax3＋sin x）＝－g（x），
∴函数g（x）是奇函数.
∴g（－b）＝－g（b），即f（－b）－2＝g（－b）＝－g（b）＝－[f（b）－2]，
∴f（－b）＝－f（b）＋4＝－3＋4＝1.
【例2】 解：（1）sin 250°＝sin（180°＋70°）＝－sin 70°，
sin 260°＝sin（180°＋80°）＝－sin 80°，
因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin x，x∈[0°，90°]是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，
所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.
（2）sin＝－sin ＝－sin ＝－sin＝－sin ，
sin＝－sin ＝－sin .
因为0＜＜＜，且函数y＝sin x，x∈是增函数，
所以sin ＜sin ，－sin＞－sin，
即sin＜sin.
跟踪训练
＞ 解析：sin 196°＝sin（180°＋16°）＝－sin 16°，cos 156°＝cos（180°－24°）＝－cos 24°＝－sin 66°.∵0°＜16°＜66°＜90°，且y＝sin x在[0°，90°]内递增，∴sin 16°＜sin 66°，∴－sin 16°＞－sin 66°，即sin 196°＞cos 156°.
【例3】 解：y＝1－2sin2x＋sin x，令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为.
母题探究
解：当sin x≥0时，｜sin x｜＝sin x；当sin x＜0时，｜sin x｜＝－sin x，∴原解析式可化为y＝由－1≤sin x≤1，可知0≤y≤2，∴函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为[0，2].
跟踪训练
1.2 解析：因为－1≤sin x≤1，且a＞0，则解得b＝1，a＝2，所以ab＝2.
2.解：f（x）＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋.
∵｜x｜≤，∴－≤sin x≤，
∴当sin x＝－时，f（x）取得最小值，最小值为.
随堂检测
1.B y＝4sin（2x－π）＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称.
2.B y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同.
3.B f（x）＝（a≠0），f（－x）＝＝－f（x），f（x）为奇函数，f（2 025）＝－f（－2 025）＝－2，故选B.
4.－2 解析：当x＝2kπ－，k∈Z时，sin x取得最小值－1，所以f（x）＝sin x－1取得最小值－2.
5.解：∵函数f（x）＝，∴sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，故函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.
显然，f（x）的周期即y＝sin x的周期2π.
∵f（－x）＝＝－＝－f（x），∴f（x）为奇函数.
第二课时 正弦函数的图象
【基础知识·重落实】
知识点
1. 2.x＝＋kπ（k∈Z） （kπ，0）（k∈Z）
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.D 把y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0，2π]上的图象，故选D.
3.－1 解析：由题意－m＝sin ，∴－m＝1，∴m＝－1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
－sin x－1 －1 －2 －1 0 －1
描点作图，如图：
（2）找关键的五个点，列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
｜sin x｜ 0 1 0 1 0
描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到y＝｜sin x｜，x∈R的图象，如图所示.
跟踪训练
解：按五个关键点列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2sin x 0 2 0 －2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
【例2】 解：要使函数有意义，则sin x＞，作出y＝sin x在[0，2π]内的图象如图所示.
由图象知，在[0，2π]内使sin x＞的x的取值范围是.
故原函数的定义域为（k∈Z）.
跟踪训练
{0，2，4，5，6} 解析：求方程的根的个数等价于求直线y＝m与y＝sin x＋2｜sin x｜，x∈[0，3π]的图象的交点个数，由题意得y＝sin x＋2｜sin x｜＝其图象如图所示，
由图可以看到交点的个数可能为0，2，4，5，6.故n的取值构成的集合为{0，2，4，5，6}.
【例3】 解：由正弦函数的对称性可知z＝sin x的对称中心为（kπ，0），k∈Z，
作出y＝2sin x＋1的图象如图所示.
结合正弦函数的对称性可知y＝2sin x＋1的图象的对称中心是（kπ，1）（k∈Z），对称轴是直线x＝kπ＋（k∈Z）.
跟踪训练
AB ∵函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于y轴对称.∵函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，y＝sin（－x）＝－sin x，∴函数y＝sin x与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称.
随堂检测
1.B 观察y＝sin x图象可知A、C、D项正确，且关于原点中心对称，故选B.
2.D 当a＝0时，f（x）＝1，选项C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，f（x）的最大值小于2，选项A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，f（x）的最大值大于2，选项B符合.排除选项A、B、C，故选D.
3.B 用五点法作图时五个关键点是（0，1），，（π，1），，（2π，1），故只有选项B的图象符合.
4.B 由五点法作出函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象（如图所示），由图可知其与直线y＝2只有1个交点.
5.解：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，再向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.
描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个.
7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第一课时 正弦型函数的图象
【基础知识·重落实】
知识点一
2. φ [－｜A｜，｜A｜] ｜A｜
知识点二
1.左 右 2.缩短 伸长 3.伸长 缩短
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.D 函数的最小正周期T＝＝4π.
3.B 将y＝sin x的图象向左平移个单位可得到y＝sin的图象.
4.3
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度得到.
（2）
跟踪训练
1.C 将函数y＝sin x所有的点向右平移个单位，所得图象的函数解析式为y＝sin，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin，故选C.
2.③ 解析：y＝sin xy＝sin
y＝sin.
【例2】 BC 由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin（2x＋φ），将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin［π－］＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y＝sin（－2x＋φ），将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，但当x＝0时，y＝sin＝－＜0，与图象不符合，舍去.故选B、C.
跟踪训练
B 由题意可知A＝3，T＝2×（7－3）＝8，所以ω＝＝.因为函数f（x）的图象经过点（3，0），所以＋φ＝π＋2kπ（k∈Z），φ＝＋2kπ（k∈Z）.又φ∈[0，2π），所以φ＝，所以f（x）＝3sin，所以f（1）＝3.故选B.
随堂检测
1.B 振幅为2，周期为＝6π.
2.B 由函数图象的伸缩规律知，将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝3sin的图象.故选B.
3.解：由图象可知A＝2，T＝4×（6－2）＝16，ω＝＝.
又x＝6时，×6＋φ＝2kπ，又｜φ｜＜π，所以φ＝－.
所以所求函数的解析式为y＝2sin.
第二课时 正弦型函数的性质（习题课）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一（定义法） y＝sin
＝sin
＝sin，
∴周期为π.
法二（公式法） y＝sin中ω＝2，
T＝＝＝π.
（2）∵ω＝，∴T＝＝6π.
（3）作图如下.
观察图象可知周期为π.
跟踪训练
1.B 由已知得＝π，解得ω＝1.故选B.
2.A 画出f（x）＝sin 3x＋｜sin 3x｜的部分图象，如图所示.由图象可知，函数为周期函数，最小正周期为，故选A.
【例2】 解：y＝1＋sin＝－sin（ x－）＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋（k∈Z），
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π（k∈Z）.
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为［－4π，－］，，.
跟踪训练
解：法一 函数y＝sin x的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝sin的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
法二 令2x－＝，解得x＝，
所以函数y＝sin在x＝处取得最大值.
又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝sin的一个单调递增区间为，即，
所以函数y＝sin的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
【例3】 B f（x）＝sin的最小正周期为2π，①正确；sin ＝1＝f为f（x）的最大值，②错误；将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f（x）＝sin的图象，③正确.故选B.
跟踪训练
解：由题意得－≤x≤m，∴－≤2x≤2m，
∴－≤2x－≤2m－.∵函数f（x）的最大值为，∴y＝sin在上的最大值为1，
∴2m－≥，∴m≥.∴m的最小值为.
拓视野 正弦函数图象对称性问题的探究
迁移应用
1.B 因为y＝sin的函数图象在R上关于原点对称，所以y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－满足题意.
2.解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z.
随堂检测
1.D 函数f（x）＝sin的最小正周期T＝＝4π.
2.ACD 因为函数y＝sin x在上是单调递减的，所以f（x）＝sin 2x在上是单调递减的，故A错误；因为f（－x）＝sin 2（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
3.解：函数y＝3sin＝－3sin，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为.
7.3.3 余弦函数的性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点一
1.唯一 余弦函数 2.（1）左 （2）（π，－1）
想一想
提示：能.向右平移个单位.
自我诊断
B 令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.
知识点二
想一想
1.提示：余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴.
2.提示：T＝.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.A ∵－1≤cos x≤1，∴－1≤y≤3.
3.（k∈Z） 解析：由2kπ≤x－≤2kπ＋π可得：2kπ＋≤x≤2kπ＋π＋，即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：按五个关键点列表、描点画出图象（如图）.
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
y＝3－2cos x 1 3 5 3 1
跟踪训练
解：列表如下：
x －
μ＝x＋ 0 π 2π
y＝cos μ 1 0 －1 0 1
描点作图（如图）.
【例2】 （1）B （2）A 解析：（1）f（x）＝5cos，由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ（k∈Z），得－≤x≤＋（k∈Z），所以是f（x）的一个单调递减区间.
（2）sin ＝sin＝－sin ＝sin ＝cos ，cos ＝cos＝cos＝cos ，因为y＝cos x在上是减函数，所以cos ＞cos ＞cos ，即a＞c＞b.
跟踪训练
1.[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z） 解析：∵函数y＝cos x的单调递增区间是[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z），∴函数y＝－3cos x－1的单调递减区间是[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）.
2.＞ 解析：∵cos π＝cos＝cos ，cos ＝cos＝cos ，而0＜＜＜，∴cos ＞cos ，即cos ＞cos .
【例3】 解：由余弦函数的性质可知，f（x）＝cos x在上递增，在上递减，
又因为f＝，f（0）＝1，f＝，
所以函数的最大值为1，最小值为，
故值域为.
母题探究
解：因为－≤x≤，所以－≤2x－≤，
令t＝2x－，则y＝cos t在区间上递增，在［0，］上递减，所以y＝cos t的最大值为1，因为cos（－）＝cos ＜cos ，
故最小值为cos＝－，
故原函数的值域为.
【例4】 解：y＝sin2x＋cos x＝1－cos2x＋cos x
＝－cos2x＋cos x＋1＝－＋，
令t＝cos x，则y＝－＋，t∈[－1，1].
因为－1≤t≤1，所以当t＝时，ymax＝；
当t＝－1时，ymin＝－.
因此函数y＝sin2x＋cos x的值域为.
跟踪训练
解析：设cos x＝t，因为－≤x≤，则t∈，所以y＝1－cos2x＋cos x＝－＋，t∈，故当t＝，即x＝±时，y的最大值为；当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.所以函数的值域为.
【例5】 解：（1）令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－（k∈Z）.令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
（2）设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f（x），则f（x）＝2cos＝2cos.∵y＝f（x）的图象关于原点（0，0）对称，∴f（0）＝2cos＝0.∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.解得φ＝－（k∈Z）.令k＝0，得φ＝，∴φ的最小正值是.
跟踪训练
1.B ∵sin＝－sin＝－cos 2x，∴f（x）＝－cos 2x.又f（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝f（x），∴f（x）是最小正周期为π的偶函数.
2.B 由题意有ω＋＝kπ＋（k∈Z），整理得ω＝6k＋2（k∈Z）.又ω∈N＋，所以ω的最小值为2，故选B.
随堂检测
1.D 可根据x∈[0，2π]取x＝0，π，2π验证知选D.
2.ABC y＝cos｜2x｜＝cos 2x的最小正周期为π；y＝｜cos x｜的最小正周期为π；y＝cos的最小正周期为π；y＝sin的最小正周期为2π.
3.（1）＞ （2）＜ 解析：（1）∵0°＜15°＜35°＜90°，且当0°≤x≤90°时，y＝cos x单调递减，∴cos 15°＞cos 35°.
（2）∵－＜－＜－＜0，且y＝cos x在上单调递增，∴cos＜cos.
4.解：由于y＝cos x的对称中心坐标为（k∈Z），对称轴方程为x＝kπ（k∈Z），
又由2x－＝kπ＋，得x＝＋（k∈Z）；
由2x－＝kπ，得x＝＋（k∈Z），
故y＝3－2cos的对称中心坐标为（＋，3）（k∈Z），
对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
7.3.4 正切函数的性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点一
x≠＋kπ，k∈Z 唯一
知识点二
（k∈Z） （k∈Z）
想一想
1.提示：不是.
2.提示：不是，点（k∈Z）是其对称中心，有无数个.
3.提示：不对.正切曲线没有对称轴.
自我诊断
（1）× （2）× （3）√
【典型例题·精研析】
【例1】 （1） （2）[－tan 1，tan 1] 解析：（1）要使函数y＝＋lg（1－tan x）有意义，则即－1≤tan x＜1.在（－，）上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为{x｜－＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}.
（2）因为－1≤sin x≤1，且[－1，1] ，所以y＝tan x在[－1，1]上是增函数，因此tan（－1）≤tan x≤tan 1，即函数y＝tan（sin x）的值域为[－tan 1，tan 1].
母题探究
解：令u＝tan x，∵｜x｜≤，∴由正切函数的图象知u∈[－，]，∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，]，∵二次函数y＝u2－2u＝（u－1）2－1图象开口向上，对称轴方程为u＝1，∴当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，∴原函数的值域为[－1，3＋2].
跟踪训练
1. 解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋（k∈Z），得x≠＋（k∈Z），∴函数的定义域为.
2.[－，0] 解析：y＝tan＝－tan.∵x∈，∴2x－∈.∴0≤tan（2x－）≤.∴－≤tan≤0，故函数y＝tan，x∈的值域为[－，0].
【例2】 （1）解析：由于ω＝3，故函数的最小正周期为T＝＝.
（2）解：①由
得f（x）的定义域为，
不关于原点对称，
所以函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数.
②函数定义域为，
关于原点对称，
又f（－x）＝tan＋tan＝－tan－tan＝－f（x），
所以函数是奇函数.
跟踪训练
1.A 函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
2.解：（1）要使函数有意义，需满足：tan x≠0，且tan x有意义，即x∈∪，k∈Z，
可知定义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x，都有f（－x）＝－tan x－＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数.
（2）由得
∴函数f（x）的定义域为∪，k∈Z，定义域关于原点对称.
又对任意x∈∪，k∈Z，都有f（－x）＝lg｜tan（－x）｜＝lg｜－tan x｜＝lg｜tan x｜＝f（x），
∴函数f（x）是偶函数.
【例3】 解：（1）由诱导公式可知tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π），因为＜2＜π，＜3＜π，所以－＜2－π＜0，－＜3－π＜0，所以－＜2－π＜3－π＜1＜.因为函数y＝tan x在上单调递增，所以tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1.
（2）y＝2tan＝－2tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，可得－＜x＜＋，k∈Z，
故函数y＝2tan的单调递减区间为（ －＋，＋），k∈Z，无单调递增区间.
跟踪训练
1.（0，1] 解析：∵＞，∴a＞0，∵＞0，＜0，∴解得0＜a≤1.
2.解：∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan.
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
∴tan＜tan，即tan＞tan.
【例4】 解：由y＝｜tan x｜得，
y＝其图象如图所示.
由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数，
单调递增区间为（k∈Z），
单调递减区间为（k∈Z），周期为π.
跟踪训练
解：作出y＝tan x及y＝－1的图象，如图.
∴满足此不等式的x的集合为{x＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}.
随堂检测
1.C 由＝2π，故选C.
2.A 因为f（－x）＝2tan x＝－2tan（－x）＝－f（x），且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）＝2tan（－x）是奇函数.
3. 解析：由题意知x＋≠kπ＋（k∈Z），即x≠＋kπ（k∈Z）.故定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}.
4.（k∈Z） （k∈Z）
解析：由kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.令＋＝（k∈Z），则x＝kπ－（k∈Z），所以对称中心坐标为（k∈Z）.
5.解：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1，1].
∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4，4].
7.3.5 已知三角函数值求角
【基础知识·重落实】
知识点
1.arcsin y 2.arccos y 3.arctan y
想一想
提示：arcsin α表示在区间上，正弦值为α的角；arccos α表示在区间上，余弦值为α的角；arctan α表示在区间上，正切值为α的角.
自我诊断
1.ABD 根据已知正弦值求角的定义知arcsin（－1）＝－，故C项错误.易知A、B、D正确.
2.或 解析：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），
当sin α＝时，α＝或.
3.或 解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].
∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由y＝sin x在上是增函数及反正弦函数的概念，
知适合sin x＝的角x只有一个，
即x＝.这时，适合sin x＝的x的集合为.
（2）当x∈[0，2π]时，由诱导公式sin（π－x）
＝sin x＝及sin ＝sin ＝，
可知x1＝，x2＝.
这时，适合sin x＝的x的集合为.
（3）当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋（k∈Z）或x＝2kπ＋（k∈Z）时，sin x＝，
则所求的x的集合是{x，k∈Z或x＝2kπ＋，k∈Z}.
跟踪训练
解：法一 由sin＝＞0可知，
角x＋对应的正弦线方向朝上，
且长度为.
作出示意图如图①所示.
由图①可知角x＋的终边可能是OP，也可能是OP'.
又sin＝sin＝，
所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
所以角x的取值集合为
.
法二 作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图②所示，由图②可知sin＝sin＝，
所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
所以角x的取值集合为
.
【例2】 解：（1）由cos＝＞0，
知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，
如图所示，可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP'.
又因为cos ＝cos＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.
（2）如图所示，
在[－π，π]上，x＋＝－或x＋＝时，cos＝－，
所以x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos＝－.
令－＋2kπ＜x＋＜＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ＜x＜＋4kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为
.
跟踪训练
解：（1）因为cos x＝－且x∈[0，π]，
所以x＝arccos.
（2）当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解.
因为cos x＝－，故x是第二或第三象限角.
由（1）知x＝arccos是第二象限角，
又cos＝cos＝－，
且2π－arccos∈，
所以由余弦函数的周期性知，
当x＝arccos＋2kπ或x＝2π－arccos＋2kπ（k∈Z）时，cos x＝－，
即所求x值的集合是.
【例3】 解：（1）由正切函数在开区间上是增函数可知，
符合条件tan α＝－3的角只有一个，
即α＝arctan（－3）.
（2）α＝kπ＋arctan（－3）（k∈Z）.
跟踪训练
解：因为tan x＝－1＜0，
所以x是第二或第四象限角.
由tan＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan＝－tan ＝－1，
得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
随堂检测
1.C 由arccos的定义可得arccos＝π－arccos＝π－＝.故选C.
2.C 因为arcsin＝，arccos＝，arctan（－）＝－，所以原式＝＝1.
3.C 由题意知tan x＝，x∈（0，2π），则x＝arctan 或x＝π＋arctan ，故选C.
4.解：（1）因为sin α＝，且α为锐角，即α∈，
所以α＝.
（2）因为sin α＝，且α为第二象限的角，
所以在（0，2π）内满足条件的角为.
所以符合条件的所有角为α＝2kπ＋（k∈Z）.
章末复习与总结
【例1】 解：（1）因为x＝－4a，y＝3a，
所以r＝＝5｜a｜（a≠0），
当a＞0时，cos α＝＝＝－；
当a＜0时，cos α＝＝＝.
（2）因为角α的终边经过点P（－4a，3a），由角β的终边与角α的终边关于y＝x对称可得，角β的终边经过点Q（3a，－4a），
又a＞0，则r＝＝5｜a｜＝5a，故cos β＝＝＝.
【例2】 解：选①，（1）因为sin＝cos α＝－，
所以sin α＝±＝±.
又因为α为第二象限角，所以sin α＝.
（2）f（α）＝
＝＝sin α＝.
选②，（1）因为α终边上一点P（－4，3），
所以sin α＝，cos α＝－.
（2）f（α）＝
＝＝sin α＝.
【例3】 解：（1）∵x∈，
∴2x＋∈，sin∈.
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
（2）由已知y＝，得sin x＝.
∵｜sin x｜≤1，
∴≤1，∴≤1，
∴
∴（y＋2）（3y－4）≤0且y≠3，
解得－2≤y≤.
故所求函数的最大值为，最小值为－2.
【例4】 证明：由tan2α＝2tan2β＋1，
得tan2α＋1＝2（tan2β＋1），
即＝2·，
所以＝，
即cos2β＝2cos2α，
即1－sin2β＝2（1－sin2α），
故sin2β＝2sin2α－1.
原式得证.
【例5】 （1）B （2）D 解析：（1）对于A，y＝cos的最小正周期T＝＝π，
但为非奇非偶函数，故A不符合题意；
对于B，y＝sin＝cos 2x，
最小正周期T＝＝π，由诱导公式，
可知cos（－2x）＝cos 2x，则y＝cos 2x为偶函数，
所以y＝sin的最小正周期为π且为偶函数，故B符合题意；
对于C，y＝sin的最小正周期T＝2π，故C不符合题意；
对于D，y＝cos x为偶函数，但其最小正周期T＝2π，故D不符合题意.故选B.
（2）由题意得sin x∈[－1，0）∪（0，1].对于A，当sin x∈（0，1]时，f（x）＝sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1时取等号；当sin x∈[－1，0）时，f（x）＝sin x＋＝－≤－2·＝－2，当且仅当sin x＝－1时取等号，所以A错误；对于B，f（－x）＝sin（－x）＋＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误；对于C，f（x＋π）＝sin（x＋π）＋＝－，f（π－x）＝sin（π－x）＋＝sin x＋，则f（x＋π）≠f（π－x），f（x）的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误；对于D，f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，f（x）的图象关于直线x＝对称，所以D正确.故选D.
【例6】 （1）C （2）D
解析：（1）因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
（2）由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D.
（3）解：①由题图可知A＝3，＝－，
所以T＝π ω＝2，f（x）＝3sin（2x＋φ），
所以＋φ＝，φ＝－，
所以f（x）＝3sin.
②由（1）知g（x）＝f＝3sin＝3sin＝3cos 2x，令2x＝kπ（k∈Z），所以所求的对称轴为直线x＝（k∈Z），令2x＝＋kπ（k∈Z），
x＝＋（k∈Z），所以所求的对称中心为（＋，0）（k∈Z）.
【例7】 解：（1）法一 据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为＝弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t分钟后甲到达Q，则以OP为始边，OQ为终边的角的大小是t，因为圆的半径为r＝50米，由三角函数定义知点Q的纵坐标为y＝50sin，则其离地面的距离为h（t）＝20＋50＋50sin＝70－50cos t（t≥0）.
法二 因为摩天轮是做匀速圆周运动，故可设h（t）＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0），据题意有
又周期T＝20，所以ω＝，由在最低点入舱得·0＋φ＝－ φ＝－，
故得h（t）＝50sin＋70＝70－50cos t，t≥0.
（2）由（1）可知游客乙离地面的距离：g（t）＝70－50cos＝70－50sin t，
其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙离地面距离之差表达式为：Δh＝h（t）－g（t）＝50（sin t－cos t）.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
∠AOB ＜a，b＞ 0≤＜a，b＞≤π 同向 反向 a⊥b 零向量
想一想
提示：成立.
自我诊断
互补 解析：根据向量夹角定义可知向量，夹角为A，而向量，夹角为π－A，故二者互补.
知识点二
1.｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ ｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ 2.≤ a2 ｜a｜2 a·b＝0 3.（1）投影向量 投影 （2）｜a｜cos＜a，b＞
（3）投影的数量
想一想
1.提示：向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；向量加法、减法和数乘仍是向量，既有大小又有方向.
2.提示：先求cos＜a，b＞＝，再根据余弦值求＜a，b＞.
3.提示：一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们既有可能方向相同，也有可能方向相反.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.B 因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，＜a，b＞＝，则a·b＝｜a｜｜b｜cos＝2×3×＝3.
3.D 向量a在b上的投影的数量为｜a｜cos θ＝3×cos ＝.故选D.
4.8 解析：∵m·n＝｜m｜｜n｜cos＜m，n＞，∴｜n｜＝＝8.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝3×6×1＝18.
若a与b反向，则它们的夹角为180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝3×6×（－1）＝－18.
②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝0.
③当a与b的夹角是60°时，
a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝3×6×＝9.
跟踪训练
ABC 因为a，b，c为三个非零向量，若｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cos θ｜＝｜a｜·｜b｜ ｜cos θ｜＝1 cos θ＝±1 θ＝0或π a∥b，故A正确.a，b反向 θ＝π cos θ＝－1 a·b＝－｜a｜·｜b｜，故B正确.a⊥b a·b＝0 ｜a＋b｜2＝｜a－b｜2 ｜a＋b｜＝｜a－b｜，故C正确.若｜a｜＝｜b｜，＜a，c＞与＜b，c＞不一定相等，故｜a·c｜＝｜b·c｜不成立，当｜a·c｜＝｜b·c｜时，只能说明a，b在c上的投影相等，但｜a｜＝｜b｜不一定成立，故D错误.
【例2】 （1）ABD （2）－ －4 解析：（1）∵a和b为单位向量，∴｜a｜＝｜b｜＝1，又a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝－，∴cos＜a，b＞＝－，∴向量b在向量a上的投影向量c＝｜b｜cos＜a，b＞a＝－a，向量a在向量b上的投影向量d＝｜a｜cos＜a，b＞b＝－b，∴｜d｜＝＝，｜c｜＝＝，A正确，C错误.a·c＝－a2＝－，B正确.c·d＝｜c｜·｜d｜cos＜c，d＞＝×cos＜a，b＞＝×＝－，D正确.故选A、B、D.
（2）a·b＝｜a｜·｜b｜cos＜a，b＞＝－12，所以向量a在向量b方向上投影的数量为｜a｜·cos＜a，b＞＝＝＝－；向量b在向量a方向上投影的数量为｜b｜·cos＜a，b＞＝＝＝－4.
跟踪训练
解：（1）∵｜b｜＝1，∴b为单位向量.
∴a在b上的投影向量为｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b.
（2）∵｜a｜＝3，∴＝a，
∴b在a上的投影向量为｜b｜cos 120°＝1··a＝－a.
【例3】 解：（1）因为a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞，
所以｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜cos＜a，b＞｜＝｜a｜｜b｜｜cos＜a，b＞｜＝6.
又｜a｜＝3，｜b｜＝4，
所以｜cos＜a，b＞｜＝＝＝，
所以cos＜a，b＞＝±.
因为＜a，b＞∈[0，π]，
所以a与b的夹角为或.
（2）
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作 OACB，
因为｜a｜＝｜b｜，即｜｜＝｜｜，
所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，
这时＝a＋b，＝a－b，
因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，
即｜｜＝｜｜＝｜｜，
所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为.
母题探究
解：如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中，
因为｜a＋b｜＝｜a－b｜，所以四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中，｜a－b｜＝2｜a｜，
所以∠ABD＝.
所以a＋b和a－b的夹角为.
跟踪训练
1.C 设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，因为｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝，所以cos θ＝＝＝，所以向量a，b的夹角θ＝.
2.C a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝－12，又｜a｜＝4，所以｜b｜＝6.
随堂检测
1.A 因为向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，＜a，b＞＝θ，tan θ＝，θ∈[0，π]，则θ＝，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝1.
2.C 因为｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a2＋b2＝｜a｜2＋｜b｜2＝5.
3.B a在e上的投影的数量为｜a｜cos＜a，e＞＝｜a｜＝＝4×1×cos ＝－2，故选B.
4.解：因为＋＝0，
所以＝，即AB∥DC，且AB＝DC，
所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为·＝0，所以⊥，即AB⊥BC.
所以四边形ABCD为矩形.
8.1.2 向量数量积的运算律
【基础知识·重落实】
知识点
1.b·a λ（a·b） a·c＋b·c
想一想
提示：正确.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.C ｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则｜a－b｜＝2.
3.B 由题意知，cos＜m，n＞＝＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）（2a＋3b）·（3a－2b）
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6｜a｜2＋5a·b－6｜b｜2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268.
（2）·＝·（－）＝－·＝1－×4－×2×1×＝－.
跟踪训练
1.－4 解析：∵｜a｜＝5，｜b｜＝2，向量a与b的夹角θ＝60°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝5×2×＝5，∴（a＋2b）·（a－3b）＝a2－a·b－6b2＝25－5－24＝－4，故（a＋2b）·（a－3b）＝－4.
2.16 解析：由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形，斜边长为2，·（＋）＝·（＋）＝·＋·＝·（＋）＋·（＋）＝·2＋·2＝4·＝4×2×2×＝16.
【例2】 （1）3 解析：由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝3.
（2）解：由向量的性质，知＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°，
于是｜｜2＝｜＋＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·＋2·＋2·
＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0
＝17＋2.
则AD的长为.
跟踪训练
1.A ∵a·（b－a）＝1，∴a·b－a2＝1，即a·b＝1＋a2＝5，∴｜b－a｜＝＝＝.
2.A ∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴a2＋2a·b＋b2＝2（a2－2a·b＋b2），∴6a·b＝a2＋b2.∵a，b为单位向量，∴a·b＝.∵a·（a－b）＝a2－a·b＝1－＝，｜a－b｜＝＝＝，∴cos＜a，a－b＞＝＝，∴向量a在a－b上的投影向量为（｜a｜·cos＜a，a－b＞）e＝e.故选A.
【例3】 （1）B 因为·＝·，所以（－）＝·＝0，所以⊥，同理⊥，⊥，所以O是△ABC的垂心.
（2）证明：设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
跟踪训练
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝c－a，＝b－a.
由｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，
得a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2，
即a2＋c2＋b2－2c·b＝b2＋a2＋c2－2a·c＝c2＋b2＋a2－2a·b，整理得c·b＝a· c＝b·a.
∴·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0，·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0，·＝（c－a）·b＝c·b－a·b＝0，
∴⊥，⊥，⊥，即OC⊥AB，OA⊥BC，OB⊥AC，
∴点O是△ABC的垂心.
随堂检测
1.B 由题意知a2＝2a·b，b2＝2a·b，所以｜a｜＝｜b｜，a·b＝｜a｜2，所以cos＜a，b＞＝＝，即＜a，b＞＝.
2.A 因为以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，分别为a＋b，a－b，所以｜a＋b｜＝｜6p－q｜＝＝＝＝15，｜a－b｜＝｜4p＋5q｜＝＝＝.故选A.
3. 解析：由a·b＝0得（e1－2e2）·（ke1＋e2）＝0，整理得k－2＋（1－2k）cos ＝0，解得k＝.
4.证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a，
则·＝·
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·＋·a·
＝－a2＋a2＋a2＝0.所以AD⊥CE.
8.1.3 向量数量积的坐标运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）x1x2＋y1y2 （2）x1x2＋y1y2＝0 2.（1） （2） （3）非零
想一想
1.提示：公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序.
2.提示：（1）当θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2＞0；
（2）当θ为直角 x1x2＋y1y2＝0；
（3）当θ为钝角或平角 x1x2＋y1y2＜0.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.C 由题意知，a·b＝（－2）×1＋4×2＝6.
3.C ∵a＝（1，2），b＝（x，－2），且a⊥b，∴a·b＝1×x＋2×（－2）＝0，即x－4＝0，∴x＝4.
4.135° 解析：因为向量a＝（2，2），b＝（0，－3），则a·b＝－6，｜a｜＝2，｜b｜＝3，则cos＜a，b＞＝＝－，又0°≤＜a，b＞≤180°，所以a与b的夹角为135°.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一 因为a＝（1，2），b＝（3，4），
所以a·b＝1×3＋2×4＝11，
（a－b）·（2a＋3b）＝2a2＋a·b－3b2＝2｜a｜2＋a·b－3｜b｜2＝2（12＋22）＋11－3（32＋42）＝－54.
法二 因为a＝（1，2），b＝（3，4），所以a·b＝1×3＋2×4＝11.
因为a－b＝（1，2）－（3，4）＝（－2，－2），
2a＋3b＝2（1，2）＋3（3，4）＝（2×1＋3×3，2×2＋3×4）＝（11，16），
所以（a－b）·（2a＋3b）＝－2×11＋（－2）×16＝－54.
（2）如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.
则B（2，0），E（1，2），C（2，2），F，
因为＝（－1，2），＝.
所以·＝2－＝.
跟踪训练
1.1 4 解析：a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4.
2.－ 解析：如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），所以C（2，1）.
因为E，F分别为BC，CD的中点，
所以E，F（1，1），
所以＋＝，＝（－2，1），
所以（＋）·＝3×（－2）＋×1＝－.
【例2】 （1）C （2）2 解析：（1）由已知得（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋4＝5，∴a·b＝0，∴（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4－0＋4＝8，∴｜2a－b｜＝2.
（2）法一 设＝（x，y），由｜｜＝｜｜，知 ＝. ①
由题意知·＝x－3y＝0. ②
由①②组成方程组，解得或当x＝3，y＝1时，＝－＝（2，4），则｜｜＝2；当x＝－3，y＝－1时，＝（－4，2），则｜｜＝2.故｜｜＝2.
法二 由题意知，｜｜就是以，对应线段为邻边的正方形的对角线长，∵｜｜＝，∴｜｜＝×＝2.
母题探究
解：由a∥b，得1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，所以b＝（－2，－4），所以2a－b＝（4，8），则｜2a－b｜＝4.
跟踪训练
20 15 解析：由题意可得｜｜＝＝20.｜｜＝＝＝15.
【例3】 解：（1）证明：法一 ∵（a＋b）·（a－b）＝（ cos α－，sin α＋）·＝（ cos α－）·＋·（ sin α－）＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0，
∴（a＋b）⊥（a－b）.
法二 由已知可得a2＝1，b2＝1，
∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝1－1＝0，
∴（a＋b）⊥（a－b）.
（2）由＝（16，12），＝（－5－16，15－12）＝（－21，3），
得｜｜＝＝20，
｜｜＝＝15.
cos∠OAB＝cos＜，＞＝.
其中·＝－·
＝－（16，12）·（－21，3）
＝－[16×（－21）＋12×3]＝300.
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
跟踪训练
1.A 由题意得c＝a－tb＝（2，4）－t（－1，1）＝（2＋t，4－t）.∵b⊥c，∴b·c＝（－1，1）·（2＋t，4－t）＝－（2＋t）＋（4－t）＝2－2t＝0，解得t＝1.故选A.
2.D 由题意，得c＝（m＋4，2m＋2），＝，∴＝，∴＝，∴m＝2.故选D.
【例4】 C 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A（0，2）.设点P的坐标为（x，y），则＝（－x，2－y），＝（－x，－y），故·＋·＝·（＋）＝2·＝2（x2＋y2－2y）＝2[x2＋（y－1）2]－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.所以·＋·的最小值为－2.
跟踪训练
B 如图所示，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），D（1，2）.设E（x，0）（0≤x≤1），则＝（x，－2），＝（x－1，－2），∴·＝（x，－2）·（x－1，－2）＝x2－x＋4＝＋，又0≤x≤1，故当x＝时，·取得最小值.
随堂检测
1.C 因为｜a｜＝1，b＝（0，2），且a·b＝1，设a，b夹角为θ，所以cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，所以向量a与b夹角的大小为.故选C.
2.ABD 因为｜a｜＝1，｜b｜＝＝，所以｜a｜≠｜b｜，故A错.因为a·b＝1×＋0×＝，故B错.因为a－b＝（1，0）－＝，所以（a－b）·b＝·＝－＝0，所以a－b与b垂直，故C符合题意.因为1×－0×≠0，所以a不平行于b，故D错.故选A、B、D.
3.1 解析：由向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），得2a＋b＝（1，0），所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1×1＋0×（－1）＝1.
4.解：（1）因为a∥b，
所以－2－2x＝0，可得x＝－1.
（2）依题意a－2b＝（2－2x，4），
因为a⊥（a－2b），所以a·（a－2b）＝0，
即4－4x＋8＝0，解得x＝3，
所以b＝（3，－1）.
所以cos＜a，b＞＝＝.
8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
【基础知识·重落实】
知识点
cos α·cos β＋sin αsin β cos α·cos β－sin αsin β
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.A 原式＝cos（22°＋38°）＝cos 60°＝.
3.C cos（－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）cos 345°＝cos（360°－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.
（2）cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos（45°－15°）＝cos 30°＝.
（3）sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin（180°－17°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋73°）·sin（360°－47°）
＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°
＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°
＝cos（17°＋43°）
＝cos 60°
＝.
跟踪训练
解：（1）cos ＝cos
＝cos cos －sin sin
＝×－×
＝.
（2）原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－（cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°）
＝－cos 60°＝－.
【例2】 解：（1）∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－＝－.
∵β是第三象限角，cos β＝－，
∴sin β＝－＝－＝－，
∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
（2）∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
又∵cos（α＋β）＝，∴0＜α＋β＜，
又∵cos（2α＋β）＝，∴0＜2α＋β＜，
∴sin（α＋β）＝，sin（2α＋β）＝，
∴cos α＝cos[（2α＋β）－（α＋β）]
＝cos（2α＋β）·cos（α＋β）＋sin（2α＋β）·sin（α＋β）
＝×＋×＝.
跟踪训练
1.C 因为tan αtan β＝＝3，且sin αsin β＝，所以cos αcos β＝，则cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝.
2.解：∵α，β均为锐角，
∴0＜α＋β＜π，∴sin（α＋β）＞0.
由cos α＝，cos（α＋β）＝，
得sin α＝，sin（α＋β）＝.
∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）·sin α＝×＋×＝.
【例3】 解：∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0.故α－β＝－.
母题探究
1.解：因为cos α＝，且2π＜α＜3π，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝；
因为cos β＝－，且0＜β＜π，sin2β＋cos2β＝1，所以sin β＝.
所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，
因为cos α＝＞0，所以2π＜α＜π，
因为cos β＝－，所以＜β＜π，
即－π＜－β＜－，
所以π＜α－β＜2π，所以α－β＝π.
2.解：a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos（α－β）＝，又0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，故α－β＝.
跟踪训练
解：因为（sin α＋sin β）2＝，（cos α＋cos β）2＝，
以上两式展开两边分别相加得2＋2cos（α－β）＝1，
所以cos（α－β）＝－.
因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，所以α－β＝－.
随堂检测
1.A 由cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos＝－sin α，故②错误，故选A.
2.C 逆用两角差的余弦公式，得cos 8°cos 38°＋sin 8°sin 38°＝cos（8°－38°）＝cos（－30°） ＝cos 30°＝.
3.A 由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝， ①
cos αcos β＋sin αsin β＝－， ②
①＋②得cos αcos β＝0.
4. 解析：∵cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos α＋sin α＝cos α，∴sin α＝cos α，∴＝tan α＝.
5.解：因为α，β都是锐角且cos α＝＜，
所以＜α＜，0＜β＜，所以＜α＋β＜π，
又sin（α＋β）＝＜，
所以＜α＋β＜π，
所以cos（α＋β）＝－＝－，
sin α＝＝，
所以cos β＝cos[（α＋β）－α]
＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α
＝－×＋×＝.
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第一课时 两角和与差的正弦
【基础知识·重落实】
知识点
1.sin α·cos β＋cos αsin β sin α·cos β－cos αsin β
2.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.B sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 140°＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝.
3.D ∵θ为锐角，且sin θ＝，∴cos θ＝＝，∴sin（θ－45°）＝（sin θ－cos θ）＝×＝－.
4.C y＝sin x－cos x＝＝sin，所以函数的最小正周期为T＝2π.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
（2）解：原式＝sin（180°－23°）cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin（23°＋67°）＝sin 90°＝1.
（3）解：sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）
＝sin（θ＋15°＋60°）＋cos（θ＋15°＋30°）－cos（θ＋15°）
＝sin（θ＋15°）cos 60°＋cos（θ＋15°）sin 60°＋cos（θ＋15°）·cos 30°－sin（θ＋15°）sin 30°－cos（θ＋15°）
＝sin（θ＋15°）＋cos（θ＋15°）＋cos（θ＋15°）－sin（θ＋15°）－cos（θ＋15°）＝0.
跟踪训练
解：（1）sin＝－sin π＝－sin
＝sin ＝sin
＝sin cos －cos sin ＝.
（2）原式＝
＝
＝＝.
【例2】 解：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，
因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.
母题探究
1.解：因为β为第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
2.解：sin（α－β）＋cos（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1.
跟踪训练
解析：由0＜α＜＜β＜π，得＜α＋β＜.又sin α＝，sin（α＋β）＝，∴cos α＝，cos（α＋β）＝－.∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）·sin α＝×－×＝.
【例3】 解：（1）f（x）＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin
＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝（ sin xcos ＋cos xsin ）
＝sin，
当sin＝－1时，f（x）min＝－，
此时x＋＝＋2kπ（k∈Z），
所以x＝＋2kπ（k∈Z）.
所以f（x）的最小值为－，x的集合为{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}.
（2）当2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），
即2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）为增函数；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋（k∈Z）时，函数f（x）为减函数.
所以函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z），
函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z）.
跟踪训练
1.B ∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B.
2.1 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos α－sin α＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°），∴ymax＝1.
拓视野 两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
迁移应用
解：任意交换两个角的位置，y的值不变.
证明如下：
∵A，B，C是△ABC的三个内角，A＋B＋C＝π，
∴＝－.
y＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋
＝tan＋tan＋tan，
因此任意交换两个角的位置，y的值不变.
随堂检测
1.A 原式＝
＝
＝
＝＝.
2.B 由于α∈（0，π），α＋∈，而cos＝－＞－＝cos ，所以＜α＋＜，所以sin＝＝.所以sin（－α）＝sin cos－cos sin＝×－×＝－.
3.C sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin（15°＋30°）＝2sin 45°＝.故选C.
4. 解析：原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝sin（25°＋35°）＝sin 60°＝.
5.解：因为m·n＝1＋cos（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin（A＋B）＝1＋cos（A＋B）.
又A＋B＝π－C，整理得sin＝，
因为0＜C＜π，所以＜C＋＜，
所以C＋＝，所以C＝.
第二课时 两角和与差的正切
【基础知识·重落实】
知识点
想一想
提示：公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和，符号间的关系为：
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）×
2.A ∵tan α＝3，tan β＝，∴tan（α＋β）＝＝＝－.
3. 解析：由于角θ的终边过点（2，3），因此tan θ＝，故tan＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）tan 15°＝tan（45°－30°）＝＝＝＝2－.
（2）＝＝
＝tan（30°－75°）＝tan（－45°）＝－tan 45°＝－1.
（3）因为tan（23°＋37°）＝tan 60°＝＝，
所以tan 23°＋tan 37°＝（1－tan 23°tan 37°），
所以原式＝（1－tan 23°tan 37°）＋tan 23°tan 37°＝.
跟踪训练
解：（1）原式＝＝
＝tan（45°－75°）＝tan（－30°）
＝－tan 30°＝－.
（2）原式＝tan 120°（1－tan 36°tan 84°）－tan 36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－.
【例2】 解：由条件得cos α＝，cos β＝，
因为α，β为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，
所以tan α＝7，tan β＝.
（1）tan（α＋β）＝＝＝－3.
（2）tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β]
＝＝＝－1，
因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜，
所以α＋2β＝.
跟踪训练
1.C 因为α为第二象限角，所以cos α＜0，解得cos α＝－，所以tan α＝－.tan β＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝－.
2.解：因为tan β＝－，tan（α－β）＝，
所以tan α＝tan[（α－β）＋β]
＝
＝＝，
tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]
＝
＝＝1.
因为tan α＝＞0，tan β＝－＜0，
所以α∈，β∈.
所以α－β∈（－π，0）.
又因为tan（α－β）＝＞0，
所以α－β∈，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0）.
而tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－.
【例3】 解：由tan A＝tan[π－（B＋C）]＝－tan（B＋C）
＝＝＝－.
又0°＜A＜180°，所以A＝120°.
由tan C＝tan[π－（A＋B）]＝
＝＝，
又0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
母题探究
解：由tan A＝tan [π－（B＋C）]
＝－tan（B＋C）＝
＝＝.
又0°＜A＜180°，所以A＝60°.
由tan C＝tan [π－（A＋B）]
＝＝＝.
又0°＜C＜180°，
所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形.
随堂检测
1.B 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝，所以tan＝＝－.
2.C （1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）＋1＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋1＋tan αtan β＝2.
3.－2＋ 解析：tan ＝－tan ＝－tan＝－＝－2＋.
4. 解析：因为tan α＝，tan β＝，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α，β均为锐角，所以α＋β∈（0，π），所以α＋β＝.
5.解：因为α＋＝（α＋β）－，
所以tan＝tan
＝
＝＝.
8.2.3 倍角公式
【基础知识·重落实】
知识点
2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α
想一想
1.提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，是的二倍角等.
2.提示：（1）1＋cos 2α＝2cos2α；
（2）1－cos 2α＝2sin2α；
（3）cos2α＝；
（4）sin2α＝；
（5）（sin α±cos α）2＝1±sin 2α.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）×
2.－ 解析：由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.
3. 解析：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
4. 解析：∵tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原式＝－＝－－＝－.
（2）原式＝tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝×（1－tan215°）＋tan215°＝1.
（3）原式＝＋＝＝＝＝＝4.
跟踪训练
1.解：（1）原式＝＝＝2.
（2）原式＝＝＝＝tan 60°＝.
2.解：原式＝＝＝.
【例2】 解：（1）因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××（－）＝.
（2）因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos（2α＋β）＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－.
跟踪训练
1.D 因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝＝＝－.
2.A ∵3cos 2α－8cos α＝5，∴3（2cos2α－1）－8cos α＝5，∴6cos2α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2（舍去）或cos α＝－.∵α∈（0，π），∴sin α＝＝.故选A.
3.解：∵cos α＝且α为第一象限角，∴sin α＝.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝.
∴原式＝
＝＝.
【例3】 证明：法一 左边＝
＝＝
＝＝sin cos cos α
＝sin αcos α＝sin 2α＝右边.
∴原式成立.
法二 左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边.
跟踪训练
1.解：
＝
＝
＝＝＝1.
2.证明：左边＝－
＝
＝（cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B）＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立.
【例4】 解：f（x）＝5·＋·－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
∴当2x－＝，即x＝时，f（x）取最小值为3－2.
∵y＝sin在上单调递增，
∴f（x）在上单调递减.
跟踪训练
1.B 因为f（x）＝（1－cos 2x）cos2x＝2sin2xcos2xsin22x＝·＝－cos 4x，所以函数f（x）为偶函数，且最小正周期为＝.
2.A 由题意得f（x）＝＋sin 2x＝＋sin.∵≤x≤，∴≤2x－≤，∴f（x）max＝＋1＝.
随堂检测
1.BC 对A，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确；对C，1－2sin215°＝cos 30°＝，故C正确；对D，sin215°＋cos215°＝1，故D错误.故选B、C.
2.D 因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即（sin α＋1）·（2sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°.
3. 解析：由θ∈，得2θ∈，
∴cos 2θ＝－＝－＝－.
∵cos 2θ＝1－2sin2θ，sin θ＞0，
∴sin θ＝＝.
4.π 解析：f（x）＝cos＝sin 2x，故f（x）的最小正周期为π.
5.解：（1）原式＝
＝＝＝＝.
（2）原式＝＝－＝－cos ＝－.
（3）因为＝，所以＝.
故tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
8.2.4 三角恒等变换的应用
【基础知识·重落实】
知识点一
± ± ±
想一想
提示：（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；
（2）若给出角α的具体范围（即某一区间）时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√
2.C 由题意知∈，所以cos ＞0，cos ＝ ＝.
3.B ∵3π＜θ＜，sin θ＝－，∴cos θ＝－，tan ＝＝－3.
知识点二
1.[cos（α＋β）＋cos（α－β）] －[cos（α＋β）－cos（α－β）] [sin（α＋β）＋sin（α－β）] [sin（α＋β）－sin（α－β）]
2.2cos cos －2sin·sin 2sin·cos 2cos·sin
想一想
提示：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式.
自我诊断
1.B sin 105°cos 75°＝（sin 180°＋sin 30°）＝.
2.B sincos＝［sin（＋α＋＋β）＋sin（＋α－－β）］＝［sin（＋α＋β）＋sin（α－β）］＝cos（α＋β）＋sin（α－β）.故选B.
3.2sin sin 解析：cos 2α－cos 3α＝－2sinsin ＝－2sin sin＝2sin sin .
【典型例题·精研析】
【例1】 解：∵π＜α＜，sin α＝－，
∴cos α＝－，且＜＜，
∴sin ＝ ＝，
cos ＝ －＝－，
tan＝＝－2.
母题探究
解：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角.
当为第二象限角时，sin ＝＝，cos ＝－＝－，
tan ＝－＝－；
当为第四象限角时，
sin ＝－＝－，
cos ＝＝，
tan ＝－＝－.
跟踪训练
1. 解析：sin＝＝＝.
2.解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan＝＝＝.
【例2】 （1）A （2） 解析：（1）法一 ∵cos 2α＝，
∴coscos（ －α）
＝coscos［－］
＝cos·sin
＝sin＝cos 2α＝.
法二 coscos＝［cos＋cos］＝cos 2α＝.
（2）由sin α＋sin β＝，得2sin cos ＝， ①
由cos α＋cos β＝，得2cos cos ＝， ②
由①②两式相除得tan ＝，
则tan（α＋β）＝＝＝.
跟踪训练
解：（1）cos ＋cos －2sin cos ＝2cos ·cos －cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0.
（2）sin 138°－ cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝＝＝＝＝＝.
【例3】 解：（1）由积化和差公式可知
f（x）＝
＝
＝sin－，
∵sin∈[－1，1]，
∴f（x）的值域为[－1，0].
（2）令f（x）＝0，∴sin＝1，
∴2x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z，
∵x∈[0，2π]，∴x＝或x＝，
∴f（x）的零点为，.
跟踪训练
1. 解析：由题意知，y＝＝＝－cos 2x.因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.
2.证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B，
由和差化积公式，得
cos A＋cos B＝2cos cos ，
∴2sin cos ＝2cos cos .
显然cos ≠0，∴sin ＝cos .
两边平方，得sin2＝cos2，
∴＝，
∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0，
∴2cos Acos B＝0，∴cos A＝0或cos B＝0.
∵A，B为△ABC的内角，∴A，B中必有一个是直角.
∴△ABC是直角三角形.
随堂检测
1.A ∵α∈，∴∈，sin ＝＝.
2.D cos2＝＝＝.
3.B sin 75°－sin 15°
