第二课时 正弦函数的图象
1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A.0，，π，π，2π
B.0，，，π，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，π
2.（多选）下列函数图象相同的是（ ）
A.y＝sin x与y＝sin（π－x）
B.y＝sin与y＝sin
C.y＝sin x与y＝sin（－x）
D.y＝sin（2π＋x）与y＝sin x
3.函数y＝sin｜x｜的图象是（ ）
4.函数y＝的图象是（ ）
5.（多选）函数y＝sin（π－x）－1的图象（ ）
A.关于直线x＝对称
B.关于直线x＝π对称
C.关于原点对称
D.关于点（π，－1）对称
6.下列各点：M（0，0），N，P，Q（π，－2）在函数y＝2sin x图象上的是 .
7.用“五点法”作函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的图象时的五个点分别是 ， ， ， ， .
8.在[0，2π]内，不等式sin x＜－的解集是 .
9.已知函数y＝sin x（x∈[m，n]）的值域为，则n－m的最大值为 .
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：
①y＞1；②y＜1.
（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值.
11.（多选）设函数f（x）＝sin x，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.f（x）的图象关于直线x＝0对称
C.f（x）的图象关于点对称
D.f（x）在区间上单调递增
12.若sin θ＝1－log2x，则实数x的取值范围是 .
13.（1）利用sin（3π－x）＝sin x，证明正弦曲线关于x＝对称；
（2）利用sin（2π－x）＝－sin x，证明正弦曲线关于点（π，0）对称.
14.已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为（ ）
A.4 B.8
C.4π D.2π
15.已知函数f（x）＝sin x－2｜sin x｜，x∈[0，2π].
（1）作出函数f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间；
（2）讨论g（x）＝sin x－2｜sin x｜－k，x∈[0，2π]的零点个数，并求此时k的取值范围.
2 / 2课时跟踪检测部分
第七章 三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
1.ABC 160°显然在第二象限；480°＝120°＋360°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.
2.D ∵与－120°终边相同的角的集合为{α｜α＝－120°＋k·360°，k∈Z}.取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°.故选D.
3.C 由于k·90°（k∈Z）表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°（k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上的角（如图①）.
又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x上8个位置的角（如图②），因而M N，故选C.
4.A 由已知可得α＝β＋k·360°（k∈Z），∴α－β＝k·360°（k∈Z），∴α－β的终边在x轴的正半轴上.
5.BCD 对于A，－330°是第一象限角，它是负角，故A错误；对于B，β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β的终边相同，满足终边相同的角的定义，B正确；对于C，α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边落在直线y＝x上，C正确；对于D，终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝k·180°，k∈Z}，D正确.
6.D ∵角α与角β的终边互为反向延长线，∴α－β＝k·360°＋180°（k∈Z），∴α＝k＋360°＋180°＋β（k∈Z）.
7.－960° 解析：因为α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又因为－990°＜α＜－630°，所以－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1 110°＜k·360°＜－750°.所以－＜k＜－，当k＝－3时，α＝（－3）·360°＋120°＝－960°.
8.{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z} 解析：∵点P（0，－1）在y轴的负半轴上，在0°～360°内满足条件的角为270°，∴所有角α组成的集合S＝{α｜α＝270°＋k·360°，k∈Z}.
9.－5 －60 解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.
10.解：（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β｜β＝105°＋k·360°，k∈Z}.
（2）由（1）及题图知，阴影部分的角的集合为{θ｜30°＋k·360°≤θ＜105°＋k·360°，k∈Z}.
11.ACD 因为α是第三象限的角，则α∈（k·360°＋180°，k·360°＋270°），k∈Z，所以∈（k·120°＋60°，k·120°＋90°），k∈Z，按照k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2（n∈Z）进行讨论可知可以是第一、第三、第四象限角.
12.60°＋k·360°，k∈Z 解析：因为30°与60°的终边关于y＝x对称，所以β的终边与60°角的终边相同.所以β＝60°＋k·360°，k∈Z.
13.解：（1）令－360°＜30°＋k·90°＜360°，得－＜k＜，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.
（2）∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
1.C 法一 由于－＝－4π＋，所以－与的终边相同，与的终边相同的角的集合为{α＋2kπ，k∈Z}，令k＝1，α＝，故选C.
法二 因为－－＝－，－－＝－，－－＝－6π，－－＝－，只要两个角的差为周角的整数倍，那么其终边相同，故选C.
2.B ∵按顺时针方向旋转转过的角为负角，按逆时针方向旋转转过的角为正角，∴OP转过的角为－＋＝－.故选B.
3.ABD 对于A，67°30'＝67.5×＝，故A正确；对于B，因为－×＝－600°，所以－＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，因为×＝15°，所以＝15°，故D正确.故选A、B、D.
4.A ∵－＝－2π－，∴－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的.
5.C 如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
6.B 根据题设，弦＝2×4sin ＝4 m，矢＝4－4cos ＝2 m，故弧田面积＝×（弦×矢＋矢2）＝×（4×2＋22）＝4＋2≈9 m2.
7.－π 600° 解析：－105°＝－105×＝－π，π＝π×＝600°.
8.4 6π 解析：因为135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，面积为×3π×4＝6π.
9.，，， 解析：由题意，得α＝＋2kπ，∴＝＋（k∈Z）.令k＝0，1，2，3，得＝，，，.
10.解：（1）因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
又＜＜π，所以角α与的终边相同，所以角α是第二象限的角.
（2）因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
11.C 由已知得AB＝BC＝AC＝2，则＝＝＝，故扇形的面积为，由已知可得，莱洛三角形的面积是扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，所以所求面积为3×－2××22＝2π－2.故选C.
12.AC 设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α（0＜α＜2π），则有解得α＝1或α＝4，故选A、C.
13.解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，
∴秒针端点A转过的路程为d＝｜α｜·r＝（cm），
∴形成的扇形面积为S＝｜α｜·r2＝（cm2），
∴d＝（t∈[0，60]），S＝（t∈[0，60]）.
7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
1.C 因为x＝1，y＝－5，所以r＝，所以sin α＝＝－.
2.C 因为2sin ＝1，－2cos ＝－，所以r＝＝2，所以sin α＝－.
3.A ∵r＝＝，cos α＝＝－，∴9（a2＋1）＝5（2a＋1）2且2a＋1＜0，解得a＝－2.
4.D 设P（x，y），则sin α＝，所以y＝rsin α，又cos α＝，所以x＝rcos α，所以P（rcos α，rsin α），故选D.
5.AB 当a＞0时，｜OP｜＝＝a，由三角函数的定义得sin α＝＝；当a＜0时，｜OP｜＝＝－a，由三角函数的定义得sin α＝＝－，故A、B正确.
6.CD 由条件知r＝，由sin αcos α＝知×＝即＝，∴a＝－4或－，故选C、D.
7.（－2，3] 解析：由三角函数的定义可知sin α＞0，a＋2＞0，cos α≤0，3a－9≤0，解得－2＜a≤3.
8. 解析：∵cos x＝｜cos x｜，∴ cos x≥0，∴2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z）.
9. － 解析：因为角α的终边过点P（－8m，－3），所以OP＝（O为坐标原点），因为cos α＝＝－＜0，所以m＞0，角α是第三象限角，且可得m＝，所以P（－4，－3），OP＝5，sin α＝－.
10.解：∵角α的终边落在直线y＝－3x上，
∴角α的终边落在第二象限或第四象限.
若角α的终边落在第二象限，则可取其上一点（－1，3），
∴r＝＝，
∴sin α＝＝，cos α＝＝－；
若角α的终边落在第四象限，则可取其上一点（1，－3），
∴r＝＝，
∴sin α＝＝，cos α＝＝.
11.CD 因为0＜A＜π，所以0＜＜，所以tan ＞0；又因为0＜C＜π，所以sin C＞0.
12.CD 由题意，可设P（x，－4），则tan α＝＝，解得x＝－6，所以点P的横坐标是－6，故A错误；因为P（－6，－4），所以角α是第三象限角，故B错误；因为P（－6，－4），所以OP＝2（O为坐标原点），所以cos α＝＝－，故C正确；因为角α是第三象限角，所以sin α＜0，所以sin αcos α＞0，故D正确.故选C、D.
13.－ － 解析：因为＝，y＜0，所以y＝－4.所以tan α＝－，sin α＝＝－.
14.解：由题意，得r＝OP＝，则cos θ＝＝.
∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝1或x＝－1.
当x＝1时，点P的坐标为（1，3），角θ为第一象限角，
此时，sin θ＝＝，cos θ＝；
当x＝－1时，点P的坐标为（－1，3），角θ为第二象限角，
此时，sin θ＝，cos θ＝－.
7.2.2 单位圆与三角函数线
1.AD 由三角函数线的定义A、D正确，B、C不正确.B中有相同正弦线的角可能不等，如与；C中当α＝时，α与α＋π都没有正切线.
2.ACD 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.sin ＝｜｜＞0，tan ＝｜｜＞0.
3.C 易知＜1＜，在单位圆中，作出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察它们的长度，则有tan 1＞sin 1＞cos 1＞0.
4.B 根据三角函数线定义可知，与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反.
5.C 如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线，因为－＜－1＜－，所以b＝cos（－1）＞0，a＝sin（－1）＜0，c＝tan（－1）＜0，又正切线的长度大于正弦线的长度，所以a＞c，即c＜a＜b.
6.AD 由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确.故选A、D.
7.－ 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的，由题设可知sin α的值为－.
8.sin ＞sin ＞sin 解析：在单位圆中作出，，角的正弦线，可知sin ＞sin ＞sin .
9.（k∈Z） 解析：要使函数有意义，有1－2sin x≥0，得sin x≤，
如图，确定正弦值为的角的终边OP与OP'，其对应的一个角分别为π，π，所求函数定义域为［2kπ＋π，2kπ＋π］（k∈Z）.
10.解：（1）如图①所示，过点（1，－1）和原点作直线交单位圆于点P和P'，则OP和OP'就是角α的终边，
∴∠xOP＝＝π－，∠xOP'＝－，
∴满足条件的所有角α的集合是{α｜α＝－＋kπ，k∈Z}.
（2）如图②所示，过点作x轴的平行线，交单位圆于点P和P'，
则sin∠xOP＝sin∠xOP'＝－，
∴∠xOP＝，∠xOP'＝，
∴满足条件的所有角α的集合是
.
11.B 由三角函数线知，在[0，2π）内使cos θ＜sin θ的角θ∈，使tan θ＜sin θ的角θ∈∪，故θ的取值范围是.
12.ABC 分别在四个象限内作出满足sin α＞sin β的两个角α，β，再作出要比较的余弦线或正弦线.通过图形（图略）易得选A、B、C.
13.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足.
所以MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α，
在△OMP中，OM＋MP＞OP，
所以sin α＋cos α＞1.
因为S△OAP＝OA·MP＝y＝sin α，
S△OBP＝OB·NP＝x＝cos α，
S扇形OAB＝π×12＝，
又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB，
所以sin α＋cos α＜，即sin α＋cos α＜，
所以1＜sin α＋cos α＜.
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
1.B 原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
2.D 因为sin α＝－，且α为第四象限角，所以cos α＝，所以tan α＝－.
3.C ∵sin θ＝，cos θ＝－，∴sin2θ＋cos2θ＝＋＝1，解得a＝0或a＝4.∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴a＝4，∴sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－.
4.B ∵sin 1°＝cos 89°，sin 2°＝cos 88°，…，sin 89°＝cos 1°，故设cos289°＋cos288°＋…＋cos22°＋cos21°＝t，则2t＝89，∴t＝.
5.C 因为sin θ＋cos θ＝a，a∈（0，1），两边平方可得sin θcos θ＝＜0，所以－＜θ＜0且cos θ＞－sin θ，所以｜cos θ｜＞｜sin θ｜，借助三角函数线可知－＜θ＜0，则－1＜tan θ＜0，故满足题意的值为－.
6.ABD ∵1＋sin θ＋cos θ·＝1＋sin θ·｜sin θ｜＋cos θ｜cos θ｜＝0.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴即π＋2kπ≤θ≤＋2kπ（k∈Z）.故角θ不可能在第一、二、四象限.
7.二或四 解析：由＝1 tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限.
8.tan x 解析：原式＝sin2x＝sin2x＝·sin2x＝＝tan x.
9.－1 π或 解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k， ①
sin θcos θ＝k＋1. ②
又∵（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ，∴k2－2k－3＝0.解得k＝3或k＝－1.∵｜sin θcos θ｜＝｜k＋1｜≤1，∴k＝－1.代入①②，得解得或又∵θ∈（0，2π），∴θ＝π或.
10.解：（1）原式＝
＝
＝＝
＝1.
（2）原式＝
＝＝cos θ.
11.ABD A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D.
12. 7 解析：∵tan α＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sin αcos α＝，tan2α＋＝－2tan α·＝9－2＝7.
13.解：（1）由＝，
得3tan2α－2tan α－1＝0，
即（3tan α＋1）（tan α－1）＝0，
解得tan α＝－或tan α＝1.
因为α∈，所以tan α＜0，所以tan α＝－.
（2）由（1），得tan α＝－，所以＝＝＝.
7.2.4 诱导公式
第一课时 诱导公式①、②、③、④
1.C sin＝sin＝sin＝.故选C.
2.A 原式＝sin 2－cos 2，故选A.
3.B ∵tan＝tan＝－tan，∴tan＝－.
4.B 因为sin（π－α）＝sin α＝lo 2－2＝－，所以cos（π＋α）＝－cos α＝－＝－＝－.
5.ACD sin（α＋180°）＝－sin α，cos（－α＋β）＝cos[－（α－β）]＝cos（α－β），sin（－α－360°）＝－sin（α＋360°）＝－sin α，cos（－α－β）＝cos[－（α＋β）]＝cos（α＋β）.
6.AD 由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若cos A＞0，可得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由sin（π－A）＝sin A＝sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故D正确.
7.－ 解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－.
8.－ 解析：∵sin（α＋π）＝，∴sin α＝－.
又∵sin αcos α＜0，∴cos α＞0，cos α＝＝，∴tan α＝－.原式＝＝＝－.
9.cos2α 解析：原式＝·[－sin（2π－α）]cos（2π－α）＝sin αcos α＝cos2α.
10.解：由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又因为A∈（0，π），所以A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－＜0，所以B∈，
所以A，B均为钝角，不合题意，舍去.
所以A＝，cos B＝，所以B＝，所以C＝π.
综上所述，A＝，B＝，C＝π.
11.D sin＝sin＝sin＝－sin＝－.
12.ABD ∵sin（π＋α）＝－sin α＝－，∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中，sin β＝sin＝sin α＝，故A符合条件；B中，cos（π＋β）＝cos＝cos α＝±，故B符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C不符合条件；D中，cos（2π－β）＝cos[2π－（π－α）]＝cos（π＋α）＝－cos α＝±，故D符合条件.故选A、B、D.
13.4 049 解析：因为f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋x，所以f（2 024）＝asin（2 024π＋α）＋bcos（2 024π＋β）＋2 024＝asin α＋bcos β＋2 024＝0，得到asin α＋bcos β＝－2 024，所以f（2 025）＝asin（2 025π＋α）＋bcos（2 025π＋β）＋2 025＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＋2 025＝－asin α－bcos β＋2 025＝－（－2 024）＋2 025＝4 049.
14.解：存在α＝，β＝使等式同时成立.理由如下：
由sin（3π－α）＝sin（2π＋β），cos（－α）＝－cos（π＋β）得，sin α＝sin β，cos α＝cos β，两式平方相加得，sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝，即sin α＝±.因为α∈，所以α＝或α＝－.将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝，由于β∈（0，π），所以β＝.将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－，由于β∈（0，π），这样的角β不存在.综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立.
第二课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
1.B ∵（75°＋α）＋（15°－α）＝90°，∴cos（15°－α）＝cos [90°－（75°＋α）]＝sin（75°＋α）＝.
2.A 由已知得cos α＝，又α∈，所以sin α＝－＝－＝－.因此，tan α＝＝－2.
3.B 由条件得－sin α－sin α＝－a，故sin α＝，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.
4.A f（cos 10°）＝f（sin 80°）＝cos 240°＝cos（270°－30°）＝－sin 30°＝－.
5.ABC f（x＋π）＝sin（x＋π）＋cos（x＋π）＝－sin x－cos x，f（π－x）＝sin（π－x）＋cos（π－x）＝sin x－cos x，f＝sin＋cos＝cos x－sin x，f＝sin＋cos＝cos x＋sin x，故选A、B、C.
6.D 由角α的终边在第二象限，可知sin α＞0，cos α＜0，对于A，sin＝cos α＜0，错误；对于B，cos＝－sin α＜0，错误；对于C，sin（π＋α）＝－sin α＜0，错误；对于D，cos（π＋α）＝－cos α＞0，正确.
7.－sin2α 解析：原式＝－sin（7π＋α）·cos＝－sin（π＋α）·＝sin α·（－sin α）＝－sin2α.
8.2 解析：∵sin＋2sin＝0，∴sin（＋θ）＝2sin＝2sin＝2cos，∴tan＝2.
9. 解析：sincos＝－cos α·（－sin α）＝sin αcos α＝，由0＜α＜，可得0＜sin α＜cos α，联立，得得sin α＝，cos α＝.
10.解：因为sin＝cos α，cos＝sin α，
cos（π＋α）＝－cos α，sin（π－α）＝sin α，
cos＝－sin α，sin（π＋α）＝－sin α，
所以原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
11.C 由已知得消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，则sin α＝（α为锐角）.
12.CD 由诱导公式知α∈R时，sin（π＋α）＝－sin α，所以A错误；当n＝2k（k∈Z）时，cos（nπ－α）＝cos（－α）＝cos α，此时cos α＝，当n＝2k＋1（k∈Z）时，cos（nπ－α）＝cos[（2k＋1）π－α]＝cos（π－α）＝－cos α，此时cos α＝－，所以B错误；若α≠（k∈Z），则tan＝＝＝－，所以C正确；因为在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin ＝sin（－）＝cos ，故D正确.
13.解：如图所示，由题意知 ＝OB＝2.
∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，
故∠DAP＝2－，
∴DA＝APcos＝sin 2，
DP＝APsin＝－cos 2.
∴OC＝2－sin 2，PC＝1－cos 2.
∴点P的坐标为（2－sin 2，1－cos 2）.
14.cos α 解析：f（α）＝＝cos α，∴f＝cos＝cos ＝cos＝cos ＝.
15.解：若选①，则tan（π＋α）＝2，即tan α＝2；
若选②，则sin（π－α）－sin＝cos（－α），即sin α－cos α＝cos α，
即sin α＝2cos α，tan α＝2；
若选③，2sin＝cos，即2cos α＝sin α，tan α＝2；
（1）＝＝＝＝8.
（2）当α为第三象限角时，tan α＝＝2，
即sin α＝2cos α，
又∵sin2α＋cos2α＝1，即（2cos α）2＋cos2α＝1，解得cos α＝－，
sin α＝－＝－＝－，
sin（－α）－cos（π＋α）－cossin＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝－－＋×＝.
7.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第一课时 正弦函数的性质
1.B 函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且f（－x）＝f（x），故f（x）为偶函数.
2.D 当0≤x≤时，0≤sin x≤1，∴3≤－2sin x＋5≤5.故选D.
3.D y＝－sin x－7的单调递减区间与y＝sin x的单调递增区间相同.
4.B 由y＝＝2－，当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2.
5.A 法一 易知y＝sin x在R上为奇函数，
∴f（0）＝0，∴a＝0.
法二 ∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即sin（－x）－｜a｜＝－sin x＋｜a｜，－sin x－｜a｜＝－sin x＋｜a｜.∴｜a｜＝0，即a＝0.
6.AC 当a＞0时，由条件知∴当a＜0时，由条件知∴故选A、C.
7.偶函数 解析：f（－x）＝[sin（－x）]2＋1＝sin2x＋1＝f（x），所以f（x）为偶函数.
8.＞ 解析：因为－＞－，且y＝sin x在内为增函数，所以sin＞sin.
9. －2 解析：由题意知，x∈R，y＝＝＝3－.∵－1≤sin x≤1，∴1≤sin x＋2≤3，即≤≤1，∴－2≤y≤，即函数y＝的最大值为，最小值为－2.
10.解：当x∈时，3π－x∈，
∵当x∈时，f（x）＝1－sin x，
∴f（3π－x）＝1－sin（3π－x）＝1－sin x.
又∵f（x）是以π为周期的偶函数，
∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x）.
∴f（x）的解析式为f（x）＝1－sin x，x∈.
11.D ∵α，β∈，∴－α∈.∵cos α＞sin β，∴sin＞sin β.∵y＝sin x在上是增函数，∴－α＞β，即α＋β＜.
12.AC 选项A、C正确.对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为，k∈Z.故B、D不符合题意.
13.解：（1）∵ymax＝1－a，∴a＜0，
故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4，
∴y＝－4sin x＋1.
（2）当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1递增，
∴y＝－4sin x＋1的递增区间为（k∈Z）.
（3）∵x∈[－π，π]，（k∈Z）∩[－π，π]＝∪.
∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的递增区间为，.
14.[2kπ－π，2kπ]（k∈Z） （k∈Z）
解析：由－2sin x≥0，得sin x≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ（k∈Z），即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）.∵y＝与y＝sin x的单调性相反，∴函数的单调递减区间为（k∈Z）.
15.解：（1）∵函数f（x）＝，
∴sin x≠0，x≠kπ，k∈Z，
故函数的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.
显然，f（x）的周期，即y＝sin x的周期为2π.
由于满足f（－x）＝＝－＝－f（x），故f（x）为奇函数.
（2）证明：正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，设0＜x1＜x2＜，则0＜sin x1＜sin x2＜1，
∴f（x1）＝＞＝f（x2），
即f（x1）＞f（x2），
因此，y＝f（x）在区间上单调递减.
第二课时 正弦函数的图象
1.B 由五点作图法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.
2.AD 根据诱导公式，y＝sin（π－x）＝sin x，故A符合；y＝sin（2π＋x）＝sin x，故D符合.
3.B 因为函数y＝sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时，sin ｜x｜＝sin x.故选B.
4.C 由y＝＝｜sin x｜易知该函数为偶函数，当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，再关于y轴对称即作出y＝｜sin x｜的图象.
5.AD 由三角函数的诱导公式得y＝sin（π－x）－1＝sin x－1，所以函数y＝sin（π－x）－1的图象关于直线x＝对称，关于点（π，－1）对称.
6.M，N 解析：将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
7.（0，2） （π，2） （2π，2） 解析：可结合函数y＝sin x的图象的五个关键点寻找，即把y＝sin x的图象上五个关键点向上平移2个单位.
8. 解析：画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象如下：
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin x＜－的解集是.
9. 解析：
作出正弦函数y＝sin x（x∈R）的图象，如图所示，∵函数y＝sin x的定义域为[m，n]，值域为，又sin＝sin ＝－，结合图象可知n－m的最大值为－＝.
10.解：按五个关键点列表
x －π － 0 π
sin x 0 －1 0 1 0
1－2sin x 1 3 1 －1 1
描点连线得：
（1）由图象可知函数y＝1－2sin x在y＝1上方的部分y＞1，在y＝1下方的部分y＜1，
所以当x∈（－π，0）时，y＞1，当x∈（0，π）时，y＜1.
（2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，
所以a的取值范围是{a｜1＜a＜3或－1＜a＜1}.
（3）由图象可知ymax＝3，此时x＝－；
ymin＝－1，此时x＝.
11.AD 函数f（x）＝sin x的最小正周期为2π；对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；对称中心为（kπ，0），k∈Z；单调增区间为，k∈Z.则A正确，B错误，C错误，D正确.故选A、D.
12.[1，4] 解析：由正弦函数的图象，可知－1≤sin θ≤1，所以－1≤1－log2x≤1，整理得0≤log2x≤2，解得1≤x≤4.
13.证明：（1）令f（x）＝sin x，
f（3π－x）＝sin（3π－x）＝sin x，
∴f（3π－x）＝f（x），
令t＝－x，则x＝－t，
∴f＝f，
即f＝f，
∴f（x）＝sin x关于x＝对称.
（2）令f（x）＝sin x.
∴f（2π－x）＝sin（2π－x）＝－sin x，
∴f（2π－x）＝－f（x），
令t＝π－x，则x＝π－t，
∴f[2π－（π－t）]＝－f（π－t），
即f（π＋t）＝－f（π－t），
∴f（x）＝sin x关于点（π，0）对称.
14.C 数形结合，如图所示，y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
15.解：（1）f（x）＝
图象如图，
由图象可知f（x）的递增区间为，；
f（x）的递减区间为，.
（2）由图象可知：
当k＞0或k＜－3时，直线y＝k与函数f（x）有0个交点，故g（x）没有零点；
当k＝－3时，直线y＝k与函数f（x）有1个交点，故g（x）有1个零点；
当－3＜k＜－1时，直线y＝k与函数f（x）有2个交点，故g（x）有2个零点；
当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f（x）有3个交点，故g（x）有3个零点；
当－1＜k＜0时，直线y＝k与函数f（x）有4个交点，故g（x）有4个零点.
7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第一课时 正弦型函数的图象
1.B
2.A 当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D；当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C，故选A.
3.BC 由题图所示可知A＝1，T＝4＝π，所以ω＝＝2，又2×＋φ＝π，所以φ＝，f（x）＝sin，g（x）＝－cos 2x＝－sin＝sin＝sin（k∈Z），可验证得k＝0时，B正确，k＝－1时，C正确，故选B、C.
4.C 由于y＝sin＝sin，所以要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度即可.
5.A ∵T＝π－＝π，∴T＝π，∴＝π（ω＞0），∴ω＝2.由图象知当x＝π时，2×π＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝2kπ－（k∈Z）.∵－＜φ＜，∴φ＝－.
6.B 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得y＝sin的图象，即y＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－.
7.（0，sin 1） － 解析：∵f（0）＝sin｜a×0＋1｜＝sin 1，∴f（x）＝sin｜ax＋1｜的图象恒过定点（0，sin 1）.当a＝π时，f＝sin＝sin ＝－.
8. 解析：由题意设函数周期为T，则＝－＝，∴T＝.∴ω＝＝.
9.y＝sin x 解析：y＝sin 2x的图象y＝sin ＝sin x的图象y＝sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sin x.
10.解：（1）依题意，A＝，T＝4×＝π.
∵T＝＝π，ω＞0，∴ω＝2，∴y＝sin（2x＋φ），
又曲线上的最高点为，
∴sin＝1.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
∴y＝sin.
（2）列出x，y的对应值表：
x 0 π π π π
2x＋ π π 2π
y 1 0 － 0 1
作图如下：
11.AB ①向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象；②横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin ＝sin的图象；③横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin ＝sin的图象；④向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象，因此①和②符合题意，故选A、B.
12.解：（1）由题设图象，易得A＝2，T＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝＝2.
所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.
因为函数f（x）的图象经过点.
所以2sin＝2，即sin＝1.
又因为－＜φ＜，所以－＜＋φ＜.
所以＋φ＝，所以φ＝.
故所求函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
（2）由题意，知方程f（x）＝m有两个不同的实数根等价于函数f（x）＝2sin的图象与g（x）＝m的图象有两个不同的交点.
因为0＜x＜π，
易画出函数f（x）＝2sin的图象与函数g（x）＝m的图象（如图所示）.
依据图象可知：
当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线g（x）＝m与曲线f（x）＝2sin有两个不同的交点，
即方程f（x）＝m有两个不同的实数根，
故所求实数m的取值范围为（－2，1）∪（1，2）.
13. 解析：f（x）＝sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度得y＝sin，则y＝sin和g（x）＝sin相同，所以＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋6k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为.
14.解：（1）y＝sin 3x在上的图象如图所示，
由函数y＝sin 3x在上的面积为，
所以在上的面积为.
（2）结合（1），由图可知阴影面积为S＝SABCD＋＝π＋.
第二课时 正弦型函数的性质（习题课）
1.D 法一 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，
所以所求单调递增区间为.
法二 当x＝时，函数y＝2sin取得最大值，且其最小正周期为2π，则函数y＝2sin的一个单调递增区间为，即，所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为.
2.B 令sin＝±1，得2x＋＝kπ＋（k∈Z），即x＝π＋（k∈Z），取k＝1，得x＝.
3.D 由f＝f知，x＝是函数的对称轴，解得f＝－3或3.故选D.
4.B 函数f（x）的最小正周期T＝＝4.由于对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）＝f（x）min＝－2，f（x2）＝f（x）max＝2，从而｜x1－x2｜的最小值为＝2.
5.AB ∵f（x）的周期为π，∴ω＝2.∴f（x）＝sin，∴f（x）的图象关于点（k∈Z）对称，关于直线x＝＋（k∈Z）对称.
6.A 依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝sin的图象.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），则函数y＝sin的单调递增区间为（k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y＝sin在区间上单调递增.
7.（k∈Z） 解析：令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，则＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
8.x＝＋（k∈Z） 解析：因为f（x）＝2sin（2x＋2φ＋）（x∈R）为奇函数，所以f（0）＝2sin＝0，所以2φ＋＝kπ（k∈Z），即φ＝－（k∈Z），所以当k＝1时，正数φ取得最小值，此时f（x）＝－2sin 2x.令2x＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），故所求函数f（x）图象的对称轴方程是x＝＋（k∈Z）.
9.sin － 解析：函数f（x）的图象向左平移个单位得g（x）＝sin的图象.因为g（x）是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z.又因为｜φ｜＜，所以φ＝－，所以f（x）＝sin.又x∈，所以2x－∈，所以当x＝0时，f（x）取得最小值－.
10.解：（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16，即＝16，∴ω＝，
∴y＝sin.
又图象过最高点（2，），
∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
φ＝＋2kπ，k∈Z，
由｜φ｜≤，得φ＝，
∴y＝sin.
（2）∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在[－6，0]上的值域为[－，1].
11.ACD 由正弦函数性质知f（x）的最小值是－1，A正确；令2x＋＝kπ，x＝－，k∈Z，没有一个整数k，能使－＝，B错误；T＝＝π，C正确；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，－≤x≤，而 ，D正确.故选A、C、D.
12. 解析：由于0≤x≤π，所以≤x＋≤，由于关于x的方程sin＝2m在[0，π]内有相异两实根，令u＝x＋，由函数y＝sin u与y＝2m的图象（图略）可知，≤2m＜1，解得≤m＜.
13.解：（1）∵f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，T＝＝π，∴ω＝＝2.
又函数f（x）图象上的最低点纵坐标为－3，且A＞0，∴A＝3.
∴f（x）＝3sin.
（2）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z，
由2x＋＝＋kπ，得x＝＋，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
14.ACD 将函数f（x）＝Asin（A≠0）的图象向左平移个单位得到函数g（x）＝Asin＝Asin的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错；又因为g＝Asin（ 2×＋）＝Asin ＝A，所以直线x＝是g（x）图象的一条对称轴，所以B正确；因为g＝Asin［2×＋］＝Asin≠0，所以C错；g（x）＝Asin为非奇非偶函数，所以D错误.
15.解：（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin（ωx＋φ） 0 5 0 －5 0
函数解析式为f（x）＝5sin.
（2）由（1）知f（x）＝5sin，
所以g（x）＝5sin.
由于y＝sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
所以令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，则＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
7.3.3 余弦函数的性质与图象
1.D 由题意得y＝显然只有D合适.
2.C y＝cos｜x｜在上是减函数，排除选项A；y＝cos｜－x｜＝cos｜x｜，排除选项B；y＝sin＝－sin＝－cos x，是偶函数，且在（0，π）上单调递增，选项C符合题意；y＝－sin 在（0，π）上是单调递减的.故选C.
3.C 作出函数y＝｜cos x｜的图象如图所示，由图象可知，A、B都不是单调区间，D是单调增区间，C是单调减区间.
4.C 由题意，得y＝2sin2x＋2cos x－3＝2（1－cos2x）＋2cos x－3＝－2－.因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝时，函数有最大值－.
5.ABD 函数f（x）＝cos，则函数的周期为π的倍数，故A正确.当x＝时，f＝－1，故f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确.f（x）的单调递减区间为，故C错误.f＝cos＝0，故f（x＋π）的一个零点为x＝，故D正确.
6.B 函数f（x）＝cos x图象的对称中心的横坐标为x＝＋kπ，k∈Z，则m＝＋kπ，k∈Z，从而f（m）＝f＝cos＝0.
7.－ 解析：由已知＝得ω＝3，∴ （x）＝3cos，
∴ （π）＝3cos＝3cos＝－3cos＝－.
8.y＝－cos 2x 解析：将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos［2＋］＝cos（2x＋π）＝－cos 2x.
9.y＝4cos－1 解析：∵2A＝3－（－5）＝8，∴A＝4.
∵2b＝3＋（－5）＝－2，∴b＝－1.
又＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2.
∴y＝4cos（2x＋φ）－1.
又函数的图象过点，从而3＝4cos（2×＋φ）－1，
∴cos＝1，即＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又｜φ｜＜，∴φ＝－，∴y＝4cos－1.
10.解：∵函数y1的最大值是，最小值是－，当b＞0时，由题意得∴当b＜0时，由题意得∴因此函数y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x的最大值均为2.
11.ABC 画出函数f（x）的图象（如图），由图象容易看出：该函数的值域是；当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋，k∈Z时，f（x）＜0，可知A、B、C不正确.
12.－1或3 1或－3 解析：由题意知或解得或故函数g（x）的最大值为a－b＝a＋1，即最大值为3或－1，函数g（x）的最小值为a＋b＝a－1，即最小值为1或－3.
13.解：（1）由题图知A＝2，＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2.
∴f（x）＝2cos（2x＋φ）.
又f（x）过点代入得2cos＝2，
∴cos＝1，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又｜φ｜＜，∴φ＝－.
∴f（x）＝2cos.
（2）∵x∈，∴2x－∈，
∴cos∈，
∴f（x）∈（－，2].
∴当x∈时，f（x）的取值范围是（－，2].
14.A 由题意，建立平面直角坐标系，如图所示：
则f（x）＝Acos ωx，其中A＝≈45，T＝552＋190＋190＝932≈900，若按100∶1的比例缩小，则A'＝0.45，T'＝9，ω＝≈＝，所以函数y＝0.45cosx.故选A.
15.解：（1）由题意可知＝π，故ω＝2，则f（x）＝2cos 2x，故f＝2cos ＝.
（2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到y＝f的图象，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到y＝f的图象，故g（x）＝f＝2cos［2（－）］＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π（k∈Z），即4kπ＋≤x≤4kπ＋（k∈Z）时，y＝g（x）单调递减，故y＝g（x）的单调递减区间为（k∈Z）.
7.3.4 正切函数的性质与图象
1.D f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为偶函数，T＝.
2.B ∵x∈，f（－x）＝tan ｜－x｜＝tan ｜x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数，即y＝tan ｜x｜的图象关于y轴对称.
3.BC ∵｜AB｜＝，则T＝，∴ω＝4，故A错，B正确；令4x＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ，k∈Z.∴y＝tan 4x的图象的对称中心为（k∈Z），故C正确；y＝｜f（x）｜图象的对称轴方程为x＝（k∈Z），故D错.
4.A 由函数周期T＝＝2π，排除选项B、D；将x＝代入函数式中，得tan＝tan 0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为.故选A.
5.D f（x）＝tan ωx的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长度为函数的周期，所以该函数的周期是，所以＝（ω＞0），解得ω＝4.所以f（x）＝tan 4x，当x＝时，f＝tan＝tan ＝.
6.AD A错，对称中心为（k∈Z）；B对，同y＝tan x的周期为π；C对，x∈时，tan x≥0；D错，它的单调区间只在（k∈Z）内，而不能说它在定义域内是增函数，由此可知D错.
7.（k∈Z） 解析：由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈（k∈Z）.
8.2或3 解析：由T＝，又1＜T＜2，∴k的值可取2或3.
9. （k∈Z） 解析：最小正周期T＝.由＝2x－（k∈Z）得x＝＋（k∈Z）.∴对称中心为（k∈Z）.
10.解：（1）由函数f（x）＝3tan，
可得2x－≠kπ＋求得x≠＋，k∈Z，
故函数的定义域为.
令kπ－＜2x－＜kπ＋，k∈Z，
求得－＜x＜＋，k∈Z.
故函数的单调增区间为，k∈Z.
（2）f＝3tan ＝－3tan ＜0，
f＝3tan＝3tan ＞0，
所以f＜f.
11.B ∵y＝tan ωx在内是减函数，∴ω＜0且T＝≥π.∴｜ω｜≤1，即－1≤ω＜0.
12.BC 令kπ－＜x＋＜kπ＋，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，故C正确；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误.故选B、C.
13.解：（1）由题意知，函数f（x）的最小正周期为T＝，即T＝＝.
因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x＋φ）.
因为函数y＝f（x）的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0＜φ＜，所以φ＝，故f（x）＝tan.
（2）由（1）知，f（x）＝tan.
由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f（x）≤的解集为［－＋，＋］，k∈Z.
14.或－ π 解析：由于是函数f（x）图象的对称中心，所以＋φ＝π，k∈Z，所以φ＝π－，k∈Z，由于｜φ｜＜，故取k＝0，1，φ＝－，，T＝π.
15.解：（1）由函数f（x）＝的解析式可得函数的定义域为关于原点对称，
又因为f（x）＝＝，
所以f（－x）＝＝＝－f（x），
所以函数f（x）＝为奇函数.
（2）由（1）可得
f（x）＝
其图象如图所示：
由图象可知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，.
7.3.5 已知三角函数值求角
1.C 因为arcsin∈，所以π－arcsin∈，所以sin x＝，x∈，x＝π－arcsin.
2.B arccos∈，所以π－arccos∈.所以cos x＝－，x∈[0，π]，x＝π－arccos.
3.B 因为≥0，所以arctan ∈，则arctan －∈，故选B.
4.B 由题意可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2，又α∈，可知α＝π－arcsin ＝arccos＝π＋arctan（－2）.故选B.
5.A 由题意得三角形顶角为arccos＝，底角为＝.故tan ＝.
6.AB 因为sin x＝，x∈[0，2π），所以x＝arcsin ，或x＝π－arcsin，所以方程的解集为{arcsin，π－arcsin}.故选A、B.
7. 解析：因为cos＝，且0＜＜1，所以arccos＝.
8. 解析：因为tan＝，又α∈，所以α＝π＋＝.
9. 解析：因为g（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝2，所以f（x）＝cos 2x.由f（α）＝，得cos 2α＝，即cos 2α＝，所以2α＝2kπ±，k∈Z.则α＝kπ±，k∈Z.因为α∈[－π，π]，所以α∈.
10.解：（1）∵arcsin ＝，arccos＝，arctan （－1）＝－
∴原式＝＝－1＋＝.
（2）∵arcsin ＝，∴sin＝sin ＝.
∵sin ＝，∴arcsin＝arcsin ＝.
∵arccos ＝，∴cos＝cos ＝，
∵cos ＝－，∴arccos＝arccos＝，∴原式＝＋＋＋＝π＋1.
11.BCD 对于A，在arcsin x中－1≤x≤1，而＞1.故A式无意义；对于B，在上只有sin＝－，所以arcsin＝－，故B正确；对于C、D，由定义知是正确的.故选B、C、D.
12. 解析：∵cos＝cos ，且cos ＝∈[0，1]，∴arccos＝arccos＝.
13.解：（1）由－≠kπ＋，得到函数的定义域为；
周期T＝2π；
由kπ－＜－＜kπ＋（k∈Z），解得f（x）的单调递增区间为（k∈Z），无减区间；
由－＝得x＝＋kπ（k∈Z），故f（x）的对称中心为（k∈Z）.
（2）由题意，kπ－≤－≤kπ＋（k∈Z），
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ（k∈Z），
可得不等式－1≤f（x）≤的解集为{x≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
14. 或π 解析：∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝.∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin＝sin＝，∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π.
15.解：对于函数y＝arcsin（sin x），根据－1≤sin x≤1，求得x∈R，故函数的定义域为R.
根据反正弦函数的定义可得y∈.
再根据y＝f（x）＝arcsin（sin x）满足f（－x）＝arcsin[sin（－x）]＝arcsin[－sin x]＝－arcsin（sin x）＝－f（x），
故函数f（x）为奇函数.
在R上，当x增大时，函数t＝sin x不具备单调性，故函数y＝arcsin（sin x）在定义域R上不具备单调性.
再根据y＝f（x）＝arcsin（sin x）满足f（x＋2π）＝arcsin[sin（x＋2π）]＝arcsin（sin x）＝f（x），
可得函数y的一个周期为2π.
由于不存在T∈（0，2π），使f（x＋T）＝f（x）对于定义域内的任意x都成立，故函数y的最小正周期为2π.
第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
1.C 因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos 180°＝－1.综上所述，e1·e2＝±1.
2.C 因为·＝｜｜｜｜cos A＜0，所以cos A＜0.所以角A是钝角.所以△ABC是钝角三角形.
3.A 由题意知｜b｜cos θ＝cos θ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝30°.故选A.
4.D 由题意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝＝＝7，所以cos＜a，a＋b＞＝＝＝，故选D.
5.AB 由于a2≥0，b2≥0，所以若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以｜a·c｜＝｜b·c｜，故B正确；a，b共线 a·b＝±｜a｜｜b｜，所以C不正确；对于D应有｜a｜｜b｜≥a·b，所以D不正确.故选A、B.
6.C 由题意知向量和的夹角为120°，所以在方向上的投影的数量为｜｜cos 120°＝4×＝－2.故选C.
7.－2e 解析：向量a在向量e方向上的投影向量为｜a｜cos ·e＝4×e＝－2e.
8.8 解析：如图，取AC的中点D，AB的中点E，并连接OD，OE，则OD⊥AC，OE⊥AB.∴·＝，·＝，∴·＝·（－）＝·－·＝－＝×52－×32＝8.
9.1 1 解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝｜｜｜｜·cos θ.
由图可知，｜｜cos θ＝｜｜，因此·＝｜｜2＝1.
·＝｜｜｜｜cos α＝｜｜cos α，而｜｜cos α就是向量在上的投影的数量，
当在上的投影的数量最大，即投影的数量为｜｜时，·取得最大值，所以·的最大值为1.
10.解：∵∴
即∴
∴cos θ＝＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
11.C 由黄金矩形的定义，可得AB＝2.在矩形ABCD中，cos∠CAB＝，则·＝｜｜｜｜cos∠CAB＝｜｜2＝4.
12. 8 解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.因为c为单位向量，所以｜c｜＝1，由向量数量积公式得c·d＝｜c｜·｜d｜·cos＜c，d＞，得4＝1×｜d｜×cos ，所以｜d｜＝8.
13.解：（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61，
∴4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61，又｜a｜＝4，｜b｜＝3，
∴64－4a·b－27＝61，则a·b＝－6.
（2）∵c＝×＝－.
∴c·（a＋b）＝－b·（a＋b）＝－（a·b＋b2）＝－×（－6＋9）＝－2.
14.BD 对于选项A，若a·b＝b·c，则（a－c）·b＝0，故A错误；对于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝（a·b）2，故B正确；对于选项C，若a∥b，则a在b上的投影的数量为±｜a｜，故C错误；对于选项D，若λ1a＋λ2b＝0（λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0），推出a＝－b，由平行向量基本定理可知a∥b，故D正确.故选B、D.
15.解：如图，过E作EE'⊥AB，垂足为E'，过C作CC'⊥AB，垂足为C'.
则在上的投影为，
∴在上的投影的数量为｜｜，
由向量数量积的几何意义知·＝｜｜·｜｜＝4｜｜.
∵点E在腰BC上运动，
∴点E'在线段C'B上运动，
∴｜｜≤｜｜≤｜｜，
∴2≤｜｜≤4，
∴8≤4｜｜≤16，
∴·的取值范围是[8，16].
8.1.2 向量数量积的运算律
1.C 向量｜a｜＝2，｜b｜＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b＝｜a｜｜b｜cos 150°＝2××＝－3.故选C.
2.C 因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，所以·＝·（－）＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝.
3.A 因为向量｜a｜＝2｜b｜＝2，a与b的夹角为120°，则｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4｜a｜｜b｜·cos 120°＋4＝4.所以｜a＋2b｜＝2.
4.B ＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是｜＋｜＝｜－｜，所以｜＋｜2＝｜－｜2，即·＝0，从而AB⊥AC.故△ABC为直角三角形.
5.ACD 根据向量数量积的分配律知A正确；因为[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，所以（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形三边，所以｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，C正确；（3a＋2b）·（3a－2b）＝9a2－4b2＝9｜a｜2－4｜b｜2，D正确；故选A、C、D.
6.C 因为平面向量a，b，c两两所成的角相等，所以任意两个向量的夹角为0或.再由｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜c｜＝6，可得①若任意两个向量的夹角为0，则｜a＋b＋c｜＝2＋2＋6＝10.
②若任意两个向量的夹角为，则a·b＝2×2×cos ＝－2，a·c＝b·c＝2×6×cos ＝－6，故｜a＋b＋c｜＝
＝＝4.所以｜a＋b＋c｜＝4或10.
7.－7 解析：因为＝＋，＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－＝9－16＝－7.
8. 6 解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为｜a｜＝，｜b｜＝2，且（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝｜a｜2－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·（a＋b）＝｜a｜2＋｜a｜｜b｜·cos θ＝3＋2×＝6.
9.2 解析：因为＝（＋）＝（2a＋2b＋2a－6b）＝2a－2b，所以｜｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4×＝4，则｜｜＝2.
10.证明：如图，设圆心为O，连接OC，则｜｜＝｜｜，＝（＋），所以｜｜2＝｜｜2，＝（＋）2，得｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，得＋－2·＝＋＋2·，
所以4·＝0，·＝0，所以⊥，即∠ACB＝90°.
11.C 因为（2a＋b）·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－｜b｜2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，而0°≤θ≤180°，故θ＝120°.
12.AC 设向量a，b的夹角为θ，由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得（a＋b）2＝（2a－b）2，即｜a｜2＋2｜a｜｜b｜ cos θ＋｜b｜2＝4｜a｜2－4｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2，化简得｜a｜＝2｜b｜cos θ.因为向量a，b不共线，所以cos θ∈（0，1），所以｜a｜＜｜2b｜，故A正确，B错误；又｜a－b｜2＝｜a｜2－2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝｜a｜2－｜a｜2＋｜b｜2＝｜b｜2，所以｜a－b｜＝｜b｜，故C正确，D错误.
13.解：（1）｜a＋tb｜2＝a2＋2ta·b＋t2b2，
即｜a＋tb｜2＝b2t2＋2a·bt＋a2，
所以当t＝－时，｜a＋tb｜有最小值.
（2）证明：因为a与b共线同向，所以a·b＝｜a｜｜b｜，
所以t＝－＝－＝－，
所以b·（a＋tb）＝a·b＋t｜b｜2＝｜a｜｜b｜－｜a｜｜b｜＝0.
所以b⊥（a＋tb）.
14.AD 当a，b共线时，a*b＝｜a－b｜＝｜b－a｜＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ（a*b）＝0，（λa）*b＝｜0－b｜≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，（a＋b）*c＝｜a＋b－c｜，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然｜a＋b－c｜≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e与a不共线时，｜a*e｜＝｜a·e｜＜｜a｜·｜e｜＜｜a｜＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，｜a*e｜＝｜a－e｜＝｜ue－e｜＝｜u－1｜≤｜u｜＋1，故D是正确的.
15.解：∵＝－，＝－＝－－，
∴·＝（－）·（－－）
＝（－·）＋·－＋·
＝·－r2＋（－）
＝·－r2＋·
＝｜｜·｜｜cos∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·取得最大值，为ra，
即当与共线且同向时，
·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2.
8.1.3 向量数量积的坐标运算
1.A ∵b＝（－1，），∴｜b｜＝2.又∵向量a＝（2，），∴向量a在b的投影的数量为＝＝，所以向量a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝·＝b＝.故选A.
2.C ∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝＝2.
3.AC ∵｜ka－b｜＝，｜a＋b｜＝＝，∴（ka－b）·（a＋b）＝（k，k＋2）·（1，－1）＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos 120°＝，即－＝，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±.
4.B 因为a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，所以 x＝2.由b∥c，得1×（－4）－2y＝0，所以 y＝－2.所以a＝（2，1），b＝（1，－2）.所以a＋b＝（3，－1），所以｜a＋b｜＝＝.
5.CD 由向量a＝（3，4），b＝（－4，－3），得a·b＝－24＜0，所以a与b的夹角是钝角，A错误.a＋b＝（－1，1），所以｜a＋b｜＝＝，B错误.（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角，C正确.a在b上投影的数量为｜a｜cos＜a，b＞＝＝－，b在a上投影的数量为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－，D正确.
6.A 建立如图所示的坐标系xAy，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2），则＝（，0），＝（x，2），于是·＝x＝，解得x＝1，因此F（1，2），＝（，1），＝（1－，2），·＝（1－）＋1×2＝.故选A.
7.180° － 解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，∴θ＝180°.即a，b共线且反向，∴a＝－b，∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－.
8.－1 解析：∵＝（－3，－1），＝（2，－1），∴－t＝（－3－2t，－1＋t），又（－t）⊥，∴（－3－2t）×2＋（－1＋t）·（－1）＝0.∴t＝－1.
9.2＋ 解析：2a－b＝（2cos θ－，2sin θ），｜2a－b｜＝＝＝，当且仅当cos θ＝－1时，｜2a－b｜取最大值2＋.
10.解：（1）设c＝（x，y），由题意，得
解得或
∴c＝或c＝.
（2）由题意，得（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，∴a·b＝－2.
∴cos θ＝＝－1.而0≤θ≤π，∴θ＝π.
11.C 因为tan α＝－2，所以可设P（x，－2x），所以cos＜，＞＝＝，当x＞0时，cos＜，＞＝，当x＜0时，cos＜，＞＝－.故选C.
12. 解析：由题意知向量m＋n＝（2λ＋3，3），m－n＝（1，－1），因为（m＋n）⊥（m－n），所以λ＝0.所以m＝（2，1），n＝（1，2），cos＜m，n＞＝，m＋n＝（3，3）.m＋n在n方向上的投影的数量为｜m＋n｜cos＜m＋n，n＞＝＝.
13.解：（1）由a＝（1，2），b＝（－3，4），
得c＝a＋λb＝（1－3λ，2＋4λ），
｜c｜2＝c2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4，
当λ＝－时，｜c｜最小，此时c＝，b·c＝0，所以b⊥c.
（2）设向量a与c的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大，
由于θ∈[0， π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，c＝（1，2）.
所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c.
14.BCD 在△ABC中，＝（2，3），＝（1，k），①当A＝90°时，·＝0，即2×1＋3k＝0，解得k＝－.②当B＝90°时，＝－＝（－1，k－3），且·＝0，即2×（－1）＋3×（k－3）＝0，解得k＝.③当C＝90°时，·＝0，即－1＋k（k－3）＝0，整理得k2－3k－1＝0，解得k＝.综上知，k的取值为－或或.
15.解：（1）设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，｜｜＝｜｜＝a.
∵⊥，∴·＝0，
∴（＋2）·（2＋）＝2＋5·＋2＝4a2，
｜＋2｜＝
＝＝a，
同理可得｜2＋｜＝a，
∴cos θ＝＝＝.
（2）∵⊥，｜｜＝｜｜＝，∴｜｜＝1.
设｜｜＝x（0≤x≤1），则｜｜＝1－x，而＋＝2，
∴·＋·＝·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos π＝－2x（1－x）＝2x2－2x＝2－，
当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－.
8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
1.A 原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝.
2.ABC 根据两角和与差的余弦公式可知选项A、B、C都正确，选项D，cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α.
3.A 因为θ∈，所以θ＋∈，所以sin＝.又cos θ＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
4.B ∵cos＝，∴cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝＝cos（x－）＝×＝1.
5.B 由cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝可得则sin αsin β＝，cos αcos β＝.故tan αtan β＝＝＝.
6.AC 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得（sin β－sin α）2＋（cos α－cos β）2＝1，∴－2cos（β－α）＝－1，∴cos（β－α）＝，∴A正确，B错误；∵α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝，∴C正确，D错误.
7. 解析：原式＝cos（－40°）·cos（－20°）－sin（－40°）·sin（－20°）＝cos[－40°＋（－20°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝.
8. 解析：∵α∈，∴α＋∈，∴sin＝＝，∴cos α＝cos［（α＋）－］＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
9. 解析：∵cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，∴cos＝cos α＋sin α＝.
10.解：（1）f＝cos＝cos＝×＝1.
（2）∵cos θ＝，θ∈，
∴sin θ＜0，∴sin θ＝－＝－＝－.
∴f＝cos＝cos＝＝（cos θ×＋sin θ×）＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
11.BD 由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos（α－β）＝， α＝，β＝满足题意，α＝，β＝也满足题意，故选B、D.
12.－ 解析：因为cos（α＋β）＝，＜α＋β＜2π，所以sin（α＋β）＝－；因为cos（α－β）＝－，＜α－β＜π，所以sin（α－β）＝，所以cos 2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）＝－.
13.解：（1）角α终边上一点A（1，－1），根据三角函数定义：r＝＝，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝，
cos＝cos αcos －sin αsin ＝×［－（－）］＝1.
（2）若选择①，∵tan β＝＝2，∴sin β＝2cos β，
又∵sin2β＋cos2β＝1，
即（2cos β）2＋cos2β＝1，即5cos2β＝1，cos2β＝，
又∵β为锐角，∴cos β＝，
sin β＝＝＝＝，
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
若选择②，∵锐角β的终边在直线y＝2x上；
即角β的终边在第一象限，不妨在直线上取一点B（1，2），
根据三角函数的定义得r＝＝，
sin β＝＝，cos β＝＝，
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
若选择③，∵角β的终边与π的终边相同，
又∵π＝π＝336×2π＋π，
即π与终边相同，
∴β与终边相同，
∴sin β＝sin ＝－sin ＝－，
cos β＝cos ＝－cos ＝－，
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
14.C cos ＝＝＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos（A－B）.又－＜A－B＜，∴A－B＝±.
15.解：（1）因为Q，∠AOQ＝α，
所以sin α＝，cos α＝，
则cos＝cos α·＋sin α·＝.
（2）由题意得Q（cos α，sin α），∠AOP＝，
则P，
所以·＝cos α＋sin α，
即函数f（α）＝cos α＋sin α＝cos.
由α∈，得α－∈，
所以f（α）∈.
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第一课时 两角和与差的正弦
1.B 原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14sin 16°＝sin（14°＋16°）＝sin 30°＝.
2.CD ∵cos（－15°）＝cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝，故A错.∵cos 15°sin 105°－sin 15°cos 105°＝sin 105°cos 15°－cos 105°sin 15°＝sin（105°－15°）＝sin 90°＝1，故B错.C、D正确.
3.A 原式＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.
4.D f（x）＝sin，∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝sin＝0，∴θ＝kπ＋，k∈Z.∵f（x）在上是减函数，∴k为奇数.当k＝1时，θ＝π.
5.C 由＜β＜π，cos β＝－得sin β＝.又0＜α＜＜β＜π，所以＜α＋β ＜，所以cos（α＋β）＝－＝－＝－.所以sin α＝sin[（α＋β）－β]＝sin（α＋β）cos β－cos（α＋β）sin β＝×＋×＝，故选C.
6.A 由已知可得（3sin A＋4cos B）2＋（3cos A＋4sin B）2＝62＋12，即9＋16＋24sin（A＋B）＝37，所以sin（A＋B）＝.所以在△ABC中，sin C＝，所以C＝或C＝.又1－3cos A＝4sin B＞0，所以cos A＜.又＜，所以A＞，所以C＜，所以C＝不符合题意，所以C＝.
7. 解析：因为cos θ＝，所以sin θ＝＝，所以sin＝sin θcos＋cos θsin＝×＝；sin＝sin θcos－cos θsin＝×－×＝.
8.[2，6] 解析：∵sin x＋cos x＝4－m，∴sin x＋cos x＝，∴sin sin x＋cos cos x＝，∴cos＝，∵≤1，∴｜｜≤1，∴2≤m≤6.
9.等腰三角形 解析：因为2cos Bsin A＝sin C，所以2cos Bsin A＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，所以cos Bsin A－cos Asin B＝0 sin（A－B）＝0.因为角A，B，C为△ABC的内角，所以A＝B.
10.解：因为 ＜α－β＜π，cos（α－β）＝－，
所以sin（α－β）＝.
因为＜α＋β＜2π，sin（α＋β）＝－，
所以cos（α＋β）＝.
所以cos 2β＝cos [（α＋β）－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝×＋×＝－1.
因为＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，
所以＜2β＜，2β＝π，
所以β＝.
11.AD sin θ＋cos θ＝sin（θ＋），∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin θ＋cos θ≤，∴sin θ＋cos θ可能取的值是和，故选A、D.
12.1 －1 解析：因为f（x）＝sin（x＋2φ）－2sin φcos（x＋φ）＝sin[（x＋φ）＋φ]－2sin φcos（x＋φ）＝sin（x＋φ）cos φ－sin φ·cos（x＋φ）＝sin x，所以函数f（x）的最大值为1，最小值为－1.
13.解：（1）由f＝Asin＝Asin ＝A＝，可得A＝3.
（2）f（θ）－f（－θ）＝，
则3sin－3sin＝，
3－3＝，得sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，f＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.
14.C sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β），由已知cos α＝，cos（α－β）＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin（α－β）＝，代入上式得sin β＝×－×＝＝，所以β＝.
15.解：由题意得f（x）＝a·b＝sin x－cos x＋1＝2sin＋1.
（1）f（x）的最小正周期T＝2π，
令x－＝kπ（k∈Z），则x＝kπ＋（k∈Z），
又f＝2sin（kπ）＋1＝1，
因此函数f（x）的对称中心为，k∈Z.
（2）f＝2sin＋1＝2sin α＋1＝ sin α＝.
∵α∈，∴cos α＝.
∵α∈，β∈（0，π），∴α＋β∈.
又sin（α＋β）＝－＜0，∴α＋β∈，
∴cos（α＋β）＝－，
∴sin（2α＋β）＝sin[（α＋β）＋α]＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α＝－×＋×＝－.
第二课时 两角和与差的正切
1.B 由三角函数的定义可得tan α＝＝，所以tan（α＋）＝＝＝－7.故选B.
2.D 由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.
3.B 由公式变形tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°（1－tan 28°tan 32°）＝（1－m）.
4.D tan＝tan＝＝1.
5.AC 对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan（25°＋35°）·（1－tan 25°·tan 35°）＝－tan 25°tan 35°，所以原式＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝.对选项B，（1＋tan 20°）（1＋tan 40°）＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋（1－tan 20°tan 40°）＋tan 20°·tan 40°＝1＋－（－1）tan 20°tan 40°≠.对选项C，原式＝＝tan 60°＝.对选项D，原式＝＝.
6.B ＝tan＝tan［（α＋β）－］＝＝＝＝，故选B.
7.1 解析：tan β＝＝＝tan，∵－α，β∈且y＝tan x在上是单调函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan（α＋β）＝tan ＝1.
8. －4 解析：tan＝＝＝－，解得tan α＝－4，tan＝＝＝.
9. 解析：由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan（α＋β）＝＝＝1.因为α＋β∈（0，π），所以α＋β＝.
10.解：（1）因为tan＝2，所以＝2，所以＝2，解得tan α＝.
（2）原式＝
＝＝＝tan（β－α）＝＝＝.
11.B 由tan（20°＋25°）＝1得tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.同理（1＋tan 21°）·（1＋tan 24°）＝2.故原式等于4.
12.－8 解析：tan＝tan
＝＝＝－8.
tan＝＝－2，tan β＝－，tan（α＋2β）＝＝.
13.解：选择条件①，∵角α的终边经过点P（1，2），
∴tan α＝2，则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
选择条件②，∵α∈，sin α＝，∴cos α＝＝，∴tan α＝＝，
则tan （α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
选择条件③，∵α∈，sin α＋2cos α＝，
由sin2α＋cos2α＝1，则可得sin α＝，cos α＝，
∴tan α＝＝3，
则tan（α＋β）＝＝＝4，解得tan β＝.
14.BD 因为α＋β＝，所以tan（α＋β）＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg（10a）＋lg ＝1－lg（10a）lg ，即1＝1－lg（10a）lg，所以lg（10a）lg＝0.lg（10a）＝0或lg＝0.得a＝或a＝1.
15.解：（1）∵α，β∈，sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝，cos β＝ .
∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝.
（2）∵α＋β∈（0，π），cos（α＋β）＝，∴α＋β＝，∴＋y＝α＋β＝.∴tan＝＝.
∵tan ·tan y＝2－，∴tan ＋tan y＝3－.
∴tan ，tan y是方程t2－（3－）t＋2－＝0的两个根.
∵x，y∈，∴0＜tan ＜1，∴tan ＝2－，tan y＝1.
∴＝，y＝，即存在x＝，y＝满足条件.
8.2.3 倍角公式
1.A 原式＝＝＝.
2.D ＝＝＝2tan α＝6.
3.B 因为f（tan x）＝，所以f（2）＝＝－.故选B.
4.BD 因为＝＝，由sin＝，得（sin θ－cos θ）＝，两边平方得sin 2θ＝，所以cos 2θ＝±.所以原式＝＝±，故选B、D.
5.B 由sin B sin C＝cos2得sin Bsin C＝，
∴2sin Bsin C＝1＋cos A，
∴2sin Bsin C＝1＋cos[π－（B＋C）]＝1－cos（B＋C），
∴2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，
∴cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，∴cos（B－C）＝1.
又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，
∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形.
6.C 由sin＝cos，可得cos α＋sin α＝cos α＋sin α sin α＝cos α tan α＝1，cos 2α＝＝＝0，故选C.
7. 解析：因为sin x＝－，所以由二倍角公式，得cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×＝.
8. 解析：∵sin ＋cos ＝，∴（sin ＋cos ）2＝，即1＋2sin cos ＝，∴sin θ＝，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
9.－ 解析：由tan（π＋2α）＝－，得tan 2α＝－，又tan 2α＝＝－，解得tan α＝－或tan α＝2，又α是第二象限的角，所以tan α＝－.
10.解：（1）因为cos＝，α∈，
所以＝，
cos α＋sin α＝，平方化简可得sin 2α＝－，
又α∈，
所以sin α＞0，cos α＜0，cos α－sin α＝－＝－＝－.
（2）cos＝cos 2α－sin 2α
＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）－sin 2α＝.
11.BCD 因为f（x）＝＝＝－tan x，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选B、C、D.
12. 解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－（1－2sin2α）＝sin αcos α，即2sin2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝.
法一 由tan（β－α）＝＝＝，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝.
法二 tan β＝tan（β－α＋α）＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.
13.解：（1）f（x）＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
（2）f（α）＝sin＝，2α是第一象限角，
即2kπ＜2α＜＋2kπ（k∈Z），
∴2kπ－＜2α－＜＋2kπ（k∈Z），
∴cos＝，
∴sin 2α＝sin
＝sincos ＋cossin
＝×＋×＝.
14. 解析：由题图知，A＝36°，则A＝18°，sin 18°＝×＝×＝，∴cos 36°＝1－2sin218＝1－2×＝，∴cos 324°＝cos（360°－36°）＝cos 36°＝.
15.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°
＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）
＝1＋－×＝.
同理，其他两式的值是.
（2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.
证明：cos2α＋cos2β－sin αsin β
＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α）
＝cos2α＋－sin α（cos α－sin α）
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos α sin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝.
8.2.4 三角恒等变换的应用
1.B 由于5π＜θ＜6π，所以＜＜.所以sin ＝－＝－.
2.D 原式＝（cos 60°＋cos 15°）＝.
3.BC 因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝｜sin x｜＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题.故选B、C.
4.C 因为cos（α＋β）cos（α－β）＝（cos 2α＋cos 2β）＝[（2cos2α－1）＋（1－2sin2β）]＝cos2α－sin2β，所以cos2α－sin2β＝.
5.C ∵C＝π－（A＋B），∴sin C＝sin（A＋B）＝，∴2sin cos ＝，∴2cos2＝1，即cos（A＋B）＝0，∴A＋B＝，∴C＝.故此三角形为直角三角形.
6.C ∵sin x＋sin y＝2sin ·cos ＝2sin ·cos ，又0＜＜＜，∴sin ＜sin .∴2sin ＜2sin ＝1.∴sin x＋sin y＝2sin ·cos ＜cos ≤1.∴sin x＋sin y＜1.
7. 解析：∵cos α＋cos β＝，∴cos cos ＝＝＝×＝.
8.0 解析：原式＝（cos 47°－cos 61°）－（cos 11°－cos 25°）－sin 7°＝2sin 54°sin 7°－2sin 18°sin 7°－sin 7°＝2sin 7°·（sin 54°－sin 18°）－sin 7°＝2sin 7°·2cos 36°sin 18°－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°·－sin 7°＝sin 7°－sin 7°＝0.
9. 解析：∵tan ＝＝tan，tan θ＝，∴＋θ＝kπ＋，k∈Z，解得θ＝kπ＋.∴tan θ＝tan＝.∴＝.
10.解：（1）f（x）＝＝
＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x
＝2cos2x＋cos x－1.
（2）∵f（x）＝2－且－1＜cos x＜1，
∴当cos x＝－时，f（x）取最小值－.
11.B 在△ABC中，B＝45°，所以cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝[sin B－sin（A－C）]＝－sin（A－C），因为B＝45°，所以－135°＜A－C＜135°，所以－1≤sin（A－C）≤1，所以≤cos Asin C≤，故选B.
12. 解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝（1＋cos 2A＋1＋cos 2B）＝1＋（cos 2A＋cos 2B）＝1＋cos（A＋B）·cos（A－B）＝1＋coscos（A－B）＝1－cos（A－B），∴当cos（A－B）＝－1时，原式取得最大值；当cos（A－B）＝1时，原式取得最小值.
13.解：f（x）＝sin 2x＋2sincos＝sin 2x＋sin＝sin 2x－cos 2x＝2sin（2x－）.
（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
由2x－＝kπ＋，k∈Z，得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
（2）因为－≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以当2x－＝，即x＝时，f（x）max＝2，
当2x－＝－，即x＝－时，f（x）min＝2×＝－，
所以f（x）的值域是[－，2].
14.CD A项，＝＝＝｜tan α｜，不符合；B项，＝＝tan ，不符合；C项，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α，符合；D项，＝＝tan α，符合；故选C、D.
15.证明：（1）∵A＋B＝π－C，
∴tan（nA＋nB）＝tan（nπ－nC）＝－tan nC，
∴＝－tan nC，
∴tan nA＋tan nB＝－tan nC＋tan nAtan nBtan nC，
∴tan nA＋tan nB＋tan nC＝tan nAtan nBtan nC.
（2）原式＝tan ＋tan tan
＝tan tan＋tan tan .
∵＋＝，
∴sin ＝cos ，cos ＝sin ，
∴tan tan ＝·＝·＝1，
∴原式＝1－tan tan ＋tan tan ＝1（定值）.
1 / 37.3 三角函数的性质与图象
7.3.1 正弦函数的性质与图象
第一课时 正弦函数的性质
1.函数f（x）＝是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.函数y＝－2sin x＋5，x∈的值域是（ ）
A.[3，7] B.[5，7]
C.[－7，5] D.[3，5]
3.函数y＝－sin x－7的单调递减区间是（ ）
A.[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
B.[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）
C.（k∈Z）
D.（k∈Z）
4.y＝的最小值是（ ）
A.2 B.－2
C.1 D.－1
5.已知a∈R，函数f（x）＝sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，则a等于（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.±1
6.（多选）已知函数f（x）＝2asin x＋a＋b的定义域是，值域为[－5，－1]，则a，b的值为（ ）
A.a＝2，b＝－7 B.a＝－2，b＝2
C.a＝－2，b＝1 D.a＝1，b＝－2
7.函数f（x）＝sin2x＋1的奇偶性是 .
8.sin sin（填“＞”“＜”或“＝”）.
9.函数y＝的最大值为 ，最小值为 .
10.已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈时，f（x）＝1－sin x，求当x∈时，f（x）的解析式.
11.已知α，β∈，且cos α＞sin β，则α＋β与的大小关系为（ ）
A.α＋β≥ B.α＋β＞
C.α＋β≤ D.α＋β＜
12.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.y＝｜sin x｜的定义域为R
B.y＝3sin x＋1的最小值为1
C.y＝－sin x为奇函数
D.y＝sin x－1的单调递增区间为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
13.函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3.
（1）求实数a的值；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间.
14.函数y＝的定义域是 ，单调递减区间是 .
15.设函数f（x）＝.
（1）请指出函数y＝f（x）的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）
（2）请以正弦函数y＝sin x的性质为依据，并运用函数单调性的定义证明：y＝f（x）在区间上单调递减.
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