2026年山东中考-数学一轮复习---解直角三角形的实际应用 专项练习（学生版+答案版）

解直角三角形的实际应用
类型一 仰角、俯角
1.（2025长春中考）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
2.（2024日照中考）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A. B. C. D.
3.（2024德阳中考）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
4.（2023南通中考）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A. B. C. D.
5.（2025陕西中考副题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，）
6.（2025德州中考）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
（2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
类型二 坡度、坡比
1.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
2.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路.如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i 5 :12 （ i 为铅直高度与水平宽度的比）.王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 B，则王老师上升的铅直高度BC为 米.
3.（2024眉山中考）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米．
4.（2024巴中中考）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度．
（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．
5.（2025资阳中考）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
（1）求平台的水平高度；
（2）求建筑物的高度（即的长）．
类型三 方向角
1.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．4km B．2km C．2km D．（＋1）km
第1题图 第2题图
2.如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　）
A．20海里 B．40海里 C．海里 D．海里
3.如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是_____nmile．（参考数据：，）
4.（2025连云港中考）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，．
（1）求岛与港口之间的距离；
（2）求．
（参考数据：，，）
5.（2025重庆中考）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）
（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
类型四 其他
1.（2024甘南中考）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）．
2.（2025湖南中考）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线．
（1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度；
（2）如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，）
3.（2025呼和浩特中考）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
4.（2024广东中考）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
（1）求的长；
（2）该充电站有20个停车位，求的长．
5.（2024乐山中考）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
参考答案
类型一 仰角、俯角
1.（2025长春中考）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
1.B 【解析】由题意，得四边形是矩形，
∴，
∴.
由题意，得，
∴，
∴.
2.（2024日照中考）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A. B. C. D.
2.B 【解析】如图，延长交于点C．
由题意得．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
3.（2024德阳中考）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
3.B 【解析】如图，过作于，
依题意，得
∴四边形为矩形，
∴，，
设，而，
∴，
∵，
∴，解得.
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴.
4.（2023南通中考）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A. B. C. D.
4.B 【解析】如图过点作，垂足为.
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
5.（2025陕西中考副题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，）
5.解：如解图，延长交于点，则，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
河宽约．
6.（2025德州中考）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
（2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
6.解：（1）如图，过点作于，
在中，，m，
则m.
答：小明一家步行上升的垂直高度约为.
（2）如图，过点作于，
则四边形为矩形，
.
，
，
在中，，
则，
答： 缆车的行驶路线的长约为．
类型二 坡度、坡比
1.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
1.A 【解答】如图，作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米）.
∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝50（米）.
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50米.
在Rt△EFC中，FC＝EF tan60°，
∴CF＝50×≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
2.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路.如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i 5 :12 （ i 为铅直高度与水平宽度的比）.王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 B，则王老师上升的铅直高度BC为 米.
2.
3.（2024眉山中考）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米．
3. 【解析】如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
∴设米，米，
，
，
米，米.
，
（米），
（米），即大树的高度为米.
4.（2024巴中中考）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．
（1）求点离水平地面的高度．
（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．
4.解：（1）∵斜坡的坡度，
∴.
∵，∴.
∵，
∴.
（2）如图，作于点，则四边形是矩形，，，
设.
在中，，
∴.
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：电线塔的高度
5.（2025资阳中考）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
（1）求平台的水平高度；
（2）求建筑物的高度（即的长）．
5.解：（1）过点B作于点E，则
∵斜坡的坡度，
∴.
∵在中，，
即，
∴米，
∴平台的高度是10米．
（2）如图，延长交于点F.
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，.
设米，则（米）.
∵在中，，
∴（米）.
∵在中，，
∴（米），
∴米.
由（1）有（米）.
∵，
∴，解得.
∴（米），
∴建筑物的高度（即的长）为米．
类型三 方向角
1.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．4km B．2km C．2km D．（＋1）km
1.C 【解析】如图，过点A作AH⊥OB于点H.
在Rt△AOH中，∠HOA=30°，OA=4，∴AH=，∠OAH=60°.
由题图，得∠OAB=90°+15°=105°，∴∠BAH=105°-60°=45°.
在Rt△ABH中，AB=.
2.如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　）
A．20海里 B．40海里 C．海里 D．海里
2.D 【解析】如图，过点A作AM⊥BC于点M.
由题意，得∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=（海里），∠NCA=10°，∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.
∵BD∥CN，∴∠BCN=∠DBC=20°∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，∴∠ACB=∠ABC=30°，∴AB=AC.
∵AM⊥BC，∴CM=BC=20（海里）.
在Rt△ACM中，∠AMC=60°，∠ACM=30°，∴AC=（海里）.
3.如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是_____nmile．（参考数据：，）
3.34 【解析】如图，作与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离.
由图可知，.
∵，，
∴.
∵，∴.
设，则，.
∵，解得：．
∴C岛到航线AB的最短距离是34 nmile．
4.（2025连云港中考）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，．
（1）求岛与港口之间的距离；
（2）求．
（参考数据：，，）
4.解：（1）如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∴，∴.
∵，，
∴，得.
在中，由，
得．
答：岛与港口之间的距离为；
（2）在中，，
∵，
∴，
∴.
在中，．
5.（2025重庆中考）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，）
（1）求的长度（结果保留小数点后一位）；
（2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
5.解：（1）如图，过点A作于E，过点B作于F，
∴，
由题意得，，
在中，千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴千米，千米，
∴千米，
∴千米，
答：的长度约为千米；
（2）如图，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T.
由题意，得.
在中，千米，
千米，
∴千米.
设千米，则千米，千米.
在中，千米，
千米，
∴千米.
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（此时大于的长，舍去），
∴千米.
答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
类型四 其他
1.（2024甘南中考）某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）．
1.解：如图，过点A作于点G，作于点F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴.
∵，，，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴．
答：阴影的长为．
2.（2025湖南中考）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线．
（1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度；
（2）如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，）
2.解：（1）∵，
∴四边形是矩形，
∴.
在中，分米，分米，
∴分米，
∴分米，
∴分米.
答：该连衣裙长度为14分米.
（2）如图，过点E作于H，延长交于T.
∵，
∴四边形是矩形，∴.
在中，分米，，，
∴分米.
分米，
∴分米，
∴分米.
分米，
∴分米.
答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米．
3.（2025呼和浩特中考）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
3.解：（1）∵，
∴.
由题意，知.
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴.
在中，，，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
4.（2024广东中考）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
（1）求的长；
（2）该充电站有20个停车位，求的长．
4.解：（1）∵四边形是矩形，
∴.
在中，，，
∴，.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
（2）在中，，
在中，.
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
5.（2024乐山中考）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
5.解：（1）如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．由题意，知，．
在中，，
同理可得.
∵，
∴．
∴．