特殊三角形的性质与判定（原卷版）
【一维夯实双基】
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，，，为边上的中线，DE⊥AC，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在△ABC中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（ ）
A． B． C． D．平分
5．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点在边上，．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
7．（2017·广东广州·一模）如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．（2025·云南文山·二模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ．
10．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 （写出一个即可）．
11．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
12．（2025·四川南充·中考真题）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是 ．
13．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ．
14．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m．
15．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在△ABC中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ．
16．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则 ．
17．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：．
18．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
19．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
20．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）．
【二维提升能力】
1．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A．∠B=∠DCB B． C． D．
2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，在△ABC中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，△ABC中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
6．（2025·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点，将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则 度．
11．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ．
12．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ．
13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ．
14．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm．
15．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．
(1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；(2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；
(3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
16．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，∠ACB=∠ADB，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：AC⊥BD．
17．（2025·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
18．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
19．（2025·福建·中考真题）如图，△ABC是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
20．（2025·北京·中考真题）在△ABC中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
【三维探究创新】
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
2．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当△ABC面积最大时，线段等于（ ）
A． B．2 C．2 D．4
3．（2024·天津·一模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点的对应点落在的延长线上，连接，，，，则的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．10
4．（2025·江苏淮安·一模）如图，在△ABC中，，，，分别以、为边作正三角形、，连接，交于点F，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．（2025·浙江杭州·二模）如图，在△ABC中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在△ABC中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ．
7．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ．
8．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，∠B=90°，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ．
9．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在△ABC中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ．
10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ．
11．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．
(1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将△ADE绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）．
12．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
13．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．
(1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有 （填序号）．
(2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积．
14．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在△ABC与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
15．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在△ABC中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得： ；则 ．
实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．特殊三角形的性质与判定（解析版）
【一维夯实双基】
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
2．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，，，为边上的中线，DE⊥AC，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：∵在△ABC中，，，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵DE⊥AC，
∴，
∴图中与互余的角是，共有4个，
故选：C．
3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在△ABC中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：，，
，
∵BD是的平分线，，
，
点D在的垂直平分线上，
，
，
。
故选：B.
4．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（ ）
A． B． C． D．平分
解：当时，
∵点在上，
∴，
∴，
∴AD⊥BC；故选项A不符合题意；
∵，
∴，不能得到AD⊥BC；故选项B符合题意；
∵，
∴当或平分时，AD⊥BC；故选项C，D均不符合题意；
故选B
5．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形的外角性质，得：，
∴．
故选：C．
6．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，点在边上，．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
解：，
，
，
，
，
．
故选：C．
7．（2017·广东广州·一模）如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
解：∵∠D=90°，CD=6，AD=8，∴AC= =10，
∵∠ACD=2∠B，∠ACD=∠B+∠CAB，∴∠B=∠CAB，∴BC=AC=10，
∴BD=BC+CD=16，
故选C．
8．（2025·云南文山·二模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
解：由作图可知，为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
9．（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ．
解：∵等腰三角形的一个底角为，
∴另一个底角的度数也为，
∴它的顶角的度数是；
故答案为：．
10．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可）
解：设腰长为，底长为，
则，
∴．
根据三角形三边的关系可知，，
解得：，
又，即，
解得：，
∴，
故答案为：5（答案不唯一）．
11．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ．
解：∵在等腰中，，，
∴，
由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，有最小值，
∵，
∴当AD⊥BC时，点D为的中点，
∴此时，
故答案为：．
12．（2025·四川南充·中考真题）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是 ．
解：连，由作图可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ．
解：∵E是斜梁的中点，，
∴，
∵EF⊥BC，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.2．
14．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m．
解：∵AD⊥BC，
∴为直角三角形，
∵E是斜梁的中点，
∴．
故答案为：4．
15．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在△ABC中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ．
解：∵在△ABC中，点，分别是边，的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
16．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则 ．
解：设，
∵线段的垂直平分线分别交于点，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
17．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：．
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
18．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
（1）解：，
．
由作图可知，是的角平分线，
．
（2）解：在中，由三角形内角和定理得，
，
，
在中，，
．
．
．
．
，
．
19．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，．
(1)求证：；
(2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：如图，即为所求作．
20．（2025·西藏·中考真题）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）．
解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形，
∴，，，
∵，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴
，
即四边形的面积为．
【二维提升能力】
1．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A．∠B=∠DCB B． C． D．
解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意；
∴∠BDC=180°-∠B-∠DCB=90°，，故B、C结论都正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
如图所示，设交于O，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
3．（2025·安徽·中考真题）如图，在△ABC中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．3
解：∵在中，，，
．
是中点，
∴设，则．
∵，
是直角三角形，且，
，
∵，则．在中，根据勾股定理，
∴，
，
，
解得（）．
，
．
故选：．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，△ABC中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
解：由作图知，平分，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
故选：A．
5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
解：在△ABC中，，
∴；
由旋转可知，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．（2025·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵ ，，
∴ ，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：．
7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点，将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，过点B作，垂足为D，
∵，，
∴轴，
∴轴，
∵是等边三角形，，
∴，
又，
∴，，
∴，
，
∴，
∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为，
故选：A．
8．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
解：如图，连接，
由作图可得，，
∴△ABC为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
9．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．
解：过点作垂线交于点，即
，即是的垂直平分线，
∵，
在同一线上，
，
故答案为：．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在△ABC中，，点在射线上，，连接，，则 度．
解：当点D在射线上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在射线上，且在点B之外，
∴，即，
∴，
∴；
当点D在线段上时，如图所示：
∵，，
∴，
∵点D在线段上，且在点B之内，
∴，
∴；
故答案为：40 或60．
11．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ．
解：连接，
∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∵正六边形为轴对称图形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
12．（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作轴，则：，，
∴或，
设直线的解析式为，
∴当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
综上：或；
故答案为：或．
13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ．
解：在中，点C为的中点，，
，
点B的坐标为，
，
，
，
点C的坐标为，即，
反比例函数的图象经过点C，
，
故答案为：12．
14．（2025·甘肃·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm．
解：∵为等边三角形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12．
15．（2025·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．
(1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；(2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；
(3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
（1）解：如图所示，△ABC即为所求；
（2）解；如图所示，△ABC即为所求；
（3）解：如图所示，△ABC即为所求．
16．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，∠ACB=∠ADB，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，∠ACB=∠ADB，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即.
17．（2025·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
（1）证明：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
18．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1．
(1)求的度数；
(2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长．
（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：由作图知是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
19．（2025·福建·中考真题）如图，△ABC是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
（1）解：是等边三角形，
．
D是的中点，
．
，
，
．
（2）由平移可知：，
，
又，
，
∴，
又，
垂直平分，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
20．（2025·北京·中考真题）在△ABC中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
（1）证明：∵，
∴
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合
∴，，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2），
证明：如图，在上取一点，使得
∵
∴
∴，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
【三维探究创新】
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A．2 B．2.5 C． D．4
解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图，
∵等腰直角三角形，，点D为边的中点，
∴，
∴，
当点P运动到的中点时，
∵点D为边的中点，
∴；
故选：A.
2．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当△ABC面积最大时，线段等于（ ）
A． B．2 C．2 D．4
解：如图，延长至点，使，
D为中点，
，
∴，
，
，
，
∴△CFE∽△CBG，
，
，，
∴，即，
，
点是的中点，
，D为中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，
当时，边上的高取的最大值，即此时△ABC面积最大，
，
，即△ABC为等腰直角三角形，
∵，，
，
．
故选：B．
3．（2024·天津·一模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点的对应点落在的延长线上，连接，，，，则的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．10
解:将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
4．（2025·江苏淮安·一模）如图，在△ABC中，，，，分别以、为边作正三角形、，连接，交于点F，则的长是（ ）
A．2 B．3 C． D．
解：如图所示，过D作于G，过E作，交的延长线于H，
∵是等边三角形，
．
，
．
∴，
．
在中，，，
，，．
和是等边三角形，
，.
．
．
在和中，
．
．
在中，，
．
．
．
．
．
故选：D．
5．（2025·浙江杭州·二模）如图，在△ABC中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最小时，取得最大值，
根据垂线段最短，
∴时，取得最大值，
∴，
故选：A．
6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在△ABC中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ．
解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得，即，
解得或9，
即或9，
故答案为：7或9．
7．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ．
解：，
，
，
，
，
若为“反直角三角形”，
①当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②当时，过点作交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
；
③当时，
，，且，
，
，
若，则，即，
此种情况不存在；
④当时，
当点与点重合时，最小，此时，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，的长为或，
故答案为：或．
8．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，∠B=90°，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为 ．
解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，∠B=90°，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
即，
∴，
故答案为：．
9．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在△ABC中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ．
解：如图所示，过点作于，
在中，，
∴；
∵△ADE是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当有最小值时，有最大值，
∴当有最小值时，有最小值，
∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
10．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ．
解：过点D作交于点E，
①当时，如图（1），
∵是等边三角形，，
∴，，即是等边三角形，
∴
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
②当时，如图（2）
同理可得，，
∴，即，
∴，
∴．
③当时，如图（3）
同理可证，
∴
∴．
∴．
④当时，如图（4）
同理可证，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长是6或8或9．
故答案为：6或8或9．
11．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．
(1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将△ADE绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）．
（1）解：如图，过点D作于H，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
由旋转知，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点．
12．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）设，
根据折叠的性质，得，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
故，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为．
（3）由（1）得：，
∴直线与直线的交点在直线的左侧，
如图所示：
当时，，
∴，
∵直线与直线的交点在直线的左侧，
∴直线经过点N时恰好是临界点，
∴，
解得：，
∴t的取值范围为．
13．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．
(1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有 （填序号）．
(2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积．
（1）解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，
图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，
故答案为：③；
（2）解：∵，，，
∴，
∵四边形是邻等内接四边形，
∴四点共圆，且为直径，
把的中点记为点，即四点在上，
连接，，相交于点，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
则在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴
则
即，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
则．
，
∴四边形的面积．
14．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在△ABC与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
解：（1）∵，
∴，即，
∵，，
∴；
（2）∵，即，
∴，，，
作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）设，
由旋转的性质得，则，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，即，
∴．
15．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在△ABC中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得： ；则 ．
实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
解：探究发现：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，，；．
实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵△ABC是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，则，
∴，
在中，．
∵将线段绕点逆时针旋转得，
∴
∴是等边三角形，
∴，则，
∴由探究发现可得：．
拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接，
设，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴弧AC=弧BE，
∴，
∴，
∴．
∴由探究发现可得：，
∵，
∴，
∵，
∴
．
