切线的判定与性质的综合应用、圆与函数的综合专项训练
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切线的判定与性质的综合应用 圆与函数的综合
例1．（25-26九年级上·广东广州·月考）为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接．
(1)如图1，求证：为圆O切线；
(2)如图2，过点A作交于点D，求证；
(3)在（2）的条件下，当时，求的长．
例2．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点．
(1)若，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)证明：．
例3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，是的切线，切点为A，点B在上，不与点A重合，．
(1)求证：是的切线；
(2)点C是优弧上一点，连接，，设．
①求的大小（用表示）；
②已知，若四边形为菱形，试求图中阴影部分的面积．
例4．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）课本再现：
(1)如图①，是的两条切线，切点分别为．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由？
(2)知识应用：如图②，分别与相切于点，且，连接，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线．
变式1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，，分别与相切于点，，且，平分．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
变式2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
变式3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在中，直径，是线段延长线上的一点，切于点，是上一点，且，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)当时（如图2），求的长；
(3)若四边形是菱形（如图3），求阴影部分面积．
变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在中，，D为的中点，点O在上，与相切于点E，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
例1．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数．
(1)如图1，点，在，，中，点_________是点C的“垂切点”，垂切系数_________．
(2)点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为_________．
(3)已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围．
例2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，直线经过点B、点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，连接交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，过点A作直线的垂线，垂足为G，连接交于点H，连接，当时，求的值．
例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”．
(1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上；
(2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由；
(3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________．
例4．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）二次函数（、、是常数）与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，图象顶点为点，经过点、、三点，且．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求的面积；
(3)若直线与相切．求的值．
变式1．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其顶点为，为坐标原点．
(1)求、两点坐标；
(2)若以、、三点为顶点的三角形为直角三角形，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，是经过、、三点的圆，点是上一动点，连接．
①连接，求的最小值和此时点的坐标；
②若点是线段的中点，连接，请直接写出线段的取值范围
变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．
(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)若，求三点的坐标；
(2)如图1，若，求的值；
(3)如图2，过点C作交抛物线于另一点E，以CE为直径作，求证：直线与相切．
变式4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围；
(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．切线的判定与性质的综合应用、圆与函数的综合专项训练
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切线的判定与性质的综合应用 圆与函数的综合
例1．（25-26九年级上·广东广州·月考）为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接．
(1)如图1，求证：为圆O切线；
(2)如图2，过点A作交于点D，求证；
(3)在（2）的条件下，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵切圆O于点C，
∴，
∴
∴为圆O切线；
（2）证明：如图，连接，
∵为圆O直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，连接，，
∵，
∴，
∴半径，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
设，则，
，
∵O，F分别是和的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
例2．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点．
(1)若，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)证明：．
【答案】(1)四边形为菱形，见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：
连接，
，
，
为劣弧的中点，
，，
，
又，
，
又，
和均为等边三角形，
，
四边形为菱形；
（2）证明：方法：，
，
，
，
在中，，
，
又与圆相切于点，
，
，
又，
；
方法：连接并延长交圆于点，连接，
为圆的直径，
，
又，
，
直线与圆相切于点，
，
．
例3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，是的切线，切点为A，点B在上，不与点A重合，．
(1)求证：是的切线；
(2)点C是优弧上一点，连接，，设．
①求的大小（用表示）；
②已知，若四边形为菱形，试求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，切点为A，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵，，
∴
，
∴；
②如图，连接，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：（负值舍去）
∴，
∴
．
例4．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）课本再现：
(1)如图①，是的两条切线，切点分别为．若图中的，则的长度是多少？如果，则的度数是多少？请说明理由？
(2)知识应用：如图②，分别与相切于点，且，连接，延长交于点交于点，过点作交于．求证：是的切线．
【答案】(1)；；理由见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图①，连接和．
和是的两条切线，
，
∵，
，
．
（2）证明：根据解析（1）可得：，
同理可得：，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
经过半径的外端点M，
是的切线．
变式1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，，分别与相切于点，，且，平分．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【详解】（1）证明：连接，过点作于点，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵是半径，
∴是半径，
∴与相切；
（2）解：∵，，，，
∴
，
∵平分
∴，
，
，
，
，
∵，
∴．
变式2．（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，与相切于点B，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵是的半径，且，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴的半径长为．
变式3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在中，直径，是线段延长线上的一点，切于点，是上一点，且，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)当时（如图2），求的长；
(3)若四边形是菱形（如图3），求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图，连接、，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵切于点，是上一点，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接、，
由（1）知：，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，直径，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接、，设，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴，
∴
．
即阴影部分的面积为．
变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在中，，D为的中点，点O在上，与相切于点E，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【详解】（1）证明：连接，过点作于点
∵，D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵与相切于点E，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
设，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
解得．
例1．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数．
(1)如图1，点，在，，中，点_________是点C的“垂切点”，垂切系数_________．
(2)点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为_________．
(3)已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)，4
(2)或
(3)或
【详解】（1）解：由题意知，过点的切线为，
如图，在，，三个点中，只有的垂直平分线可以是，
∴点是点C的“垂切点”，此时，
∴垂切系数；
（2）解：由定义可知，过点C的切线即为与过点A，半径为2的，的公切线，
要使点A在x轴上，且点A是点C的“垂切点”，
如图，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点，
∵，，，
在和中，，
∴，
∴，
过点作，
在中，，，
∴，
同理可得，
∵与的外切圆始终存在切点C，
∴当外切圆的圆心在x轴正半轴上时，存在最大值为2，
∴的取值范围是，
同理，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点，
∵，，，
在和中，，
∴，
∴，
过点作，
在中，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵与的外切圆始终存在切点C，
∴当外切圆的圆心在x轴负半轴上时，存在最小值为，
∴的取值范围是，
综上所述，点C横坐标取值范围是或．
（3）解：由题意知，点P关于点C的垂切系数a满足，
如图，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴当在以O为圆心，4为半径的上运动时，始终保持点P关于点C的垂切系数a满足，
∴的取值范围是，
∵，，
∴点M在直线上，为一条水平长度为4的线段，
如图，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可，
当与半径为的相切时，即，解得，
当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去），
当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去），
当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去），
综上所述，t的取值范围是或．
例2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，直线经过点B、点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，连接交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，过点A作直线的垂线，垂足为G，连接交于点H，连接，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：在中，令，则，
∴，
将代入得，
故，
令，则，解得：，
∴，
将代入得，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
故抛物线的对称轴为直线，，
根据题意可得，且,即,
设直线的解析式为，
则，解得：，
故解析式为：，
令，则，
故，
∴，
故．
（3）解：连接，
根据旋转可得，
∴，
根据题意可得，
∴，
四点共圆，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故四点共圆，
故，即．
∴，
设直线的解析式为，
代入得，解得：，
则直线的解析式为，
联立和，得，
即．
由勾股定理：，
解得：或（舍去），
故，
设直线的解析式为，
代入，，得，解得：，
则直线的解析式为，
令，则，解得：，
∴，
则，
过点作，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
例3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”．
(1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上；
(2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由；
(3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________．
【答案】(1)在
(2)是，理由见解析
(3)相切，理由见解析
(4)
【详解】（1）解：过点、、，
点在的垂直平分线上，
点、是抛物线与轴的两个交点，
抛物线的对称轴是的垂直平分线，
点在抛物线的对称轴上；
故答案为：在；
（2）解：是抛物线的“轴点圆”，
理由如下：
当时，可得方程，
整理得：，
分解因式可得：，
方程的解为：，，
抛物线与轴的两个交点坐标为，，
当时，，
抛物线与轴的交点坐标是，
点到点的距离为，
点到点的距离为，
点到点的距离为，
过抛物线与坐标轴的交点，
是抛物线的“轴点圆”；
（3）解：直线与相切，
理由如下：
如下图所示，过点作，
已知抛物线，
当时，可得：，
解方程得：，，
抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，
当时，可得：，
抛物线与轴的交点坐标为，
是抛物线的“轴点圆”，
的圆心坐标为，半径为，
当时，，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
直线与相切；
（4）解：如下图所示，连接，作的垂直平分线，
是抛物线的“轴点圆”，
点在的垂直平分线上，
，
已知抛物线，
当时，，
点的坐标为，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
，
的周长为，
当最小时，的周长最小，
，
此时的值最小，
当点、、三点共线时的值最小，
此时，
的周长最小值为．
例4．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）二次函数（、、是常数）与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，图象顶点为点，经过点、、三点，且．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求的面积；
(3)若直线与相切．求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：不妨设，连接，如图所示，（时情况类似），
依题意，得，且平分，
∴，
，
，
∴，
为等边三角形；
（2）解：时，二次函数的解析式为：，
当时，，
设，
由求根公式得：，，
则，
∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，，
故顶点，
如（1）中图，设直线交轴于点，
为等边三角形，，
，
，，
∴，
，
，
，，
，
，
，
故；
（3）解：设直线切于点N，与抛物线对称轴交于点F，连接，设圆的半径为r，如图；
由（2）知，，则，
∴，
设的两个解为，
由求根公式得：，，
则，
∴；
∵直线是二、四象限的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
即，
∵，且，
∴．
变式1．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其顶点为，为坐标原点．
(1)求、两点坐标；
(2)若以、、三点为顶点的三角形为直角三角形，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，是经过、、三点的圆，点是上一动点，连接．
①连接，求的最小值和此时点的坐标；
②若点是线段的中点，连接，请直接写出线段的取值范围
【答案】(1)，
(2)或
(3)①的最小值，；②
【详解】（1）解：在中，
令，得，
解得：，，
∴，．
（2）连接，，则，过点作于点，则，
∵，，
∴，设，则，
∴或，
∴或，
解得：或
∴抛物线的解析式为或．
（3）①由（2）知，圆心即为点，半径为．
（i）当时，抛物线的解析式为，，
在轴上找一点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值线段．
由和
设直线的一次函数解析式为，将代入，
得，，
解得：，
∴直线的一次函数解析式，
∴设，且，由，得，
，（舍去），
∴．
（ii）当时，抛物线的解析式为：，，
同样的方法，可求得的最小值=线段，．
②如图所示，取的中点，连接，
∵是的中点，
∴，即点在上运动，
∵，
∴，
∵是的中点，
则，
∴．
变式2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．
(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
【答案】(1)
(2)
(3)点Q在以中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、，
∴该函数的解析式为，
∴．
（2）解：连接，
∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且，
∴点D在上，
∴，
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为：；
（3）解：∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，
∵、，，
∴当点P与点B重合时，，即，
当点P与点A重合时，，即，
∴轴，，
∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动，
点Q的路径长为：．
变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)若，求三点的坐标；
(2)如图1，若，求的值；
(3)如图2，过点C作交抛物线于另一点E，以CE为直径作，求证：直线与相切．
【答案】(1)，，
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：当，抛物线解析式为，
令，解得，
∴，
令，则，
解得：，
∵在的左侧，
∴，；
（2）解：∵，
令，解得，
∴，
设，，
∴是方程的两根，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
过点作，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
即，
，
解得：，
∵，
∴，
（3）如图，连接，，
∵，
∴对称轴为直线，
令，则，
解得：，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴的半径为，
∴，
∴是的半径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴ ，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是的切线．
变式4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围；
(3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)CI的最小值为
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
将C（0，4）代入，得．
∴，
∴ 抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，函数的对称轴为：x=1，则x=5和x=－3关于对称轴对称，故其函数值相等，又，时，均有，
结合函数图象可得：，解得：；
（3）连接DI，AI，OI，
∵I为△ADG的内心，
所以∠DIA=135°，∠DAI=∠OAI，
又∵IA=IA，DA=OA，
∴，
∴∠OIA=∠DIA=135°，
∴I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上，
又A（4，0），OA=4，
∴在等腰Rt△AON中，，
∴ N（2，－2），，
连接NC，
∴，
∴当C、I、N三点共线时，CI最小，
∴CI的最小值为．
