28.1.1 正弦 课件 (共27张PPT)---2025--2026学年九年级下册人教版数学

(共27张PPT)
正 弦
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1cm，根据“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的_____”，得到AB=____cm，然后根据勾股定理，得AC=____cm.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，BC=1cm，则AC=____cm，AB=____cm.
一半
2
1
1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变). (重点)
2.能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点)
问题:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.
在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半
Rt△ABC ∠C=90° ∠A=30° ∠A的对边BC 斜边AB
35
70
50
100
k
2k
你发现了什么？
直角三角形中，不管三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比都等于
斜边
对边
重要发现！！
在Rt△ABC中，如果∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？
∵∠A=45°∠C=90°∴AC=BC
由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2
B
A
C
斜边
对边
45°
直角三角形中，45°角的对边与斜边的比都等于
重要发现！！
在Rt△ABC 中，∠C=90°
当∠A=30°时，
当∠A=45°时，
固定值
重要发现！！
在Rt△ABC 中，∠C=90°
当∠A=30°时，
当∠A=45°时，
固定值
当∠A=60°时，
一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
1.比值 与点B在角边上的位置无关；
2.比值 随着∠A的变化而变化；
在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=
认识新朋友sine
注意
· sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；但是sin∠ABC这样的表示不省略角的符号
·sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中
∠A的对边与斜边的比；
·sinA不表示“sin”乘以“A”。
A
10m
6m
B
C
判断对错:
1、 如图①
(1) （ ）
(2) （ ）
(3)sin A=0.6m （ ）
(4)sin B=0.8 （ ）
sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2、如图②，
（ ）
A
B
C
图②
√
×
×
√
×
例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.
解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此sinA= ，sinB= .
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.
例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.
解：如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此sinA= ，sinB= .
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.
解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此sinA= ，sinB= .
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值.
解：如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
因此sinA= ，sinB= .
例2.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.
解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)，
∴A(3，0)
A (3，0)
在Rt△APO中，由勾股定理得
因此
α
【点睛】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
A
B
x
y
例3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.
A
B
C
【分析】已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长. 然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.
解：∵ ∴
∴ AB=3BC=3×3=9.
∴
∴
∴
在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得
即 24x=24，解得x=1.
故 BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.
所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).
A
B
C
通过本节课的学习，你收获了什么？
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
(1)sinA不是一个角;(2)sinA不是sin与A的乘积;(3)sinA是一个比值;
(4)sinA没有单位.
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=
∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化.
1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于( )
A. B. C. D.
O
x
y
P (a，b)
α
2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值 （ ）
A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定
D
B
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=6，则 AB 的长为 （ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4. 在△ABC中，∠C=90°，如果 ，AB=6， 那么BC=______.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°,sinA=，D为AC上一点∠BDC=45°,
DC=6, 则AB的长是______.
15
2
D
6.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则sin∠BDE的值等于（　　）
A． B． C． D．
7.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（ ）
A． B． C． D．
A
C
布置作业
必做：习题28.1 第1题
选做：活页试卷