华师大版九年级上册第24章解直角三角形单元考试题（含答案）

华师大版九年级上册第２４章解直角三角形单元考试题
姓名：　　　　　，成绩：　　　　；
一、选择题（4×12=48分）
１、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）
　
A．
3cm
B．
6cm
C．
cm
D．
cm
２、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，则表示（　　）
A．sinA
B．cosA
C．sinB
D．以上都不
４、小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是（
）
A.+1
B.
+1
C.
2.5
D.
５、在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（
）
B、
C、
D、
６、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（
）
Ａ、0°≤A≤60°
B、60°≤A
＜90°　　C、0°＜A
≤30°
D、30°≤A≤90°
７、在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=55°，则直角边BC的长是（　　）
A．msin55°
B．mcos55°
C．
D．
8、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．米2
B．米2
C．（4+）米2
D．（4+4tanθ）米2
9、在△ABC中，若，，则这个三角形一定是（
）
Ａ、锐角三角形; Ｂ、
直角三角形; Ｃ、钝角三角形; Ｄ、等腰三角形.
10、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．下列说法正确的是（　）
Ａ、ＡＢ的长为４００米；　　　　　　　　Ｂ、ＡＦ的长为１０米；　
Ｃ、填充的土石方为19200立方米；　　　　Ｄ、填充的土石方为384立方米
１１、如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
12、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（　　）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
A．30.6
B．32.1
C．37.9
D．39.4
二、填空题（４×６＝２４分）
１３、直角三角形斜边上的中线长是2.5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为　　　　．
１４、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是
．
15、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的的位置
升高
m。6
16、已知P（2，3），OP与x轴所夹锐角为，则tan=_______
.
17、观察下列等式
①sin30°=
cos60°=
②sin45°=
cos=45°=
③sin60°=
cos30°=
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=　　．
18、我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．飞机的飞行距离
BD=
（结果保留根号）．
三、解答题（７×２＝１４分）
１９、计算：
+tan30°·sin60°
２０、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长。
四、解答题（１０×４＝４０分）
22、如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
⑴求教学楼AB的高度；
⑵学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
）
２３、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30 方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
24、如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为　　米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
五、解答题（１２×２＝２４分）
２５、在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
26、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
华师大版九年级上册第２４章解直角三角形单元考试题的答案
一、选择题
DBABD
CADAC
CD
二、填空题
13、6，
14、2，
15、6，
16、
1.5，
17、
1，
18、25+5
三、解答题
19、2
20、3+
四、解答题
22、⑴过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.
Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，∴tan22°=
，
=，x=12.即教学楼的高12m.
⑵由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt△AME中，cos22°=　，
∴ＡＥ＝　≈　
EQ
\f(２５,)≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．
２３、（1）由点A作AD⊥BC于D，
　　则AD就为城市A距台风中心的最短距离
　　在Rt△ABD中，∠B=30 ，AB＝220，
　　∴AD=AB=110.
　　由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．
　　故该城市会受到这次台风的影响．
　　（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，
　　将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时，
　　该城市都会受到这次台风的影响.
　　由勾股定理得
　　∴EF＝2DE＝6.
　　因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，
　　所以这次台风影响该城市的持续时间为小时.
（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．
24、（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF=BD=15，
DF=15，
故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，
PA=ADcos30°=×30=15．
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，
在Rt△DMH中，
HM=DMtan30°=×（15+27）=15+9．
GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．
答：建筑物GH高为45.6米．
五、解答题
２５、（1）∵∠1=30°，∠2=60°，
∴△ABC为直角三角形．
∵AB=40km，AC=km，
∴BC===16（km）．
∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，
∴×60=12（千米/小时）．
（2）作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T．
∵∠2=60°，
∴∠4=90°﹣60°=30°．
∵AC=8（km），
∴CS=8sin30°=4（km）．
∴AS=8cos30°=8×=12（km）．
又∵∠1=30°，
∴∠3=90°﹣30°=60°．
∵AB=40km，
∴BR=40sin60°=20（km）．
∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．
易得，△STC∽△RTB，
所以=，
，
解得：ST=8（km）．
所以AT=12+8=20（km）．
又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，
∵19.5＜AT＜20.5
故轮船能够正好行至码头MN靠岸．
26、（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；
（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2﹣t，
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），
解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），
∴t=﹣3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即：
t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，
∵ME=2﹣t，
∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=ECtan∠DCB=EC=（4﹣t）=3﹣t，
∴FK=2﹣EK=t﹣1，
∵NL=AD=，
∴FL=t﹣，
∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，
∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，
④如图⑥，当＜t≤4时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t），EM=EC=（4﹣t），
S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．
综上所述：
当0≤t≤时，S=t2，
当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；
当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，
当＜t≤4时，S=﹣t+．
C
B
A