三角形的证明单元测试卷(一) （含答案）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

单元测试卷(一) 三角形的证明
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cm B. ，，
C. 1cm，2cm， D. 2cm，3cm，4cm
2.在中，：：：2：3，则这个三角形是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
3.下列说法错误的是( )
A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B. 三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C. 等腰三角形的两个底角相等
D. 等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
4.如图所示，，，都是等腰三角形，如果，，那么AC长为
A. 4cm B. 5cm C. 8cm D.
5.如图，在中，，，AD平分，若，则点D到线段AB的距离等于
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.如图，在中，，AD是的平分线，，，垂足分别为点E，F，则下列四个结论中，正确的个数是
①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；
②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
③，；
④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.一副三角尺按如图所示叠放在一起，则图中的度数为
A. B. C. D.
8.如图，在中，和的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作，垂足为点D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则其中正确的是
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为 .
10.如图所示，在和中，，若不增加任何字母与辅助线，要使≌，则还需增加一个条件是 .
11.如图所示，在中，，，直线l经过点A，分别过点B，C作经直线l的垂线段BD，CE，若，，则DE的长为
12.如图，在等边三角形ABC中，，垂足为点D，点E是AD延长线上一点，若，则的度数为 .
13.如图，在四边形ABCD中，，，，对角线AC与BD相交于点E，若，则 .
三、解答题：本大题共7小题，共61分。
14.如图，，，垂足为点D，，垂足为点E，BE与CD相交于点求证：
15.如图，，点E，N在AB上，点F在CD上，的平分线FM交AB于点G，且若，求的度数.
16.如图，在中，AD为的平分线，EF垂直平分AD，垂足为点E，EF交BC的延长线于点求证：
17.如图，在中，，CD为AB边上的高，BE平分，且分别交CD，AC于点F，求证：
18.如图，在中，
用无刻度的直尺和圆规在边BC上找一点P，使请保留作图痕迹
若，，计算中线段CP的长.
19.著名的赵爽弦图如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则
图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上，并新修一条路CH，且测得，，求新路CH比原路CA少多少千米；
小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法.他是这样思考的，在第问中若时，，，，，设，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程.
20.在等腰中，，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点.
如图1，连接BE，若，的周长为19，直接写出BC的长;
如图2，AF是的中线，AF交DE于点O，若，求证：
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
【解析】和的平分线相交于点O，，，，故①正确；，，，BF分别是与ABC的平分线，，，，，如图，在AB上取一点H，使，连接OH，
是的平分线，，在和中， ≌，，，，在和中， ≌，，，故②正确；
如图，作于H，于M，
和的平分线相交于点O，点O在的平分线上，，，，故③正确.
9.【答案】10
【解析】【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
，
不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长，
综上所述，三角形的周长为
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
10.【答案】答案不唯一
11.【答案】7
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】证明：于D，于E，在与中， ≌，
15.【答案】解：，平分，，，
16.【答案】16证明：垂直平分AD，，，又平分，，
17.【答案】证明：，为AB边上的高，，，是的平分线，，，，
18.【答案】【小题1】
解：如图，点P即为所求.
【小题2】
设，则，在中，，，解得，

19.【答案】【小题1】
解：梯形ABCD的面积为，也可以表示为，，即；
【小题2】
设，，在中，根据勾股定理得：，，解得，即，答：新路CH比原路CA少约千米；
【小题3】
，，，，，，根据勾股定理：在中，，在中，，，即，解得：，，

20.【答案】【小题1】
是AB的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
的周长为19，
，
【小题2】
证明：如图2，在直线DE上截取，连接AM，BM，BE，
是AB的垂直平分线，
，，，
，
，
，AF是中线，，
，
，
，，
是OM的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，

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