安徽省滁州市定远县育才学校2026届高三第一次模拟考试数学试卷（含答案）

定远育才学校2026届高三第一次模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中二项式系数和为，则二项式展开式中有理项系数之和为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为
A. B.
C. D.
6.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.在棱长为的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知定直线的方程为，点是直线上的动点，过点作圆：的一条切线，是切点，是圆心，若面积的最小值为，则此时直线上的动点与圆上动点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数在处取得极大值，则( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 的一个递增区间为
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数
10.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于，两点，过，两点分别作的切线，两切线交于点，直线，分别交轴于，两点，则( )
A. 的准线方程为
B. 过作，为垂足，则
C.
D. 设为上的动点，则的最小值为
11.如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线：与曲线交于，两点，则下面说法正确的是( )
A. 曲线的方程为
B. 的最小值为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.箱中有连续编号到的小球，现从箱中一次随机取出个球，若已知取出的个球的编号中位数为，则这个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于的概率为 ．
13.已知曲线与在交点处的切线互相垂直，则
14.在锐角中，，它的面积为，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
十三届全国人大四次会议月日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产．
在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，．
求批次芯片的次品率；
第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率百分号前保留两位小数．
已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人．求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：．
16.本小题分
已知数列满足，．
证明：是等比数列；
设，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，，．
证明：；
若点在底面内的正投影为的中点．
当为何值时，平面与平面夹角的余弦值最大？
设平面与交于点，在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点，在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点；依次类推，，设平面与交于点，求．
18.本小题分
已知动点其中到定点的距离比点到轴的距离大．
求点的轨迹的方程；
过椭圆：的右顶点作直线交曲线于，两点，其中为坐标原点．
求证：；
设，分别与椭圆相交于点，，证明：原点到直线的距离为定值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数在处的切线方程；
令，求函数的极值；
若，正实数，满足，证明：．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：Ⅰ批次芯片的次品率为．
设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
．
个芯片中恰有个不合格的概率．
因此，
令，得．
当时，，
当时，．
所以的最大值点为．
由可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，
故批次的芯片质量优于批次．
由数据可建立列联表如下：单位：人
开机速度满意度 芯片批次 合计
不满意
满意
合计
根据列联表得：
．
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关．
16.解：由已知得，于是，
所以，又，
是首项为，公比为的等比数列．
由知，，
，
，
．
17.证明：连接与交于点，连接，
因为四边形为菱形，所以，
在中，，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以．
因为点在底面投影为，由题意，，两两垂直，
因为，所以，，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，因为，所以．
因为，即，所以，
因为，，
设平面的法向量为，
所以，
令，，，
所以，
而平面的法向量为，
设平面与平面夹角的大小为，
则．
令，
则，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
所以，当，时，取最大值；
(ⅱ)因为，，，共面，故存在实数，使得，
因此，
设，
则，则，
由坐标分量对应相等，化简整理得．
在平面内，因为，
设，则，
类比前面推导过程，可得，
将上式取倒数可得，
所以为以为首项、为公差的等差数列，
所以，
所以．
18.解：设，
由题意，，
两边平方，整理得：，
所求点的轨迹方程为：．
证明：设过椭圆的右顶点的直线的方程为，
代入抛物线方程，得，，
设、，
则
，
即，
；
设、，
直线的方程为，代入，
得，，
于是，，
从而，
，
，即，
代入整理得，
原点到直线的距离为定值．
19.解：当时，，则，所以切点为，
又，则切线斜率，
故切线方程为：，即；
，
，
当时，易知在上是单调递增函数，因为，所以，
在上单调递增，无极值；
当时，，
令，得或，由于，所以，
当时，，当时，，
函数在是增函数，在是减函数，
当时，函数的递增区间是，递减区间是，
当 时，取得极大值，
综上，当 时，函数无极值；
当时，函数有极大值，无极小值；
证明：若，．
由，，即，
由题意则有，
，
令，且令，
则，
由，得，，，
可知，在区间 上单调递减，在区间上单调递增，
，
，
解得或，
又因为，，
因此成立．