山西太原市新力惠中学校2025-2026学年第二学期周测一高二数学试卷（含答案）

2025-2026 学年度第二学期周测一 高二数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导结果正确的是( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 的部分图象如图所示,其导函数为 ,则( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知函数 的定义域为 ,且图象如图所示,则不等式 的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知函数 在 处可导,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 在 上可导,其部分图象如图所示,则下列不等式正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
6. 若曲线 在点 处的切线方程为 ,则曲线 在点 处的切线斜率为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 10
7. 定义在 上的函数 的导函数为 ,若 ,则 的解集为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的函数 ,其导函数为 ,且 ,则( )
A. B.
C. e D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 已知 ,则( )
A. 是 的极大值点 B. 在 上单调递增
C. 的所有零点之和为 0 D. 直线 是 的切线
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 是 上的增函数
B. 的对称中心为
C. 若函数 有极值,则 或
D. 若对任意的 ，都有 ，则 的最大值为 40
11. 1715 年英国数学家布鲁克·泰勒在他的著作中陈述了泰勒公式, 如果满足一定的条件, 泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数. 泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数, 使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具,例如: , ,其中 . 则 ( )
A.
B.
C. 当 时,函数 值域为
D. 当函数 的图象恒过定点 时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知 满足 ，则 在 处的导数为_____.
13. 已知函数 在 处有极大值,则 _____.
14. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 与函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 求曲线 与曲线 在公共点处的公切线方程.
16. 已知函数 在 处取得极值.
(1)求实数 的值；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
17. 已知函数 .
(1)若 在点 处的切线方程为 ,求 的值;
(2)求 的单调区间.
18. 已知函数 有两个极值点.
(1)求实数 的取值范围；
(2)记两个极值点分别为 ， ，证明: .
19. 已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)讨论 的单调性.
2025-2026 学年度第二学期周测一 高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B B D D B BCD ACD
题号 11
答案 ACD
12. 13. 6 14.
8. 解: 令函数 ,则 ,函数 在 上单调递增, 则 ,即 ,所以 .
11. 解: 对于 ,因为 ,令 ,
可得 .
根据交错级数的性质,其和小于任意奇数项的部分和,故 , A 正确;
对于 ,因为 .
因为 ,令 ,
可得 ,所以 错误;
对于 ,因为 ,则
当 时, 为增函数,
则其最小值为 ,所以其值域为 正确;
对于 ,因为函数 的图象恒过定点 ,
所以令 ,则 ,所以 ,
又 ,故 ,
而 ,
所以 , D 正确.
15. 解: (1) .
在 点处的切线方程为: ;
(2)设曲线 与曲线 的公切点为 ，
,
令 ,即 ,
或 (舍),
,
所求公切线方程: ,即 .
16. 解: (1) 函数 ,求导得 ,
由 在 处取得极值,得 ,解得 ,
此时 ,当 时, ,当 或 时, ,
即函数 在 处取得极值,所以 .
(2)由(1)知，函数 在(-1,1)上单调递减，在(-0,-1,)，(+-0)上单调递增， 当 时, ,因此 , 不等式 在 上恒成立,则 在 上恒成立, , 所以 的取值范围是 .
17. 解: (1) 因为 ,所以 ,
因为 过点 ,所以 解得 ,
又因为 在点 处的切线方程为 ,
所以 ,
所以 .
(2)因为 ，令 ， 解得 ,
① 当 即 时，
当 时, 为增函数,
当 时, 为减函数,
当 时, 为增函数;
② 当 即 时， ，
在 上为增函数;
③ 当 即 时，
当 时, 为增函数;
当 时, 为减函数;
当 时, 为增函数;
综上: 当 时, 的单调递增区间为 和 ,递减区间为 ; 当 时, 的单调递增区间为 ,无单调递减区间; 当 时, 的单调递增区间为 和 ,递减区间为 .
18. 解: (1) 由题意得, .
因为 有两个极值点,所以方程 有两个不相等的正根,
所以 ,解得 .
检验: 当 时,由 得 或 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
在 上单调递增,满足题意.
所以实数 的取值范围为 .
(2)证明:由(1)知 ，
所以 ,
所以 .
令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增.
因为 ,
所以函数 存在唯一零点 ,即 ,
且当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,
所以当 时, 存在最小值,即 .
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 .
19. 解: (1) 当 时,函数 的定义域为 ,
求导得 ,由 ,得 或 ;
由 ,得 ,
则函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以函数 的极大值为 ,极小值为 .
(2)函数 的定义域为 ,
求导得 ,
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 或 ,
函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 或 ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增.