课时规范练4　基本不等式--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练4　基本不等式
(分值:73分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·河北保定二模)已知x,y是非零实数,则的最小值为(　　)
A.6 B.12 C.2 D.4
2.(2025·广东汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.不存在
3.(2026·吉林长春模拟)若关于x的不等式x2-ax+2<0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(3,+∞) D.(,+∞)
4.(2025·湖南郴州模拟)已知x<-1,则4x+的最大值为(　　)
A.-4 B.0 C.4 D.-8
5.(2026·江苏南通模拟)旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一,出行中小胡有两种加油方案:第一种,每次均加a升的燃油;第二种,每次加b元的燃油,则下列说法正确的是(　　)
A.采用第一种方案划算
B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样
D.无法确定
6.(多选题)(2025·浙江衢州模拟)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列结论正确的是(　　)
A.2a·2b=16 B.≤2
C.log2a+log2b≥2 D.≥1
7.(多选题)(2026·湖南长沙明德中学高三月考)已知a>0,b>0,若a+2b=1,则(　　)
A.ab的最小值为
B.的最小值为8
C.a2+b2的最小值为1
D.2a+4b的最小值为2
8.(2026·江西赣州模拟)已知不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
9.(2025·山东泰安模拟)若x,y>0,xy=4x+y+5,则4x+y的最小值为　　　　　.
综 合 提升练
10.(2025·浙江嘉兴模拟)已知x+y=+8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　)
A.5 B.9
C.4+ D.10
11.(2025·河南郑州模拟)已知α∈,则的最大值为(　　)
A.-2 B.-2
C.-3 D.-
12.(多选题)(2025·浙江北斗星盟三模)已知a>0,b>0,则下列说法正确的是(　　)
A.若ab=a+b+3,则ab≥9
B.a2+的最小值为1
C.若a+b=9,则的最小值为8
D.若≤k恒成立,则k的最小值为
13.(2025·安徽合肥模拟)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则的最小值为　　　　　.
创 新 应用练
14.(2025·广东深圳模拟)设max{a,b,c,d}表示a,b,c,d中最大的数,已知x,y均为正数,则max{4x,y,}的最小值为(　　)
A. B.2 C. D.3
参考答案
1.A　解析 2=6,当且仅当,即|y|=|x|时,等号成立,所以的最小值为6.故选A.
2.C　解析 由基本不等式得ab=4,当且仅当a=b=2时取等号.故选C.
3.A　解析 当x∈[1,5]时,不等式x2-ax+2<0 a>x+,
由不等式x2-ax+2<0在区间[1,5]上有解,得不等式a>x+在x∈[1,5]上有解.
而x+2=2,当且仅当x=时取等号,所以x+的最小值为2,
所以a的取值范围是(2,+∞).
故选A.
4.D　解析 因为x<-1,则x+1<0,所以-(x+1)>0,4x+=4(x+1)+-4=-[-4(x+1)+]-4≤-2-4=-4-4=-8,当且仅当-4(x+1)=,即x=-时,等号成立,
所以4x+的最大值为-8.故选D.
5.B　解析 任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.
第一种方案的均价为,当且仅当m=n时取等号;
第二种方案的均价为,因为m+n≥2>0,则,故,当且仅当m=n时取等号.
综上,第一种方案的均价不低于第二种方案的均价(当且仅当m=n时取等号).结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化,此时第二种方案更划算.
故选B.
6.ABD　解析 对于A,2a·2b=2a+b=24=16,故A正确;
对于B,由4=a+b≥2,得2,当且仅当a=b=2时等号成立,故B正确;
对于C,由B可知ab≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,又函数y=log2x为增函数,所以log2a+log2b=log2(ab)≤log24=2,故C错误;
对于D,(a+b)==1,当且仅当,即a=b=2时等号成立,故D正确.故选ABD.
7.BD　解析 由a>0,b>0,且a+2b=1,
对于A,由ab=a·2b)2=,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故A错误;
对于B,由=()(a+2b)=4+4+2=8,当且仅当,即a=,b=时,等号成立,故的最小值为8,故B正确;
对于C,由a+2b=1,可得a=1-2b,则a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1,因为a>0,b>0且a=1-2b,可得0对于D,由2a+4b=2a+22b≥2=2=2,当且仅当2a=22b,即a=,b=时,等号成立,所以2a+4b的最小值为2,故D正确.故选BD.
8.m>0　解析 不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,即m>-(4x+),
因为x>-1,则x+1>0,则4x+=4(x+1)+-4≥2-4=0,
当且仅当4(x+1)=,即x=-时等号成立,则-(4x+)≤0,故m>0.
9.20　解析 4xy=4(4x+y+5),当且仅当4x=y,即x=,y=10时取等号,即(4x+y)2-16(4x+y)-80≥0,即(4x+y-20)(4x+y+4)≥0,因为x,y>0,所以4x+y≥20,所以4x+y的最小值为20.
10.B　解析 由x+y=+8(x,y>0),得x+y-8=,
则(x+y-8)(x+y)=(x+y)=+5≥2+5=9,
当且仅当,即x=3,y=6时等号成立,令x+y=t>0,则t(t-8)≥9,解得t≤-1(舍去)或t≥9,
则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时等号成立,即x+y的最小值为9.
11.B　解析 由,得sin α>0,cos α>0,
所以=--2=-2,
当且仅当,即sin α=,cos α=时等号成立.故选B.
12.AC　解析 对于A,ab=a+b+3≥2+3,当且仅当a=b=3时取等号,即(-3)(+1)≥0,所以3,所以ab≥9,故A正确;
对于B,a2+=(a2+3)+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当a2+3=,即a2+3=2时取等号,显然a的值不存在,故B错误;
对于C,因为a+b=9,所以=4+4+2=8,
当且仅当,即a=6,b=3时取等号,则的最小值为8,故C正确;
对于D,(方法一)因为k恒成立,且a>0,b>0,所以k恒成立,而=1+,
令t=>0,
则1+可化为1+,
令m=>0,则m(1+t2)=4t2+2t,化简得(m-4)t2-2t+m=0,当m=4时,t=,当m≠4时,该一元二次方程一定有实数根,得到(-2)2-4m(m-4)≥0,解得m∈(0,4)∪(4,5],当m=5时,t=
综上,m≤5,故m+1≤6,即6,故,
得到k,则k的最小值为,故D错误.
(方法二)因为k,所以a+2+5b≤k2(a+b),所以(k2-1)a-2+(k2-5)b≥0,所以(k2-1)-2+k2-5≥0对 a>0,b>0恒成立,令x=,则(k2-1)x2-2x+k2-5≥0对 x>0恒成立,当k2-1=0,即k2=1时,(k2-1)x2-2x+k2-5=-2x-4<0,不符合题意,则k2-1>0,则->0,则Δ=20-4(k2-1)(k2-5)≤0,解得k,故D错误.
故选AC.
13　解析 F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,|MF1|+|MF2|=6,所以(|MF1|+|MF2|)=,
当且仅当,即|MF1|=|MF2|=3时取等号,
所以的最小值为
14.D　解析 因为x为正数,所以4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,则max=2.因为y为正数,所以y+2=6,当且仅当y=,即y=3时,等号成立,则max3.
Max{4x,y,}=max{max{4x,},max{y,}}≥3.
故选D.
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