课时规范练5 一元二次方程、不等式--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)
文档属性
| 名称 | 课时规范练5 一元二次方程、不等式--2027全国版高考数学一轮复习(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 322.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-19 00:00:00 | ||
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文档简介
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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练5 一元二次方程、不等式
(分值:78分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·广东东莞模拟)已知集合A={x||x-1|≤1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B=( )
A.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|-1≤x<2}
2.(2025·辽宁辽阳期末)函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
A.(0,8)
B.(-∞,0]∪(8,+∞)
C.[0,8)
D.(8,+∞)
3.(2025·江苏徐州模拟)已知不等式ax2+bx-3>0的解集为{x|x>1或x<-3},则不等式≥0的解集为( )
A.{x|-1B.{x|-2C.{x|-1≤x≤2}
D.{x|x>1或x<-2}
4.(2026·山东青岛模拟)若集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠ ,则实数a的取值范围是( )
A. B.(-∞,0]
C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
5.(多选题)(2026·河南周口高三检测)下列叙述中正确的是( )
A.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则a>0
B.不等式≤0的解集是[-1,3]
C.不等式2x2-5x-3<0的解集是(-,3)
D.不等式|x-1|≥1的解集是(-∞,0]∪[2,+∞)
6.(多选题)(2025·广东广州期末)如图,二次曲线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则( )
A.a>0
B. m∈R,a+b≥am2+bm
C.ax+c>0的解集为{x|x<3}
D.cx2+bx+a<0的解集为
7.(2025·北京朝阳期末)若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则实数k的取值范围是 .
8.(15分)(2025·四川绵阳模拟)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)<0的解集;
(2)若不等式f(x)≥2x-3对一切实数x>1恒成立,求a的取值范围;
(3)解关于x的不等式:f(x)综 合 提升练
9.(2025·江苏宿迁模拟)若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则实数x的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
10.(2025·江苏镇江模拟)当x∈(-1,1)时,不等式2kx2-kx-<0恒成立,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)(2025·广东汕头模拟)已知不等式f(x)=kx2+(2k-1)x-2,下列说法正确的有( )
A.若k=-,则不等式f(x)>0的解集为
B.若k>0,则不等式f(x)<0的解集为
C.若 x∈R,f(x)+x<0恒成立,则整数k的取值集合为{-1}
D.若恰有两个整数x使得不等式f(x)<0成立,则实数k的取值范围是{k|k≥1}
12.(2025·天津,15)已知a,b∈R,若对任意的x∈[-2,2],(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为 .
创 新 应用练
13.若关于x的不等式(m-3)x2-2mx-8>0的解集是一个开区间,且区间的长度L满足L∈[1,2],则实数m的取值范围是 .(注:开区间(a,b)的长度L=b-a)
参考答案
1.C 解析 根据题意|x-1|≤1 -1≤x-1≤1 0≤x≤2,则A={x|0≤x≤2},x2-x-2=(x+1)(x-2)<0 -12.C 解析 由条件知ax2-ax+2>0恒成立.当a=0时,符合题意;
当a≠0时,需满足解得0综上,a∈[0,8).故选C.
3.A 解析 由题意知a>0,且-3,1为方程ax2+bx-3=0的两根,
所以解得则不等式0可化为
解得-14.D 解析 因为集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠ ,所以x2+x+a≤0在x∈N*时有解,则a≤-x2-x在x∈N*时有解,令f(x)=-x2-x,由二次函数性质得f(x)在[1,+∞)上单调递减,
可得f(x)max=-1-1=-2,所以a∈(-∞,-2].故选D.
5.ACD 解析 若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),说明二次函数y=ax2+bx+c开口向上,即a>0,故A正确;
不等式0等价于(x-3)(x+1)≤0且x+1≠0,解得-1解不等式2x2-5x-3<0,令2x2-5x-3=0,得x=-或x=3;函数y=2x2-5x-3的图象开口向上,故解集为(-,3),故C正确;
不等式|x-1|≥1等价于x-1≥1或x-1≤-1,解得x≥2或x≤0,故解集为(-∞,0]∪[2,+∞),故D正确.
故选ACD.
6.BCD 解析 由图象开口向下,得a<0,故A不正确;
因为对称轴为直线x=1,故对 m∈R,ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确;
因为图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,
故b=-2a,c=-3a,由a<0,ax+c=ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;
由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,所以3x2+2x-1<0,解得-1所以cx2+bx+a<0的解集为,故D正确.故选BCD.
7.(-∞,1) 解析 当k=0时,由-2x+1<0,解得x>,故k=0符合题意;
当k<0时,此时一定存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,故k<0符合题意;
当k>0时,若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则Δ=4-4k>0,解得0综上可得k的取值范围是(-∞,1).
8.解 (1)由a=-2,可得f(x)=-2x2+3x-4.
又由f(x)=-2x2+3x-4<0,得2x2-3x+4>0.
又Δ=9-4×2×4<0,所以不等式2x2-3x+4>0的解集为R,即f(x)<0的解集为R.
(2)由f(x)=ax2+(1-a)x+a-2≥2x-3对一切实数x>1恒成立,
得(x2-x+1)a≥x-1对 x∈(1,+∞)恒成立.
因为x2-x+1=>0,
所以a
又x>1,
所以,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,所以a的取值范围是
(3)依题意,f(x)当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,
所以不等式的解集为
当a<0时,不等式化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};
②当-11,不等式的解集为;
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为
综上,当a<-1时,原不等式的解集为;
当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};
当a>0时,原不等式的解集为
9.D 解析 不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得当0≤p≤4时,[(x-1)p+x2-4x+3]min>0,
令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,可得
解得x<-1或x>3.故选D.
10.A 解析 ①当k=0时,不等式化为-<0,显然恒成立,满足题意;
②当k≠0时,令f(x)=2kx2-kx-,则f(x)<0在(-1,1)上恒成立,函数f(x)图象的对称轴为直线x=,
当k>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,
则有解得0当k<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
则有f<0,解得-3综上可知,k的取值范围是
11.ABD 解析 当k≠0时,f(x)=kx2+(2k-1)x-2=(kx-1)(x+2).
若k=-,则f(x)=(-x-1)·(x+2)=-(x+2)2≤0,所以f(x)>0的解集为 ,故A正确;
若k>0,则>-2,f(x)<0的解集为,故B正确;
由f(x)+x<0恒成立,得kx2+2kx-2<0恒成立.
当k≠0时,可得
解得-2所以k=-1,
当k=0时,kx2+2kx-2<0恒成立,满足题意.
综上所述,整数k的取值集合为{-1,0},故C错误;
易知k<0不符合题意,当k>0时,x,若该解集中恰有两个整数解,
则0<1,解得k∈[1,+∞).
综上,实数k的取值范围是[1,+∞),故D正确.
故选ABD.
12.-4 解析 令t=2a+b,则b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0在区间[-2,2]上恒成立,即t(x2+x)≤2ax+a+1在区间[-2,2]上恒成立,所以对 x∈[-2,2],函数y=t(x2+x)的图象总在直线y=2ax+a+1的下方或与直线相切.
函数y=t(x2+x)的图象过点(-1,0)和点(0,0),直线y=2ax+a+1=a(2x+1)+1过定点A(-,1).
讨论t<0时的情况,
当t=-1时,如图1,二次函数y=t(x2+x)=-(x2+x)图象的顶点坐标为(-),存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
当t∈(-1,0)时,随着t逐渐增大,总存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
图1
图2
图3
当t∈(-∞,-1)时,若t逐渐减小,如图2,取临界位置,即二次函数图象与直线相切时,二次函数y=t(x2+x)的图象过点(-,1),此时t=-4,存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立;若t继续减小,如图3,则定点(-,1)在二次函数图象开口的内部,则不存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
综上,tmin=(2a+b)min=-4.
13.(-∞,-15] 解析 据题意得m-3<0,
且Δ=4(m2+8m-24)>0,得3>m>-4+2或m<-4-2,
设(m-3)x2-2mx-8>0等价于(x-x1)(x-x2)<0,
则x1+x2=,x1x2=-,
由1≤|x1-x2|≤2,得12,
即12,化简得12,所以(m-3)2≤4(m2+8m-24)≤4(m-3)2,即解得m≤-15或m
综上,m的取值范围是(-∞,-15]
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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练5 一元二次方程、不等式
(分值:78分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·广东东莞模拟)已知集合A={x||x-1|≤1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B=( )
A.{x|0
2.(2025·辽宁辽阳期末)函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
A.(0,8)
B.(-∞,0]∪(8,+∞)
C.[0,8)
D.(8,+∞)
3.(2025·江苏徐州模拟)已知不等式ax2+bx-3>0的解集为{x|x>1或x<-3},则不等式≥0的解集为( )
A.{x|-1
D.{x|x>1或x<-2}
4.(2026·山东青岛模拟)若集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}≠ ,则实数a的取值范围是( )
A. B.(-∞,0]
C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
5.(多选题)(2026·河南周口高三检测)下列叙述中正确的是( )
A.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则a>0
B.不等式≤0的解集是[-1,3]
C.不等式2x2-5x-3<0的解集是(-,3)
D.不等式|x-1|≥1的解集是(-∞,0]∪[2,+∞)
6.(多选题)(2025·广东广州期末)如图,二次曲线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则( )
A.a>0
B. m∈R,a+b≥am2+bm
C.ax+c>0的解集为{x|x<3}
D.cx2+bx+a<0的解集为
7.(2025·北京朝阳期末)若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则实数k的取值范围是 .
8.(15分)(2025·四川绵阳模拟)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)<0的解集;
(2)若不等式f(x)≥2x-3对一切实数x>1恒成立,求a的取值范围;
(3)解关于x的不等式:f(x)
9.(2025·江苏宿迁模拟)若当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则实数x的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
10.(2025·江苏镇江模拟)当x∈(-1,1)时,不等式2kx2-kx-<0恒成立,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)(2025·广东汕头模拟)已知不等式f(x)=kx2+(2k-1)x-2,下列说法正确的有( )
A.若k=-,则不等式f(x)>0的解集为
B.若k>0,则不等式f(x)<0的解集为
C.若 x∈R,f(x)+x<0恒成立,则整数k的取值集合为{-1}
D.若恰有两个整数x使得不等式f(x)<0成立,则实数k的取值范围是{k|k≥1}
12.(2025·天津,15)已知a,b∈R,若对任意的x∈[-2,2],(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为 .
创 新 应用练
13.若关于x的不等式(m-3)x2-2mx-8>0的解集是一个开区间,且区间的长度L满足L∈[1,2],则实数m的取值范围是 .(注:开区间(a,b)的长度L=b-a)
参考答案
1.C 解析 根据题意|x-1|≤1 -1≤x-1≤1 0≤x≤2,则A={x|0≤x≤2},x2-x-2=(x+1)(x-2)<0 -1
当a≠0时,需满足解得0
3.A 解析 由题意知a>0,且-3,1为方程ax2+bx-3=0的两根,
所以解得则不等式0可化为
解得-1
可得f(x)max=-1-1=-2,所以a∈(-∞,-2].故选D.
5.ACD 解析 若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),说明二次函数y=ax2+bx+c开口向上,即a>0,故A正确;
不等式0等价于(x-3)(x+1)≤0且x+1≠0,解得-1
不等式|x-1|≥1等价于x-1≥1或x-1≤-1,解得x≥2或x≤0,故解集为(-∞,0]∪[2,+∞),故D正确.
故选ACD.
6.BCD 解析 由图象开口向下,得a<0,故A不正确;
因为对称轴为直线x=1,故对 m∈R,ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确;
因为图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,
故b=-2a,c=-3a,由a<0,ax+c=ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;
由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0,又a<0,所以3x2+2x-1<0,解得-1
7.(-∞,1) 解析 当k=0时,由-2x+1<0,解得x>,故k=0符合题意;
当k<0时,此时一定存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,故k<0符合题意;
当k>0时,若存在实数x使得kx2-2x+1<0成立,则Δ=4-4k>0,解得0
8.解 (1)由a=-2,可得f(x)=-2x2+3x-4.
又由f(x)=-2x2+3x-4<0,得2x2-3x+4>0.
又Δ=9-4×2×4<0,所以不等式2x2-3x+4>0的解集为R,即f(x)<0的解集为R.
(2)由f(x)=ax2+(1-a)x+a-2≥2x-3对一切实数x>1恒成立,
得(x2-x+1)a≥x-1对 x∈(1,+∞)恒成立.
因为x2-x+1=>0,
所以a
又x>1,
所以,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,所以a的取值范围是
(3)依题意,f(x)
所以不等式的解集为
当a<0时,不等式化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};
②当-1
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为
综上,当a<-1时,原不等式的解集为;
当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当-1
当a>0时,原不等式的解集为
9.D 解析 不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,
由已知可得当0≤p≤4时,[(x-1)p+x2-4x+3]min>0,
令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,可得
解得x<-1或x>3.故选D.
10.A 解析 ①当k=0时,不等式化为-<0,显然恒成立,满足题意;
②当k≠0时,令f(x)=2kx2-kx-,则f(x)<0在(-1,1)上恒成立,函数f(x)图象的对称轴为直线x=,
当k>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,
则有解得0
则有f<0,解得-3
11.ABD 解析 当k≠0时,f(x)=kx2+(2k-1)x-2=(kx-1)(x+2).
若k=-,则f(x)=(-x-1)·(x+2)=-(x+2)2≤0,所以f(x)>0的解集为 ,故A正确;
若k>0,则>-2,f(x)<0的解集为,故B正确;
由f(x)+x<0恒成立,得kx2+2kx-2<0恒成立.
当k≠0时,可得
解得-2
当k=0时,kx2+2kx-2<0恒成立,满足题意.
综上所述,整数k的取值集合为{-1,0},故C错误;
易知k<0不符合题意,当k>0时,x,若该解集中恰有两个整数解,
则0<1,解得k∈[1,+∞).
综上,实数k的取值范围是[1,+∞),故D正确.
故选ABD.
12.-4 解析 令t=2a+b,则b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0在区间[-2,2]上恒成立,即t(x2+x)≤2ax+a+1在区间[-2,2]上恒成立,所以对 x∈[-2,2],函数y=t(x2+x)的图象总在直线y=2ax+a+1的下方或与直线相切.
函数y=t(x2+x)的图象过点(-1,0)和点(0,0),直线y=2ax+a+1=a(2x+1)+1过定点A(-,1).
讨论t<0时的情况,
当t=-1时,如图1,二次函数y=t(x2+x)=-(x2+x)图象的顶点坐标为(-),存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
当t∈(-1,0)时,随着t逐渐增大,总存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
图1
图2
图3
当t∈(-∞,-1)时,若t逐渐减小,如图2,取临界位置,即二次函数图象与直线相切时,二次函数y=t(x2+x)的图象过点(-,1),此时t=-4,存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立;若t继续减小,如图3,则定点(-,1)在二次函数图象开口的内部,则不存在a对 x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.
综上,tmin=(2a+b)min=-4.
13.(-∞,-15] 解析 据题意得m-3<0,
且Δ=4(m2+8m-24)>0,得3>m>-4+2或m<-4-2,
设(m-3)x2-2mx-8>0等价于(x-x1)(x-x2)<0,
则x1+x2=,x1x2=-,
由1≤|x1-x2|≤2,得12,
即12,化简得12,所以(m-3)2≤4(m2+8m-24)≤4(m-3)2,即解得m≤-15或m
综上,m的取值范围是(-∞,-15]
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