课时规范练9　函数的对称性及应用--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

中小学教育资源及组卷应用平台
2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练9　函数的对称性及应用
(分值:58分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·湘豫名校联盟模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数,若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(4)=(　　)
A.1 B.0 C.-1 D.-2
2.(2025·湖南邵阳二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(2-x)=0,且f(x)在[1,+∞)内单调递增,设a=f(-9),b=f,c=f(log417),则(　　)
A.bC.a3.(2025·四川成都开学考试)已知函数f(x)=ex+e-x+2,则(　　)
A.f(x)的图象关于点(2,0)对称
B.f(x)的图象关于点(-2,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于直线x=-1对称
4.(2025·河北“五个一”名校联盟模拟)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)的图象关于点(0,y0)对称,则(　　)
A.a+2b=0 B.2a+b=0
C.y0= D.y0=
5.(多选题)(2025·辽宁盘锦模拟)已知定义域均为R的函数f(x),g(x)满足f(2-x)+f(x)=2,g(4-x)=g(x),g(2)=3,若f(x)=g(2+x)+4,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.-8为f(x)的一个周期
C.f(2 023)=-1
D.f(k)=16
6.(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)=的图象关于点P对称,则点P的坐标为　　　　　.
7.(2025·广东云浮模拟)已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,当任意x1,x2∈R且x1≠x2时,都有>0成立,则不等式f(-3x)+f(2x+1)>0的解集为　　　　　　.
综 合 提升练
8.(2025·湖南岳阳模拟)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若函数g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　　)
A.22 B.-22 C.-24 D.24
9.(多选题)(2025·广东汕尾模拟)已知函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,且f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),g(2)=1.下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的周期为4
B.f(x)的图象关于直线x=6对称
C.f(x)的图象关于点(3,1)对称
D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=4 050
10.(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且y=f(4+x)为偶函数,y=g(x+4)+1为奇函数,若 x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+1,则f(7)·g(7)=　　　　　.
创 新 应用练
11.(多选题)(2026·广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(-x+1)为奇函数,且f(x)在[0,1]上单调递增,则下列选项正确的是(　　)
A.f(1)=0
B.直线x=2为函数f(x)图象的一条对称轴
C.f(-1)D.函数f(x)在[2,4]上单调递减
参考答案
1.B　解析 根据题意,函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.
因为函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,
所以f(x)+g(2+2-x)=0,
即f(x)+g(4-x)=0,
所以g(4)=-f(0)=0.故选B.
2.A　解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(2-x)=0,
所以f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以a=f(-9)=f(11),因为<2又f(x)在[1,+∞)内单调递增,
所以b3.C　解析 对于A,因为f(x)+f(4-x)=ex+e-x+2+e4-x+ex-2≠0,所以A错误;
对于B,因为f(x)+f(-4-x)=ex+e-x+2+e-4-x+ex+6≠0,所以B错误;
对于C,由f(x)-f(2-x)=ex+e-x+2-(e2-x+ex)=0,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以C正确;
对于D,因为f(0)=1+e2≠f(-2)=e-2+e4,所以D错误.故选C.
4.B　解析 因为f(x)的图象关于点(0,y0)对称,所以f(x)+f(-x)=2y0①,
令x=0,可得f(0)+f(0)=2y0,所以y0=f(0)=-a2b.
由①可得(x-a)2(x-b)+(-x-a)2(-x-b)=-2a2b,
化简得-(4a+2b)x2=0,要使该等式恒成立,则2a+b=0.故选B.
5.ABD　解析 因为f(x)=g(2+x)+4,所以f(-x)=g(2-x)+4,又g(4-x)=g(x),所以g(2+x)=g(2-x),所以f(x)=f(-x),所以f(x)的图象关于y轴对称,故A正确;
又因为f(2-x)+f(x)=2,所以f(-x)+f(2+x)=2,所以f(x)+f(2+x)=2,即f(2+x)=2-f(x),所以f(4+x)=f[2+(2+x)]=2-f(2+x)=2-[2-f(x)]=f(x),所以f(x)的周期T=4,故B正确;
在f(x)+f(2-x)=2中,令x=1,得f(1)=1,所以f(2 023)=f(3)=f(-1)=f(1)=1,故C错误;
因为g(2)=3,所以f(0)=g(2)+4=7,所以f(4)=7,所以f(2)=2-f(0)=-5,f(3)=f(-1)=f(1)=1,故f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×5+f(1)+f(2)=(1-5+1+7)×5+1-5=16,故D正确.故选ABD.
6　解析 令9-3x≠0,解得x≠2,所以f(x)的定义域为{x|x≠2},
又f(2+x)+f(2-x)=,所以函数f(x)的图象关于点P对称.
7.(-∞,-1)　解析 当任意x1,x2∈R,且x1≠x2时,都有>0成立,则f(x)在R上单调递增.
又f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.
由不等式f(-3x)+f(2x+1)>0,可得-3x+2x+1>2,解得x<-1,
故不等式f(-3x)+f(2x+1)>0的解集为(-∞,-1).
8.C　解析 因为函数g(x)的图象关于直线x=2对称,
所以g(2-x)=g(x+2).
因为g(x)-f(x-4)=7,
所以g(x+2)-f(x-2)=7,
即g(x+2)=7+f(x-2).
因为f(x)+g(2-x)=5,
所以f(x)+g(x+2)=5,
代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,
即f(x)+f(x-2)=-2,
所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10,f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10.
因为f(x)+g(2-x)=5,
所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1,
所以f(2)=-2-f(0)=-3.
因为g(x)-f(x-4)=7,
所以g(x+4)-f(x)=7.
又因为f(x)+g(2-x)=5,
联立得g(2-x)+g(x+4)=12,
所以函数g(x)的图象关于点(3,6)中心对称.
因为函数g(x)的定义域为R,
所以g(3)=6.
因为f(x)+g(x+2)=5,
所以f(1)=5-g(3)=-1,
所以f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+…+f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=-1-3-10-10=-24.故选C.
9.ABD　解析 由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,得g(x)=2-f(-x+2),g(x-1)=f(x+3)-2,将x替换为x+1,则有g(x)=f(x+4)-2,故f(x+4)-2=2-f(-x+2),则f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)的图象关于点(3,2)对称;
因为f(x+2)=f(-x+2),所以f(x)的图象关于直线x=2对称;
对于A,f(x+2)=f(-x+2)=4-f(x+4),则f(x+2)+f(x+4)=4,
将x替换为x-2,所以f(x)+f(x+2)=4,故f(x)=f(x+4),故f(x)的周期为4,故A正确;
对于B,由f(x+2)=f(-x+2),将x替换为x+4,则f(x+6)=f(-x-2)=f(-x-2+8)=f(-x+6),故f(x)的图象关于直线x=6对称,故B正确;
对于C,f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)的图象关于点(3,2)对称,故C错误;
对于D,由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,g(2)=1,f(x)周期为4,令x=2,则f(0)+g(2)=2,f(0)=f(4)=1,令x=3,则f(6)-g(2)=2,f(6)=f(2)=3,由f(x+4)+f(-x+2)=4,令x=-1,则f(3)=2,
又f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(3)=f(1)=2,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=506×8+f(2 025)=4 048+f(1)=4 050,故D正确.
故选ABD.
10.621　解析 由y=f(4+x)为偶函数,得f(4-x)=f(4+x),
又y=g(x+4)+1为奇函数,
所以g(-x+4)+1=-[g(x+4)+1],
即g(4-x)+g(4+x)=-2.
因为f(x)+g(x)=x2+1,所以
则g(4-x)-g(4+x)=-16x,
又g(4-x)+g(4+x)=-2,解得g(4+x)=8x-1,即g(x)=8x-33,
所以g(7)=8×7-33=23,
又f(7)+g(7)=72+1=50,
所以f(7)=50-g(7)=50-23=27,
所以f(7)·g(7)=23×27=621.
11.ABD　解析 因为f(-x+1)为奇函数,则f(-x+1)+f(x+1)=0,
令x=0,得2f(1)=0,可得f(1)=0,故A正确;
因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),
即直线x=2为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确;
由f(-x+1)+f(x+1)=0,得到f(-x+1)=-f(x+1),
则f(-x+2)=-f(x),而f(x+2)=f(-x+2),即f(x+2)=-f(x),
可得-f(x+2)=f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
得到f(x)是周期为4的周期函数,由周期性可得f(-1)=f(3),故C错误;
由f(-x+1)+f(x+1)=0,得点(1,0)为f(x)图象的一个对称中心,
又f(x)在[0,1]上单调递增,由中心对称性可得f(x)在[1,2]上单调递增,
由轴对称性可得f(x)在[2,3]上单调递减,
由中心对称性可得f(x)在[-1,0]上单调递减,由周期性可得f(x)在[3,4]上单调递减,
则函数f(x)在[2,4]上单调递减,故D正确.
故选ABD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)