课时规范练15　函数与方程--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练15　函数与方程
(分值:71分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·安徽滁州二模)函数f(x)=所有零点之和为(　　)
A.-4 B.-3 C.0 D.1
2.(2025·河北沧州二模)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
3.(2025·贵州遵义模拟)已知函数f(x)=x2-2x+b在区间(2,3)内有唯一零点,则实数b的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.(-∞,-3)
C.(0,+∞) D.(-3,0)
4.(2025·内蒙古赤峰三模)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,3] B.[0,3]
C.(-1,0] D.(3,+∞)∪{-1}
5.(2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)=x+2x-2的零点在区间(n,n+1)内,且n∈Z,则n的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.(2025·云南临沧模拟)在用二分法求方程的近似解的过程中,已确定方程x3=3x-1的一个解x0∈(0,1),则在经过两次计算后,x0所在的开区间为　　　　　.
7.(2025·山东威海模拟)若f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且3f(x)+g(x)=x2+12x+3,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为　　　　　.
8.(2025·湖北武汉模拟)函数f(x)=2|cos x|-x的零点个数为　　　　　.
9.(2025·上海宝山模拟)若函数f(x)=2x(x+a)-1在区间(0,1)内有零点,则实数a的取值范围是　　　　　.
综 合 提升练
10.(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)=2x+x-2,g(x)=log2x+x-2,h(x)=x3+x-2的零点分别为a,b,c,则(　　)
A.cC.b11.(2025·江西萍乡模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]=3,[-3.14]=-4,则函数f(x)=[x]-x+cos x在区间[-π,π]上的零点个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
12.(2025·湖南邵阳三模)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为8,g(x)的周期为4,且f(x)是奇函数.当x∈(0,4]时,f(x)=,g(x)=若在区间(0,18]上,函数φ(x)=f(x)-g(x)恰有8个零点,则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
13.(2025·浙江金华期中)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6,6]内的零点个数为　　　　　.
创 新 应用练
14.(多选题)(2025·广东中山模拟)已知定义在R上的函数φ(x),其图象是一条连续不断的曲线.若存在常数m(m∈R)使得mφ(x)+φ(x+m)=0对任意实数x都成立,我们称φ(x)是R上的“m相伴函数”.下列关于“m相伴函数”的结论正确的是(　　)
A.常数函数均是“-1相伴函数”
B.存在常数m,使φ(x)=x2是“m相伴函数”
C.“2 024相伴函数”至少有一个零点
D.“-2 024相伴函数”至少有一个零点
参考答案
1.C　解析 由
可得x=-1,或x=-3,或x=1,或x=3,故函数的零点之和为0.故选C.
2.B　解析 因为y=2x与y=ln x-1均在定义域上单调递增,所以f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)内单调递增.
又f+ln-1=-1-ln 2<0,f(1)=2+ln 1-1=1>0,则f()f(1)<0,又f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以函数f(x)的零点所在区间是故选B.
3.D　解析 函数f(x)=x2-2x+b在(1,+∞)内单调递增,
由函数f(x)在(2,3)内有唯一零点,得解得-34.A　解析 作出函数f(x)的大致图象如图所示.
若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,
即函数y=f(x)与y=a的图象有3个交点,f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1(x≤0),当x=0时,f(x)=3,当x=-2时,f(x)=-1,结合图象可得-15.B　解析 因为函数f(x)=x+2x-2的定义域为R,函数y=x-2与y=2x均在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,又f(0)=-1<0,f(1)=1>0,即f(0)f(1)<0,又f(x)的图象在[0,1]上是一条连续不断的曲线,
所以由零点存在定理可得,f(x)的零点所在区间为(0,1),所以n=0.故选B.
6　解析 令f(x)=x3-3x+1,可知f(0)>0,f(1)<0,
且f=-<0,故函数零点位于,又f>0,
所以x0所在的开区间为
7.2　解析 由已知可得,3f(-x)+g(-x)=x2-12x+3.
又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以有-3f(x)+g(x)=x2-12x+3.
又3f(x)+g(x)=x2+12x+3,
两式相加化简可得g(x)=x2+3,两式相减化简可得f(x)=4x.
所以h(x)=f(x)-g(x)=4x-x2-3=-(x2-4x+3).
令h(x)=0,解-(x2-4x+3)=0,可得x=1或x=3.所以函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为2.
8.4　解析 令f(x)=0,得x=0,或2|cos x|=设y1=2|cos x|,y2=,在平面直角坐标系中先画出y=2cos x的部分图象,保留x轴上方部分的图象,并把x轴下方的图象向上翻折,即得y1=2|cos x|的部分图象,再作出y2=的图象,如图所示,由图可知两者共有3个交点.
综上,函数f(x)共有4个零点.
9　解析 由f(x)=2x(x+a)-1=0,可得=x+a,
则函数f(x)=2x(x+a)-1在区间(0,1)内有零点等价于函数g(x)=与h(x)=x+a的图象在区间(0,1)内有交点,因为g(x)=在区间(0,1)内为减函数,h(x)=x+a在区间(0,1)内为增函数,如图所示.
由图知,需使
即解得-故实数a的取值范围为
10.B　解析 (方法一)因为f(a)=2a+a-2=0,所以2a=-a+2,所以a即为函数y=2x的图象与直线y=-x+2图象交点的横坐标.同理,b,c分别为直线y=-x+2与函数y=log2x,y=x3图象交点的横坐标,在同一坐标系中画出四个函数的大致图象,数形结合可得a(方法二)因为函数y=2x,y=log2x,y=x3,y=x-2都是增函数,
所以函数f(x)=2x+x-2,g(x)=log2x+x-2,h(x)=x3+x-2都是增函数,且图象都是连续不断的曲线.
因为f(0)=20+0-2=-1<0,f(1)=21+1-2=1>0,即f(0)f(1)<0,
所以f(x)在(0,1)内存在唯一零点,即a∈(0,1).
因为g(1)=log21+1-2=-1<0,g(2)=log22+2-2=1>0,
即g(1)g(2)<0,
所以g(x)在(1,2)内存在唯一零点,
即b∈(1,2).
令h(x)=0,即x3+x-2=0,即(x2+x+2)(x-1)=0,解得x=1,即c=1.
综上,a11.A　解析 由f(x)=0,得cos x=x-[x],令函数g(x)=cos x与h(x)=x-[x],
依题意,所求问题即为函数y=g(x)与y=h(x)在[-π,π]上的交点个数,
在同一坐标系内作出函数y=g(x)与y=h(x)在[-π,π]上的图象,
观察图象得函数y=g(x)与y=h(x)在[-π,π]上的图象有2个交点,
所以函数f(x)在区间[-π,π]上的零点个数为2.故选A.
12.C　解析 当x∈(0,4]时,令y=,即(x-2)2+y2=4,且y≥0,故f(x)在(0,4]上的图象是以(2,0)为圆心,2为半径的半圆(不包含点(0,0)),又f(x)的周期为8,当直线y=k(x+2)过点(2,2)时,k=
当k=时,在同一坐标系中作出f(x),g(x)在区间(0,18]上的大致图象如图,恰有8个交点,
当直线y=k(x+2)与半圆(x-2)2+y2=4(y≥0)相切时,=2,
所以=1,可得k=±,结合图知k=,当直线y=k(x+2)过点(2,2)时,此直线在(0,2]上与半圆(x-2)2+y2=4(y≥0)恰有两个交点,直线y=-1与半圆(x-6)2+y2=4(y≤0)在(6,8]上只有一个交点,由图知要满足题意,实数k的取值范围是故选C.
13.12　解析 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数y=f(x)(x∈R)是周期为2的函数.因为当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,所以作出y=f(x)的图象如图所示.再作出函数g(x)=的图象,
容易得出两个函数的图象在[-6,6]上的交点为12个,即函数h(x)在区间[-6,6]内有12个零点.
14.AC　解析 对于A,设φ(x)=a,a∈R,则φ(x+m)=a,当m=-1时,满足ma+a=0,则φ(x)=a,a∈R是“-1相伴函数”,故A正确;
对于B,当φ(x)=x2时,mx2+(x+m)2=0对任意x∈R都成立,化为(m+1)x2+2mx+m2=0,
则有无解,则φ(x)=x2不是“m相伴函数”,故B错误;
对于C,若2 024φ(x)+φ(x+2 024)=0,令x=0,则φ(2 024)=-2 024φ(0),
当φ(0)=0时,φ(x)=0有实根0,当φ(0)≠0时,φ(0)·φ(2 024)=-2 024[φ(0)]2<0,
根据函数零点存在定理知,φ(x)=0在区间(0,2 024)内必有实根,所以“2 024相伴函数”至少有一个零点,故C正确;
对于D,-2 024φ(x)+φ(x-2 024)=0,当x=b∈R时,φ(b-2 024)=2 024φ(b),
若φ(b)≠0,则φ(b)·φ(b-2 024)=2 024[φ(b)]2>0,不能判定方程在[b-2 024,b)内有根,
根据实数b的任意性,不能确定φ(x)在R上有无零点,故D错误.故选AC.
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