课时规范练17　导数的概念及其意义、导数的运算--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练17　导数的概念及其意义、导数的运算
(分值:72分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·山东临沂期中)已知f(x)=(x+1)4,若f'(x0)=,则x0=(　　)
A.-1 B.1 C.3 D.4
2.(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(　　)
A.y=2x+1 B.y=3x+1
C.y=2x D.y=3x
3.(2025·江苏苏北七市三模)已知函数f(x)=x3-3ax-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,则a=(　　)
A.-3 B.-1 C.0 D.1
4.(2025·海南海口模拟)函数f(x)=f'(1)x2+在x=1时的瞬时变化率是(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
5.(多选题)(2025·江西南昌模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　)
A.f'(3)<0
B.f'(-1)>0
C.f(-1)-f'(-1)>0
D.f(3)-3f'(3)>0
6.(2025·河北沧州期末)已知f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)=ln x,则f(x)=　　　　　.(写出一个符合条件的即可)
7.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则=　　　　　.
8.(2025·北京高二期中)曲线y=xln x的一条切线斜率为0,则该切线的切点坐标为　　　　　.
9.(2025·河北秦皇岛模拟)奇函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x-2,则它在x=-1处的切线方程为　　　　　.
综 合 提升练
10.(2025·四川攀枝花模拟)已知A,B分别为曲线y=ex+x+1和直线y=2x-3上的点,则|AB|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
11.(多选题)(2026·湖北襄阳模拟)若函数y=f(x)的图象上至少存在两个不同的点P,Q,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线垂直,则称函数y=f(x)为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是(　　)
A.y=(x+2)2 B.y=e3x
C.y=xln x D.y=sin 2x
12.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)已知函数f(x)=x3+2x,过点P(1,3)作曲线y=f(x)的切线,则此切线的方程为　　　　　　　.
创 新 应用练
13.(2025·河南周口二模)将曲线f(x)=ln绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则tan α=(　　)
A.- B.- C.-2e D.-e
14.(2025·山东聊城二模)过函数图象上一点,垂直于函数图象在该点处的切线的直线,称为函数图象在该点处的“法线”.若一条直线同时是两个函数图象的法线,该直线称为两个函数图象的“公法线”.函数y=与函数y=1+ex+1的图象的“公法线”方程为　　　　　　　　.
参考答案
1.A　解析 由f(x)=(x+1)4,得f'(x)=4(x+1)3=2(x+1)3,
所以f'(x0)=2(x0+1)3=,解得x0=-1.故选A.
2.B　解析 由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f(0)=1,f'(0)=3,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1.故选B.
3.D　解析 因为f'(x)=3x2-3a,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以k=f'(1)=3-3a=0,解得a=1.故选D.
4.A　解析 f'(x)=2f'(1)x+=2f'(1)x+,令x=1,可得f'(1)=2f'(1)+2,解得f'(1)=-2.故选A.
5.AC　解析 由题图知f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0,即f'(3)<0,故A正确;
f'(-1)表示f(x)的图象在点A处的切线斜率,故f'(-1)<0,故B错误;
由题图可知f(-1)>0,f'(-1)<0,故f(-1)-f'(-1)>0,故C正确;
直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率,即6.x·ln x-x(答案不唯一,只要符合x·ln x-x+c,c为常数,均可)　解析 因为(xln x)'=ln x+1,
所以依题意f'(x)=ln x,所以f(x)=x·ln x-x+c,c为常数.
7.-1　解析 因为函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,所以函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率为-1,=f'(5)=-1.
8.(,-)　解析 求导得y'=1+ln x,由曲线y=xln x的一条切线斜率为0,则y'=1+ln x=0 x=,又当x=时,y=ln =-,故该切线的切点坐标为(,-).
9.y=x+2　解析 奇函数y=f(x)的图象过点(1,-1),则它的图象也过点(-1,1).因为奇函数的图象关于原点中心对称,所以y=f(x)的图象在x=1处的切线斜率与它的图象在x=-1处的切线斜率相等,所以它的图象在x=-1处的切线方程为y=1×(x+1)+1=x+2.
10.A　解析 令f(x)=(ex+x+1)-(2x-3)=ex-x+4,
因为ex≥x+1(证明略),则f(x)=ex-x+4≥x+1-x+4=5,故曲线y=ex+x+1和直线y=2x-3无交点,
由y=ex+x+1,得y'=ex+1,令y'=ex+1=2,解得x=0,
则曲线y=ex+x+1上的点(0,2)到直线y=2x-3的距离,
则|AB|的最小值为故选A.
11.ACD　解析 由y=(x+2)2可知,y'=2x+4,则存在x1=0,x2=-,
使(2x1+4)(2x2+4)=-1成立,A正确;
由y=e3x可知,y'=3e3x>0,不存在x1,x2,使9=-1成立,B错误;
由y=xln x可知,y'=ln x+1,则存在x1=1,x2=e-2,使得(ln x1+1)(ln x2+1)=-1成立,C正确;
由y=sin 2x可知,y'=2cos 2x,则存在x1=,x2=,使4cos 2x1cos 2x2=-1成立,D正确.
故选ACD.
12.5x-y-2=0或11x-4y+1=0
解析 因为f'(x)=3x2+2.
当点P为切点时,切线的斜率为f'(1)=5,切线方程为y-3=5(x-1),即5x-y-2=0;
当点P不为切点时,设切点坐标为(x0,y0),
切线的斜率为k=f'(x0)=3+2,则切线方程为y-y0=(3+2)(x-x0).
因为切线过点P(1,3),且y0=+2x0,
所以3-(+2x0)=(3+2)(1-x0),整理得(x0-1)(2-x0-1)=0,
解得x0=-或x0=1(舍去),则y0=(-)3+2×(-)=-,
所以切点坐标为(-,-),切线的斜率为k=,
所以切线方程为y+(x+),即11x-4y+1=0,
所以所求切线的方程为5x-y-2=0或11x-4y+1=0.
13.D　解析 根据题意,曲线f(x)=ln绕原点逆时针旋转角α后第一次与y轴相切,则y=tanx是曲线f(x)=ln过原点的切线.
设切点坐标为(x0,-ln x0),
又由f'(x)=-,即切点处切线的斜率满足tan=-把切点坐标代入方程y=tanx,
得-ln x0=-x0,解得x0=e,
故tan=-,
所以=-,故tan α=-e.故选D.
14.x+y-1=0　解析 由y=求导得y'=,则函数y=图象上除了点(0,0),(2,0)外法线斜率为-,
则曲线y=在点(a,)(0易知曲线y=在点(0,0),(2,0)处的法线方程y=0也满足此方程.
由y=1+ex+1求导得y'=ex+1,则函数y=1+ex+1图象上法线的斜率为-,则曲线y=1+ex+1在点(b,1+eb+1)处的法线方程为y-(1+eb+1)=-(x-b),
由“公法线”,得-=-+1+eb+1,解得a=,b=-1,
所以“公法线”方程为x+y-1=0.
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