课时规范练18　利用导数研究函数的单调性--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练18　利用导数研究函数的单调性
(分值:81分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·广西南宁模拟)函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是(　　)
A.(-,+∞) B.(-2,+∞)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
2.(2025·广东潮州模拟)若函数f(x)=ax+cos x在(-∞,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)
3.(2025·四川遂宁模拟)已知函数f(x)=x+cos x,若f(ln x)A.(0,e) B.(0,1)
C.(e,+∞) D.(1,+∞)
4.(2025·河南驻马店模拟)已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(x)是可导函数,g(x)=xf(x).若a=g(),b=g(-),c=g(),则下列选项正确的是(　　)
A.aC.b5.(2026·河南商丘模拟)已知函数f(x)=ax-tan x在[0,]上单调递增,则实数a的最小值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
6.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(,2)内存在单调递增区间,则实数a的取值可以为(　　)
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
7.(2025·甘肃平凉模拟)函数f(x)=x+2cos x(-π8.(15分)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的单调区间.
综 合 提升练
9.已知函数f(x)=e|x|-x2,若a=f(-),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.b>a>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
10.(多选题)(2025·河南南阳一模)若函数f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1,m+4)内的单调函数,则实数m的值可以是 (　　)
A.-5 B.-3 C.3 D.4
11.(13分)(2025·山东九五高中协作体二模节选)已知函数f(x)=ax2+a,讨论f(x)的单调性.
创 新 应用练
12.(多选题)(2025·八省联考,10)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则(　　)
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
参考答案
1.A　解析 函数f(x)=(x+1)e2x的定义域为R,f'(x)=e2x+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x,令f'(x)>0,解得x>-,所以函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是(-,+∞).故选A.
2.A　解析 由f(x)=ax+cos x,
则f'(x)=a-sin x.
因为函数f(x)=ax+cos x在(-∞,+∞)内单调递增,所以f'(x)=a-sin x≥0在(-∞,+∞)内恒成立,则a≥sin x在(-∞,+∞)内恒成立.
因为y=sin x在(-∞,+∞)内的最大值为1,所以a≥1.故选A.
3.A　解析 因为f(x)=x+cos x,所以f'(x)=1-sin x≥0,
所以函数y=f(x)在R上单调递增,
所以f(1)>f(ln x),等价于
解得0故实数x的取值范围是(0,e).故选A.
4.C　解析 因为奇函数f(x)在R上单调递增,所以当x>0时,f(x)>0,且f'(x)≥0,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是偶函数,g(-)=g().
当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增.因为0<<1<,所以g()5.C　解析 函数f(x)=ax-tan x,求导得f'(x)=a-=a-,
由函数f(x)在[0,]上单调递增,得当x∈[0,]时,f'(x)≥0,即a恒成立,
而当x∈[0,]时,cos2x≤1,即12,所以a≥2,
所以实数a的最小值为2.故选C.
6.CD　解析 f'(x)=+2ax=,
因为函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(,2)内存在单调递增区间,
所以2ax2+1>0在(,2)内有解,
所以a>-有解,
由于x∈(,2),所以x2∈(,4),故-(-2,-),则实数a的取值范围是(-2,+∞),结合选项可知a=-1,a=0符合题意.故选CD.
7.[](写成(),(],[)同样正确)　解析 因为f(x)=x+2cos x(-π所以f(x)的单调递减区间是[].
8.解 (1)由题意得,当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,定义域为(0,+∞),
则f'(x)=2x+1-
令f'(x)<0,得0令f'(x)>0,得x>所以f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
(2)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-(a-2)-
(ⅰ)当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(ⅱ)当a>0时,令f'(x)<0,即2x-a<0,解得00,即2x-a>0,解得x>所以f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
9.D　解析 函数f(x)的定义域为R.
因为f(-x)=e|-x|-(-x)2=e|x|-x2=f(x),所以f(x)为偶函数,
当x≥0时,f(x)=ex-x2,
所以f'(x)=ex-2x.
令φ(x)=f'(x),则φ'(x)=ex-2,
令φ'(x)<0,解得0≤x令φ'(x)>0,解得x>ln 2,
所以φ(x)在[0,ln 2)内单调递减,在(ln 2,+∞)内单调递增,可得φ(x)≥φ(ln 2)=2(1-ln 2)>0,即f'(x)>0在[0,+∞)内恒成立,所以f(x)在[0,+∞)内单调递增.
令g(x)=,则g'(x)=,所以当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,当00,函数g(x)单调递增,
又e<π<4,所以g(e)>g(π)>g(4),即,所以,所以f()>f()>f()=f(-),即b>c>a.故选D.
10.ACD　解析 f'(x)=-x2+x+2,
令f'(x)=0,即-x2+x+2=0,
解得x=2或x=-1.
当f'(x)>0时,有-1当f'(x)<0时,有x<-1或x>2,函数f(x)单调递减.
因为函数f(x)在区间(m-1,m+4)内是单调函数,所以有以下两种情况:
当(m-1,m+4) (-∞,-1)时,有解得m≤-5,故A正确,B错误;
当(m-1,m+4) (2,+∞)时,有解得m≥3,故C,D正确.
故选ACD.
11.解 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=+ax=x(a-).
若a≤0,则a-<0恒成立,当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减.
若a>0,令f'(x)=0,解得x=0或x=-ln a.
若00,当0-ln a时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,-ln a)内单调递减,
在(-ln a,+∞)内单调递增;
若a=1,f'(x)=x(1-),
当x∈(-∞,0)时,1-<0,f'(x)=x(1-)>0,
当x∈(0,+∞)时,1->0,f'(x)=x(1-)>0,f'(0)=0,
所以f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增;
若a>1,当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)>0,当x∈(-ln a,0)时,f'(x)<0,
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-ln a)内单调递增,
在(-ln a,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减;
当0当a=1时,f(x)在R上单调递增;
当a>1时,f(x)在(-∞,-ln a)内单调递增,
在(-ln a,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
12.ACD　解析 对于A,令f(x)=sinh x=,则f'(x)=>0恒成立,故双曲正弦函数是增函数,故A正确;对于B,令g(x)=cosh x=,则g'(x)=,由A知,g'(x)为增函数,又g'(0)==0,故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,故B错误;对于C,tanh x==1-,由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,故tanh x=1-是增函数,故C正确;对于D,由C知tanh x=,
则tanh(x+y)====,故tanh(x+y)=,故D正确.
故选ACD.
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