课时规范练19　利用导数研究函数的极值、最值--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练19　利用导数研究函数的极值、最值
(分值:71分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·吉林长春模拟)函数f(x)=x+2cos x在区间[0,]上的最大值为(　　)
A. B.2
C. D.+1
2.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知x=1是函数f(x)=(ax2+3x-3)ex的极值点,则函数f(x)的极小值为(　　)
A.-3 B.-e C.0 D.e
3.(多选题)(2025·海南海口模拟)f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,其导函数f'(x)的图象如图所示,则在区间[a,b]内,下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)有三个极值点
B.函数f(x)的单调递增区间为(x1,x5)
C.函数f(x)的最大值可能为f(x5)
D.函数f(x)的最小值可能为f(a)
4.(2025·上海模拟)已知函数f(x)=ln x-ax-2在区间(1,2)内存在最大值,则实数a的取值范围是　　　　　.
5.(15分)(2025·安徽黄山一模)已知函数f(x)=x2-aln x-a3.
(1)当a=1时,求函数f(x)在上的最值;
(2)若f(x)有极值且极小值大于0,求a的取值范围.
综 合 提升练
6.(2025·河北张家口二模)已知正三棱柱的表面积为6,则当其体积取得最大值时,该三棱柱的高为(　　)
A.3 B. C. D.
7.(2025·江西南昌一模)我们约定:若两个函数的极值点个数相同,并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=ex-ex2+(x-1)2,则下列给出的函数其图象与y=f(x)的图象“相似”的是(　　)
A.y=x2 B.y=-x2
C.y=x3-3x D.y=-x3+3x
8.(2026·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=+ln x-x-m,g(x)=-2x3+6x+1,若对任意的x1∈[,1],总存在x2∈[,e2],使得f(x2)≤g(x1),则实数m的取值范围是　　　　　.
9.(15分)(2025·河北石家庄一模)已知函数f(x)=e2x-ax,a∈R.
(1)讨论y=f(x)的极值点个数;
(2)若存在实数b,使得x轴为曲线g(x)=f(x)-b的切线,求b的最大值.
创 新 应用练
10.(2025·山东日照模拟)若定义在D上的函数f(x),对于任意x1,x2,x3∈D,f(x1),f(x2),f(x3)可以作为一个三角形的三条边长,则称f(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=xln x+t是定义在区间上的“三角形函数”,则t的取值范围是 (　　)
A.(2e2+,+∞) B.(2e2+,+∞)
C.(2e+,+∞) D.(e+,+∞)
参考答案
1.C　解析 f'(x)=1-2sin x,x∈[0,],令f'(x)>0,解得0≤x<,令f'(x)<0,解得2.A　解析 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(ax2+2ax+3x)ex,
由x=1是函数f(x)的极值点,得f'(1)=(3a+3)e=0,解得a=-1,
则有函数f(x)=(-x2+3x-3)ex,f'(x)=(-x2+x)ex=-x(x-1)ex,
当x<0或x>1时,f'(x)<0;当00,
所以函数f(x)的极小值为f(0)=-3.故选A.
3.BC　解析 由题目中的图象可知,当a所以函数f(x)的单调递减区间为(a,x1),(x5,b),单调递增区间为(x1,x5),
所以函数f(x)只有两个极值点,A错误;
函数f(x)的单调递增区间为(x1,x5),B正确;
函数f(x)的最大值可能为f(x5),C正确;
因为函数f(x)在[a,x1]上单调递减,则f(x1)4.(,1)　解析 由f(x)=ln x-ax-2,得f'(x)=-a=
当a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递增,不符合题意;
当a>0时,令f'(x)>0,得0所以f(x)在内单调递增,在内单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值,即最大值.因为函数f(x)在区间(1,2)内存在最大值,
所以1<<2,则a
5.解 (1)当a=1时,f(x)=x2-ln x-,则f'(x)=x-,x>0,由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,可得0所以f(x)min=f(1)=0.
因为f(3)=4-ln 3,f=ln 2-,
又4-ln 3-=4+-ln 6>0,
所以f(3)>f,所以f(x)max=f(3),
所以f(x)在区间[,3]上的最大值为4-ln 3,最小值为0.
(2)f'(x)=x-,x>0.
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)内单调递增,无极值;
当a>0时,由f'(x)=0,得x=,
当0当x>时,f'(x)>0,f(x)在(,+∞)内单调递增,
所以当x=时,f(x)有极小值,极小值为f()=a(1-ln a-a2).
由f()=a(1-ln a-a2)>0,得1-ln a-a2>0.
令F(a)=1-ln a-a2,a>0,
则F'(a)=--2a<0,所以函数F(a)在(0,+∞)内单调递减,又F(1)=0,
由F(a)>F(1),得a<1,则0综上,a的取值范围是(0,1).
6.B　解析 设正三棱柱的底面边长为a,高为h,则其表面积S=2a2+3ah=6,得h=,又h>0,所以00,V(a)单调递增,
当27.C　解析 由f(x)=ex-ex2+(x-1)2,得f'(x)=ex-ex+2x-2,则f'(1)=0.令f'(x)=0,则ex=(e-2)x+2.
如图,作出函数y=ex,y=(e-2)x+2的大致图象.
由图可知函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象有两个交点,即函数y=f'(x)有两个零点1,x0,且x0<0.
令f'(x)>0,则x>1或x所以f(x)在(-∞,x0),(1,+∞)内单调递增,在(x0,1)内单调递减,
所以f(x)的极大值点为x0,极小值点为1.
对于A,函数y=x2在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,
所以函数有极小值点,无极大值点,故A不符合题意;
对于B,函数y=-x2在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,
所以函数有极大值点,无极小值点,故B不符合题意;
对于C,y'=3x2-3,当x<-1或x>1时,y'=3x2-3>0,当-1所以函数y=x3-3x的极大值点为-1,极小值点为1,故C符合题意;
对于D,y=-x3+3x=-(x3-3x),则函数y=-x3+3x的极小值点为-1,极大值点为1,故D不符合题意.故选C.
8.[e-,+∞)　解析 由题意得,f(x)min≤g(x)min,
其中f(x)min是f(x)在[,e2]上的最小值,g(x)min是g(x)在[,1]上的最小值.
由f(x)=+ln x-x-m,x∈[,e2],
则f'(x)=-1=,
设h(x)=ex-x,x∈[,e2],
则h'(x)=ex-1>0,
所以函数h(x)在[,e2]上单调递增,则h(x)≥h()=>0,
令f'(x)<0,得x<1,令f'(x)>0,得1所以函数f(x)在区间[,1)内单调递减,在区间(1,e2]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=e-1-m.
由g(x)=-2x3+6x+1,x∈[,1],则g'(x)=-6x2+6=-6(x+1)(x-1)≥0,
所以函数g(x)在区间[,1]上单调递增,则g(x)min=g()=,由f(x)min≤g(x)min,得e-1-m,即m≥e-,
所以m的取值范围是[e-,+∞).
9.解 (1)由题意得f'(x)=2e2x-a.
若a≤0,则f'(x)>0,y=f(x)在R上单调递增,无极值点;
若a>0,令2e2x-a=0,得x=ln,由于f'(x)=2e2x-a是增函数,所以当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以x=ln是y=f(x)的唯一极小值点.
综上,当a≤0时,y=f(x)无极值点;当a>0时,y=f(x)有唯一极小值点,无极大值点.
(2)设切点为(x0,g(x0)),
由(1)知a>0,因为x轴为曲线y=g(x)的切线,则g'(x0)=0,g(x0)=0,
即
解得
令h(a)=ln,则h'(a)=-(ln)=-ln,
当a∈(0,2)时,h'(a)>0,h(a)单调递增,
当a∈(2,+∞)时,h'(a)<0,h(a)单调递减,故a=2是h(a)=ln的唯一极大值点,
故h(a)≤h(2)=1,所以b的最大值为1.
10.A　解析 由题意知f'(x)=ln x+1,令f'(x)=ln x+1>0,得令f'(x)=ln x+1<0,得故f(x)在()内单调递减,在(,e2)内单调递增,所以f(x)在x=处取得极小值,也是最小值,fln+t=-+t,由f()>0,得t>又fln+t=-+t,f(e2)=e2ln e2+t=2e2+t,故f(x)max=2e2+t,由题意得2f(x)min>f(x)max,即-+2t>2e2+t,解得t>2e2+,又t>,所以t>2e2+故选A.
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