课时规范练21　利用导数证明不等式--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练21　利用导数证明不等式
(分值:62分)
1.(15分)已知函数f(x)=x-ln x-.
(1)求f(x)的最大值;
(2)证明:1+x3+≥3x-f(x).
2.(15分)已知函数f(x)=aex-x2-x.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,证明: x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.
3.(15分)已知函数f(x)=ax2-xln x.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若a=2e,证明:f(x)4.(17分)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=exsin x,g(x)=2ln(x+1)-x.
(1)求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈(0,)时,f(x)>exg(x);
(3)求证:ln(n+1)参考答案
1.(1)解 f(x)=x-ln x-,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1-
令g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1.
当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0恒成立,即g(x)在(0,+∞)内单调递增,所以g(x)>g(0)=1>0,即当x>0时,ex>x.
令f'(x)>0,得01,所以f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以f(x)max=f(1)=1-e.
(2)证明 要证1+x3+3x-f(x),即证x3-2x+1≥ln x.
令h(x)=x-1-ln x,h'(x)=1-
令h'(x)>0,得x>1,令h'(x)<0,得0设φ(x)=x3-3x+2(x>0),则φ'(x)=3x2-3,令φ'(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.
所以当x=1时,φ(x)取得最小值φ(1)=0.
故(*)式成立,从而1+x3+3x-f(x)成立.
2.(1)解 因为f(x)=aex-x2-x,所以f'(x)=aex-x-1,由f(x)在R上单调递增,得f'(x)≥0在R上恒成立,即aex-x-1≥0在R上恒成立,所以a在R上恒成立,令h(x)=,可得h'(x)=,当x>0时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时,函数h(x)取得极大值且为最大值,最大值h(0)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明 当a=1时,f(x)=ex-x2-x,所以f'(x)=ex-x-1,且f(0)=1.
要证f(x)>sin x,只需证f(x)>1.
①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;
②当x=0时,可得f(0)=1且sin 0=0,所以f(0)>sin 0,满足f(x)>sin x;
③当-20,且-x2-x=-(x+1)2+>0,所以f(x)>0,因此f(x)>sin x.
综上, x∈(-2,+∞),都有f(x)>sin x.
3.(1)解 由已知得f'(x)=ax-ln x-1.因为f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以当x>0时,f'(x)≥0,即a恒成立.令h(x)=(x>0),则h'(x)=-,所以当00,当x>1时,h'(x)<0,即h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,因此h(x)max=h(1)=1,所以a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
(2)证明 若a=2e,要证f(x)0),则t'(x)=,所以当01时,t'(x)>0,所以t(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,则t(x)min=t(1)=1,所以ln x+1.令φ(x)=ex-ex(x>0),则φ'(x)=e-ex,所以当00,当x>1时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,所以ex-ex≤0.所以ex-ex4.(1)解 因为f(x)=exsin x,所以f(0)=e0sin 0=0,f'(x)=exsin x+excos x,所以切线斜率为f'(0)=e0sin 0+e0cos 0=1,
所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=1×(x-0),即x-y=0.
(2)证明 因为ex>0,所以f(x)>exg(x)等价于sin x>2ln(x+1)-x.
设t(x)=sin x+x-2ln(x+1),
所以t'(x)=cos x+1-,且t(0)=0,t'(0)=0.
当x∈(0,)时,设q(x)=t'(x)=cos x+1-,则q'(x)=-sin x+因为函数y=-sin x,y=在(0,)内均为减函数,
则q'(x)在(0,)内单调递减,又因为q'(0)=2>0,q'()=-1+<0,所以 x0∈(0,),使得q'(x0)=0,
且当00,当x0此时q(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,)内单调递减,
又q(0)=0,q()=1->0,
所以对任意的x∈(0,),t'(x)=q(x)>0,则t(x)在(0,)内单调递增,
所以t(x)>t(0)=0.
综上,当x∈(0,)时,t(x)>0,
即得sin x>2ln(x+1)-x,
所以f(x)>exg(x).
(3)证明 因为n∈N*,所以0<
接下来证明sin x>ln(x+1),其中x∈(0,).
设m(x)=sin x-ln(x+1),
则m'(x)=cos x-,
设n(x)=m'(x),
则n'(x)=-sin x+
因为函数y=-sin x,y=在(0,)内均单调递减,
则n'(x)=-sin x+在区间(0,)内单调递减,因为n'(0)=1>0,n'()=-1+<0,
所以 x1∈(0,),使得n'(x1)=0,
当00;
当x1所以m'(x)在区间(0,x1)内单调递增,在区间(x1,)内单调递减,
又因为m'(0)=0,m'(x1)>0,m'()=-<0,
所以 x2∈(x1,),使得m'(x2)=0.
当00;当x2所以m(x)在区间(0,x2)内单调递增,在区间(x2,)内单调递减.
因为m(0)=0,m()=1-ln(+1)>0,所以sin x>ln(x+1)在区间(0,)内恒成立.令x=,
所以sin>ln(+1)=ln,
所以sin>ln,sin>ln,sin>ln,…,sin>ln,
所以sin+sin+…+sin>ln+ln+…+ln
对 n∈N*,>0,所以ln>ln,
所以2(sin+sin+…+sin)>2(ln+ln+…+ln)>ln+ln+ln+ln+…+ln+ln=ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln(2n+2)-ln(2n+1)=ln(n+1),所以sin+sin+…+sinln(n+1).
设p(x)=sin x-x(0则p'(x)=cos x-1<0,
则p(x)在区间(0,]上单调递减,
所以p(x)=sin x-x令x=,则sin,
所以sin,sin,sin,…,sin,
所以sin+sin+…+sin(1++…+).
综上,ln(n+1)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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