模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.4×5×6×…×（n－1）×n＝（ ）
A. B.
C.n！－4！ D.
2.如图所示的4个散点图中，最不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ ）
3.（x＋）（x－2）5的展开式中x的系数是（ ）
A.－32 B.152
C.88 D.－272
4.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）＝0.6，则P（0＜ξ＜1）＝（ ）
A.0.4 B.0.3
C.0.2 D.0.1
5.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（ ）
A. B.
C. D.
6.某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关系y＝，可以设一个新的变量z＝，这样y与z之间就是线性关系.下列表格中的数据可以用非线性方程＝0.14x2＋进行拟合，
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
用线性回归的相关知识，可求得的值约为（ ）
A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68
8.如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前30项的和为（ ）
A.680 B.679 C.816 D.815
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A.事件A与B是互斥事件
B.事件A与B是对立事件
C.事件B与C是互斥事件
D.事件B与C相互独立
10.关于（－2x）5的展开式，下列结论正确的是（ ）
A.各二项式系数之和为32
B.各项系数之和为－1
C.存在常数项
D.x3的系数为80
11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字》中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P（A）和P（B），则以下结论正确的是（ ）
A.0＜p2＜＜p1＜1
B.当p1＋p2＝1时，P（A）＞P（B）
C. p1∈（0，1），使得对 p2∈（0，1），都有P（A）＞P（B）
D.当P（A）＝P（B）时，＋p1p2＋＞
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知X～B（5，），则P（≤X≤）＝ .
13.为美化校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有 种不同方案.
14.小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是x，第二个球的号码是y，记ξ＝x＋2y，若公司规定ξ＝9，8，7时，分别为一、二、三等奖，奖金分别为1 000元，500元，200元，其余无奖.则小张玩游戏一次获得奖金的期望为 元.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知（2x＋）n的展开式中，所有二项式系数的和为32.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的系数为－1，求a的值.
16.（本小题满分15分）每年9月第三个公休日是全国科普日.某校为迎接2024年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数.
（1）求该选手恰好选中1道“智慧生活题”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望.
17.（本小题满分15分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元）、网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”.
网购人群 类别 性别 合计
男 女
网购迷 20
非网购迷 45
合计 100
附：χ2＝.
α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（本小题满分17分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2024年连续六个月（5～10月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋，并据此预测该公司2024年12月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？（用频率估计概率）
使用 寿命 材料 类型 1个月 2个月 3个月 4个月 合计
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100
参考数据：＝91，xiyi＝371.
19.（本小题满分17分）若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.设（ξ，η）的一切可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记pij表示（ai，bj）在Ω中出现的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则（ξ，η）是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值；
②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果用m，n表示）；
（2）P（ξ＝ai）称为二维离散型随机变量（ξ，η）关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P（ξ＝ai）＝pij.
2 / 5参考答案与详解
章末检测（六） 计数原理
1.C 要想通电，则需满足电路通畅，则并联电路中，至少有一个键闭合，利用分步乘法计数原理，可得共有2×3＝6种方法.故选C.
2.B 因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故＋1＝4，即n＝6.
3.D 完成这件事需要分三步：第一步：确定百位数，有6种方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120（个）三位数，所以这个数列的项数为120.故选D.
4.D 由＝m（m－1）（m－2）（m－3）＝18·，且m≥4，m∈N*，得m－3＝3，m＝6.
5.B 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；第二步，从6名女选手中选出2名且与已选好的男选手配对，有种.故有种.
6.B 由（x2＋3x＋2）5＝（x＋1）5（x＋2）5，知（x＋1）5的展开式中x的系数为，常数项为1，（x＋2）5的展开式中x的系数为·24，常数项为25.因此原式中x的系数为·25＋·24＝240.
7.C ∵x6＝[（x－2）＋2]6＝（x－2）6＋（x－2）5·2＋（x－2）4·22＋（x－2）3·23＋（x－2）2·24＋（x－2）1·25＋·26，∴a2＝·24＝240.故选C.
8.D 因为n＝－10＋102－103＋…＋1010＝（1－10）10＝（7＋2）10，而n＝（7＋2）10＝·710＋·79·2＋…＋·7·29＋·210，因此n除以7的余数为·210＝1 024除以7的余数2，而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题意，37除以7的余数为2，即D满足.故选D.
9.AD 对于A，从10人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题.
10.ACD 五个球投入4个不同的盒子里共有45种放法，A选项对，若要放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有·种放法，B选项错，D选项对，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有·种放法，C选项对，故选A、C、D.
11.AB 二项式（x－）8的展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－r（－）r＝（－a）rx8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所以展开式中x2的系数（－a）3＝－7，解得a＝，故A正确；二项式（x－）8即为（x－）8，展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－2r.令8－2r＝6，解得r＝1，所以展开式中含x6项的系数是－＝－4，故B正确；令8－2r＝－1，解得r＝，不为整数，故展开式中不含x－1项，故C错误；令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式中常数项为（－）4＝，故D错误.故选A、B.
12.4 解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得n＝－4（舍去）或n＝4.
13.300 解析：首先电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地举办，且各自承办其中一项有＝2种安排；再次5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则有＋＝150种，故总数为2×150＝300种不同的安排方法.
14.23 解析：因为（1＋2 024x）50的展开式中xk的系数为·2 024k，（2 024－x）50的展开式中xk的系数为2 02450－k（－1）k，所以（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50的展开式中xk的系数为2 024k＋2 02450－k（－1）k＝2 024k[1＋2 02450－2k·（－1）k]，k＝0，1，2，…，50.要使ak＜0，则k为奇数，且2 02450－2k＞1，所以50－2k＞0，则k＜25，则k的最大值为23.
15.解：（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得＝，解得n＝11.
（2）由（1）知，展开式的第r＋1项为Tr＋1＝（）11－r（－）r＝（－2）r，令＝1，得r＝3，此时T3＋1＝（－2）3x＝－1 320x.所以展开式中含x的项的系数为－1 320.
16.解：（1）先将3名女生进行排列，有＝6种情况，再将2名男生插空，有＝12种情况，故2名男同学不相邻，共有6×12＝72种排法.
（2）先将两名男生进行排列，有＝2种情况，再选出1名女生放在男同学中间，有＝3种情况，将两名男同学和这名女同学看成一个整体和剩余的2名女同学进行全排列，共有＝6种情况，故若2名男同学中间必须有1人，共有2×3×6＝36种排法.
17.解：（1）二项式（3x－2y）20的展开式有21项，展开式的通项为Tk＋1＝（3x）20－k（－2y）k，
其二项式系数最大的项为第11项，T11＝·（3x）10·（－2y）10＝·610·x10y10.
（2）设系数绝对值最大的项是第k＋1（k∈N*）项，
则
即解得7≤k≤8，
所以k＝8，系数绝对值最大的项为T9＝·312·28·x12·y8.
18.解：（1）若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有＝24（种），
故甲、乙下地铁的方案共有24种.
（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有＝15（种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：
①甲P4站下，乙下地铁方式有种；②甲P5站下，乙下地铁方式有种；③甲P6站下，乙只能从P7下地铁，共有1种方式，共有＋＋1＝6（种），
依据分类加法计数原理，得15＋6＝21（种），
故甲比乙先下地铁的方案共有21种.
19.解：（1）当n＝3时，f（x）＝（1＋x）4＋2（1＋x）5＋3（1＋x）6，
∴f（x）的展开式中含x3项的系数为＋2＋3＝84.
（2）证明：∵f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*），
故f（x）的展开式中含xn项的系数为＋2＋3＋…＋n＝＋2＋3＋…＋n.
∵k＝k＝
＝（n＋1）＝（n＋1），
（3）（i＋1）＝2＋3＋…＋n＋（n＋1），①
（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2， ②
在①②中分别添加，则得1＋（i＋1）＝＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）， ③
1＋（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2＋， ④
③＋④得2（1＋（i＋1））＝（n＋2）（＋＋＋…＋＋）＝（n＋2）2n，
∴（i＋1）＝（n＋2）2n－1－1.
章末检测（七） 随机变量及其分布
1.C 由＋＋＋p＝1得，p＝.故选C.
2.D 因为随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以正态曲线关于直线x＝3对称，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞5）＝0.1，则P（3≤X≤5）＝＝＝0.4.
3.A 由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3.
4.C 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，样本点共有6×6＝36个，其中事件A有3×3＝9个样本点，事件AB有（2，6），（4，4），（6，2），共3个样本点，所以P（B｜A）＝＝＝.故选C.
5.D 由题意得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝4，n＝2，则E（X）＝＝＝.
6.B 依题意，质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率P＝×（）2×（1－）3＝（）5.
7.D 投篮命中次数X～B（14，0.6），P（X＝k）＝·0.6k·0.414－k，设最有可能命中m次，则 8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故选D.
8.C 依题意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ＝100×0.01＝1，则P（X＝k）＝e－1，于
[WT][WT]
是P（X＝0）＝e－1＝，P（X＝1）＝e－1＝，P（X＝2）＝e－1＝，所以次品率小于3%的概率约为P＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＋≈92%.故选C.
9.AC 电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确.故选A、C.
10.AC 因为X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正确；因为E（X）＝2，所以E（Y）＝E（X）＝2.因为Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p＝2，所以p＝，故B错误；因为Y～B（4，），所以P（2≤Y≤3）＝（）4＋（）4＝，故C正确；因为D（Y）＝4××（1－）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4，故D错误.故选A、C.
11.BC 对A，P（A1A2）＝×＝，所以A错误；对B，P（A2）＝×＋×＝，故P（A1｜A2）＝＝，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝＋－＝，所以C正确；对D，由题意P（An）＝P（An－1）＋[1－P（An－1）]，所以P（An）－＝［P（An－1）－］，P（A1）＝，P（A1）－＝－＝，所以P（An）－＝×（）n－1＝×（）n，所以P（An）＝·（1＋），则P（A10）＝·（1＋），所以D错误.故选B、C.
12. 解析：P（X＝4）＝×××＝.
13. 解析：由条件概率可得P（A｜B）＝＝ P（AB）＝×＝，所以P（B｜A）＝＝＝.
14.（，1） 解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B（n，p），所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1＝p2（1－p）2＋p3（1－p）＋p4＝3p4－8p3＋6p2.2引擎飞机正常飞行的概率为P2＝p（1－p）＋p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）＞0.因为0＜p＜1，所以＜p＜1.
15.解：（1）从6人中任选3人，选法共有＝20（种），
其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为＝.
故男生甲和女生乙至少一人被选中的概率为1－＝.
（2）由题知，P（A）＝＝.又P（B）＝P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（A｜B）＝＝.
16.解：（1）设“甲获得这次比赛胜利”为事件A，
则P（A）＝（）3＋×（）3×＝，
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
（2）依题意，X的取值可能为2，3，4，
则P（X＝2）＝（）2＝，
P（X＝3）＝（）3＋××（）2＝，
P（X＝4）＝×（）2××1＝.
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E（X）＝2×＋3×＋4×＝.
17.解：（1）由题意知每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布N（250，σ2），且P（M＜248）＝0.1，所以P（M≥248）＝1－0.1＝0.9，则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为×0.92×0.1＝0.243.
（2）因为P（M＜248）＝0.1，所以P（248＜M＜252）＝（0.5－0.1）×2＝0.8，
依题意可得X～B（K，0.8），所以D（X）＝K×0.8×（1－0.8）＝0.16K，
因为D（X）＞320，所以0.16K＞320，K＞2 000，
又K为正整数，所以K的最小值为2 001.
18.解：（1）甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为×10＝3，×10＝4，×10＝2，×10＝1.
（2）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为＝，
所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为＝.
（3）由题意，知X的所有可能取值为2，3，4，服从超几何分布，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
19.解：（1）由题设得P（38＜X＜42）＝0.682 7，P（36＜X＜44）＝0.954 5，
所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝
P（40≤X≤44）＋P（38≤X≤40）
＝×（0.682 7＋0.954 5）＝0.818 6.
（2）①证明：由题设得：
P（T＞t1｜T＞t2）＝＝＝＝＝＝＝，
P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝，
所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）.
②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P（T≤1）＝1－G（1）＝，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为.
为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为1－（1－）2＝.
章末检测（八） 成对数据的统计分析
1.C A中，由正方形的边长和面积的公式知，S＝a2（a＞0）是确定的函数关系，故A错误；B中，学生的成绩和体重，没有关系，故B错误；C中，路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故C正确；D中，水的体积V和重量x的关系为V＝k·x，是确定的函数关系，故D错误.
2.C 由散点图可知，用y＝b1ln（k1x）拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜；又因为此关系为负相关，所以－r1＞－r2，r1＜r2，故选C.
3.D 只有χ2≥6.635＝x0.01时才能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论.
4.D 因为＝＝169，＝＝75，又经验回归方程为＝1.3x＋m，所以＝1.3＋m，即75＝1.3×169＋m，所以m＝－144.7，故选D.
5.D 因为χ2＞10.828，所以有99.9%的把握认为中年人秃发与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性为1－0.999＝0.001.
6. B 由题意得＝＝2，故＝＋1＝3，即ln y1＋ln y2＋…＋ln y7＝3×7＝21，故ln（y1y2·…·y7）＝21，解得y1·y2·…·y7＝e21.故选B.
7.D 对于A中，因为经验回归直线过数据的样本中心点（8，25），所以在m，n确定的条件下去掉样本点（8，25），则样本相关系数r不变，所以A错误；对于B中，由样本中心点为（8，25），可得25＝2.6×8＋，解得＝4.2，所以B错误；对于C中，由＝2.6x＋4.2，当x＝12，可得y＝35.4，则35－35.4＝－0.4，所以C错误；对于D中，由m＋n＝48，18≤m≤24，26≤n≤34，则（m，n）的取值为（18，30），（19，29），（20，28），（21，27），（22，26），所以m＝20，n＝28的概率为，所以D正确.故选D.
8.C 根据题意，2×2列联表中，a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，于是χ2＝＝＝，由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知≥3.841，解得m≥8.066 1，于是m最小值为9.故选C.
9. ABC 由经验回归方程为＝－2.1x＋15.5，可知变量x与y之间线性负相关，故A正确；当x＝2时，y＝－2.1×2＋15.5＝11.3，故B正确；∵＝5，＝，∴样本点的中心坐标为，代入＝－2.1x＋15.5，得＝－2.1×5＋15.5，解得a＝6，故C正确；变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数关系，故D错误.故选A、B、C.
10.BC 在回归分析时，残差图中残差分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，R2的值越接近1，故A错误；用R2来刻画回归的效果时，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确；在经验回归方程＝0.5x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量增加0.5个单位，故C正确；对分类变量X与Y，它们的χ2越小，推断X与Y有关联时犯错误的概率越大；χ2越大，推断X与Y有关联时犯错误的概率越小，故D错误.故选B、C.
11.AC 对于A，参与调查的男、女生人数相同，男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，故选项A正确；对于B，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，所以不喜欢攀岩的人数占70%，所以不喜欢攀岩的人数比喜欢攀岩的人数多，故选项B不正确；对于C，若参与调查的男女生人数都为100人，则可得2×2列联表为
性别 是否喜欢攀岩 合计
喜欢攀岩 不喜欢攀岩
男 80 20 100
女 30 70 100
合计 110 90 200
所以χ2＝≈50.505＞6.635，所以有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联，故选项C正确；对于D，如果不确定参与调查的男女生人数，无法计算是否有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联，故选项D不正确.
12.X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01
解析：基于小概率值α＝0.01的检验规则可知：当χ2≥6.635时，我们就推断H0不成立，即认为X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01.
13.－1.5 解析：＝×（1＋3＋4＋5＋7）＝4，＝×（15＋20＋30＋40＋45）＝30，因为经验回归直线过点（4，30），代入＝5.5x＋，可得30＝5.5×4＋，＝8，当x＝7时，＝5.5×7＋8＝38.5＋8＝46.5，所以残差为45－46.5＝－1.5.
14.①乙 ②数学 解析：①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总名次靠前的是乙.②观察散点图，发现丙的总成绩在年级中的名次是倒数第5名，数学的名次是倒数第11名，显然丙的语文成绩名次拉低了丙的总成绩排名，故丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.
15.解：补充列联表如下表：
性别 心理障碍 合计
有 没有
女生 10 20 30
男生 10 70 80
合计 20 90 110
零假设为H0：心理障碍与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得
χ2＝≈6.366＞5.024＝x0.025.
根据小概率值α＝0.025的独立性检验，可以认为H0不成立.即认为心理障碍与性别有关，此判断犯错误的概率不超过0.025.
16. 解：（1）＝＋＋…＋
＝＋＋…＋－2（x1＋x2＋…＋xn）＋n
＝－2n＋n＝－n，
代入数据可得－n＝138.
（2）由已知得＝25，＝36.8，
∵＝＝＝1.5，
∴≈0.96×1.5＝1.44，
＝－＝36.8－1.44×25＝0.8，
∴y关于x的经验回归方程为＝1.44x＋0.8.
17.解：（1）根据题表①中的数据可以得出m＝72，n＝128，p＝100.
（2）零假设为H0：性别与患感冒无关.
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝3.125＜3.841＝x0.05，
所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”无关.
（3）由题意知，＝＝8，＝＝15，所以（xi－）（yi－）＝40，
则r＝＝≈≈0.987 7＞0.75，
所以y与x的线性相关性很强.
18.解：（1）根据题意，完成列联表如下：
性别 是否认真完成作业 合计
认真完成 不认真完成
男生 a
女生 60－ 20－ 80－a
合计 60 20 80
由题意可得χ2＝＝≥2.706，
得a＞57.38.
易知a为5的倍数，且a≤60，所以a＝60，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有80－60＝20（人）.
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24∶16＝3∶2，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有10×＝6（人），学习行书的有10×＝4（人），
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，P（X＝4）＝＝.
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.解：（1）由题意得＝8，＝4.2，xiyi＝279.4，＝708，
所以＝＝＝0.17，＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
所以y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84.
（2）因为R2越接近于1，模型的拟合效果越好，所以选用＝1.63＋0.99回归模型更好.
（3）当广告费x＝20时，销售量y的预测值＝1.63＋0.99≈6.057 28≈6.06（万台），
故利润z的预测值＝200×（1.63＋0.99）－20≈1 191.456≈1 191.46（万元）.
模块综合检测
1.D 由题意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）×…×6×5×4＝.
2.A 根据题意，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的散点图中，点的分布必须比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.故选A.
3.C 因为（x－2）5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k（－2）k，所以（x＋）（x－2）5的展开式中x的系数是（－2）5＋3×·（－2）2＝88.
4.D 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P（ξ＜2）＝0.6，所以P（ξ≥2）＝P（ξ≤0）＝0.4，故P（0＜ξ＜1）＝P（0＜ξ＜2）＝×（1－0.4－0.4）＝0.1.
5.A 由题意知X＝0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝.所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝.故A正确.故选A.
6.C 记服用金花清感颗粒为事件A，服用连花清瘟胶囊为事件B，服用清开灵颗粒为事件C，感冒被治愈为事件D，依题意可得P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝，P（D｜A）＝，P（D｜B）＝，P（D｜C）＝，所以P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）＝×＋×＋×＝.故选C.
7.B 设z＝x2，则＝0.14z＋，则
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
则＝＝，＝＝5，则＝－0.14＝5－0.14×≈2.88.故选B.
8.D 根据“杨辉三角”，得1＋2＋3＋3＋6＋4＋10＋5＋…＝＋＋＋＋＋＋＋＋…，因此，此数列的前30项和为：S30＝＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＝＋＋＋＋…＋＝（＋）＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋－＝…＝－＝816－1＝815.故选D.
9.AB 对于A、B：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事件，也是对立事件，A、B正确；对于C：如果取出的球的数字为2，4，则事件B与事件C均发生，不互斥，C错误；对于D：P（B）＝1－＝，P（C）＝＝，P（BC）＝＝，则P（B）P（C）≠P（BC），即事件B与C不相互独立，D错误.故选A、B.
10.ABD （－2x）5的展开式的所有二项式系数的和为25＝32，故A中结论正确；令x＝1，可得各项的系数和为－1，故B中结论正确；展开式的通项为Tr＋1＝·（）5－r（－2x）r＝（－2）r··x2r－5，由2r－5＝0，得r＝，舍去，故不存在常数项，C中结论错误；由2r－5＝3，得r＝4，∴x3的系数为（－2）4＝80，故D中结论正确.
11.ABC 对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为p1（1－p1）2，只赢两盘的概率为（1－p1），则p1＜（1－p1），解得p1＞，故＜p1＜1.甲与丙对弈只赢一盘的概率为p2，只赢两盘的概率为（1－p2），则p2（1－p2），解得p2＜，故0＜p2＜，故0＜p2＜＜p1＜1，则A正确；对于B，由p1＋p2＝1得p1＝1－p2，则P（A）＝p2＝（1－p2）·，即P（A）＝P（B）·（－1），又0＜p2＜，所以－1＞1，所以P（A）＞P（B），故B正确；对于C， p1∈（0，1），使得对 p2∈（0，1），结合B分析，只满足p1＋p2＝1，都有P（A）＞P（B），故C正确；对于D，令P（A）＝P（B），则（1－p1）＝（1－p2），化简得－＝－，故（p1＋p2）（p1－p2）＝（p1－p2）·（＋p1p2＋），即p1＋p2＝＋p1p2＋，又因为0＜p2＜＜p1＜1，则＜p1＋p2＜，即＜＋p1p2＋＜，故D错误，故选A、B、C.
12. 解析：P（≤X≤）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝×（）2×（）3＋×（）3×（）2＝.
13.72 解析：如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案·＝24（种），②当4种不同颜色的花全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案·＝48（种），则不同的种植方案共有24＋48＝72（种）.
14. 解析：由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是，取一次球，取得号码是2的概率是，取一次球，取得号码是3的概率是，因为ξ＝x＋2y，ξ＝9，8，7，若ξ＝x＋2y＝7，则或故P（ξ＝7）＝×＋×＝；若ξ＝x＋2y＝8，则所以P（ξ＝8）＝×＝；当ξ＝x＋2y＝9，则所以P（ξ＝9）＝×＝，设奖金为X，则P（X＝0）＝1－－－＝.故X的分布列为
X 1 000 500 200 0
P
所以E（X）＝1 000×＋500×＋200×＋0×＝.
15.解：（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴2n＝32， ∴n＝5.
（2）二项式（2x＋）5展开式的通项公式为Tr＋1＝（2x）5－r（）r＝25－rarx5－2r，
令5－2r＝－5 r＝5，∴展开式中的系数为20a5，∴a5＝－1，解得a＝－1.
16.解：（1）设该选手恰好选中1道“智慧生活题”为事件A，则P（A）＝＝.
（2）易知ξ＝0，1，2，
则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故ξ的数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝1.
17.解：（1）依题意，因为0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＝0.35＜0.5，而0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×5＝0.65＞0.5，所以中位数位于[15，20）之间，所以中位数为15＋＝17.5.
（2）依题意，消费金额不少于20千元的频率为0.04×5＋0.03×5＝0.35，所以样本中网购迷人数为100×0.35＝35，
非网购迷的人数为100－35＝65.
所以补全2×2列联表如下：
网购人群 类别 性别 合计
男 女
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
合计 60 40 100
零假设为H0：网购迷与性别无关.
根据列联表可得χ2＝≈6.593＞5.024＝x0.025，依据小概率值α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为网购迷与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.025，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”.
18.解：（1）由折线图可知统计数据（x，y）共有6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）.
计算可得＝×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，
＝×（11＋13＋16＋15＋20＋21）＝16，
∴＝＝＝2，
＝－＝16－2×3.5＝9.
∴月利润y关于月份代码x的经验回归方程为＝2x＋9，
当x＝8时，＝2×8＋9＝25.
故预测甲公司2024年12月份的利润为25百万元.
（2）由题意知，A型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
∴A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35.
B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7.
∵＜，∴甲公司的负责人应该采购B型号的新型材料.
19.解：（1）①该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，0）.
②依题意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝m｜η＝n）·P（η＝n），
显然P（η＝n）＝（）n（）3－n，则P（ξ＝m｜η＝n）＝（）m（）3－n－m＝（）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝（）3－n·（）n·（）3－n＝＝.
（2）证明：由定义及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝pij.
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