课时规范练25　两角和与差的正弦、余弦和正切公式--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练25　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(分值:76分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.sin 81°cos 51°-cos 81°sin 51°=(　　)
A.- B. C.- D.
2.若=3,则tan(α-)=(　　)
A.-1 B. C.1 D.3
3.(2025·河北石家庄模拟)已知sin4θ-cos4θ=m,则cos 4θ=(　　)
A.2m-1 B.1-2m
C.1-2m2 D.2m2-1
4.(2025·河北保定模拟)若cos(α+)=sin α-cos α,则cos 2α=(　　)
A.- B.
C.- D.
5.(2026·河北百师联盟高三月考)在平面直角坐标系xOy中,已知锐角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆的交点的纵坐标为.若cos 2θ=msin(-θ),则实数m的值为(　　)
A. B.
C.- D.-
6.(2025·广东江门一模)已知sin(α-)+cos α=,则cos(2α+)=(　　)
A.- B.
C.- D.
7.(多选题)(2025·四川南充模拟)下列式子运算正确的有(　　)
A.sin 40°(tan 10°-)=-1
B.cos 75°=
C.
D.tan 22°+tan 23°+tan 22°tan 23°=1
8.(2025·江苏扬州模拟)若sin(θ-)=,则sin 2θ=　　　　　.
9.(2025·浙江台州二模)已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,则cos(α-β)=　　　　　.
10.(2024·新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　.
综 合 提升练
11.(2025·安徽合肥二模)已知,则sin4θ+cos4θ=(　　)
A. B. C. D.
12.(2026·浙江ZDB联盟高三月考)已知α∈(0,),且mcos α+ncos=m,msin α-nsin=n(mn≠0),则cos α=(　　)
A. B. C. D.
13.(2025·湖南岳阳二模)已知圆锥的侧面展开图为半圆,其轴截面是以A为顶点的等腰三角形,若A,B,C分别是该三角形的三个内角,则tan+tan+tan B+tantantan B= (　　)
A. B.2 C.0 D.1
创 新 应用练
14.(2026·北京十一实验中学高三月考)1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题:在地球表面的什么地方,一根竖直的悬杆看上去最长(即可见角最大).后人将其称为“米勒问题”,该问题是数学史上最早的极值问题之一.我们把地球表面视为平面α,悬杆视为直线l上两点A,B间的连线,则上述问题可以转化为以下的数学问题:如图1所示,直线l垂直于平面α,直线l上有两点A,B位于平面α的同侧,求平面上一点C,使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A,B两点的坐标分别为(0,a),(0,b),0图1
图2
A.2ab B.ab C.2 D.
15.在平面直角坐标系中,O(0,0),A(sin α,cos α),B(cos(α+),sin(α+)),当∠AOB=时,写出α的一个值为　　　　　.
参考答案
1.D　解析 sin 81°cos 51°-cos 81°sin 51°=sin(81°-51°)=sin 30°=故选D.
2.B　解析 因为=3,所以1+tan α=3,即tan α=2,所以tan(α-)=故选B.
3.D　解析 由sin4θ-cos4θ=m,得-m=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ,所以cos 4θ=2cos22θ-1=2m2-1.故选D.
4.C　解析 依题意,cos α-sin α=sin α-cos α,整理得2cos α=sin α,易知cos α≠0,所以tan α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α==-故选C.
5.B　解析 由题意,得sin θ=,cos θ=
由cos 2θ=msin(-θ),得2cos2θ-1=mcos θ,即2-1=m,解得m=故选B.
6.B　解析 由sin(α-)+cos α=,得sin α-cos α+cos α=,即sin α+cos α=,
因此sin(α+)=,所以cos(2α+)=cos[2(α+)]=1-2sin2(α+)=故选B.
7.ACD　解析 sin 40°(tan 10°-)
=sin 40°()
=2sin 40°
=-2sin 40°
=-=-1,A正确;
cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=,B错误;
=tan(45°+15°)=,C正确;
因为tan 45°=tan(22°+23°)==1,
所以tan 22°+tan 23°+tan 22°tan 23°=1,D正确.故选ACD.
8　解析 由题意,sin(θ-)=(sin θ-cos θ),即sin θ-cos θ=,两边平方可得1-sin 2θ=,即sin 2θ=
9.-　解析 由cos α+cos β=,sin α+sin β=,两式左、右两边同时平方可得cos2α+2cos αcos β+cos2β=,sin2α+2sin αsin β+sin2β=,
两式相加得2+2cos αcos β+2sin αsin β=cos(α-β)=-
10.-　解析 (方法一)tan(α+β)==-2
又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,
所以α+β为第四象限角.
由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)=
又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=-
(方法二)设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0,则sin α=,cos α=,sin β=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-
11.C　解析 因为,所以,
所以,所以,所以sin 2θ=-,所以2sin θcos θ=-,
所以sin θcos θ=-,
所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2故选C.
12.B　解析 由mcos α+ncos=m,得m2cos2α+n2cos2+2mncos αcos=m2,同理可得m2sin2α+n2sin2-2mnsin αsin=n2,两式相加得m2+n2+2mn(cos αcos-sin αsin)=m2+n2,又mn≠0,即cos αcos-sin αsin=cos(α+)=0,所以cos=0.因为(0,),所以,得α=,所以cos α=故选B.
13.B　解析 设圆锥的底面圆半径以及圆锥的母线分别为r,l,
由题意可得2πr=2πl,故l=2r,
因此△ABC为等边三角形,故A=B=C=60°,故tan+tan+tan B+tantantan B=tan+tan+tan B(1+tantan)=tan()(1-tantan)+tan B(1+tantan)=2tan B=2tan 60°=2故选B.
14.D　解析 由题意,知∠ACB是锐角,且∠ACB=∠OCA-∠OCB,而tan∠OCA=,tan∠OCB=,
所以tan∠ACB=tan(∠OCA-∠OCB)=,而c+2,所以tan∠ACB=,当且仅当c=,即c=时等号成立,此时∠ACB最大.故选D.
15.-(答案不唯一,满足α=-+kπ(k∈Z)或α=+kπ(k∈Z)的其中一值即可)　解析 由题意可得=(sin α,cos α),=(cos(α+),sin(α+)),
所以||==1,同理可得||=1,
则cos∠AOB=cos<>==sin αcos(α+)+cos αsin(α+)=sin(2α+)=cos=-,
所以2α+=-+2kπ(k∈Z)或2α++2kπ(k∈Z),解得α=-+kπ(k∈Z)或α=+kπ(k∈Z).
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