课时规范练30　解三角形的实际应用--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练30　解三角形的实际应用
(分值:65分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏西5° B.北偏西10°
C.南偏东5° D.北偏西20°
2.(2025·陕西商洛检测)位于P处的雷达接收到在其正东方向相距20海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后,即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援,则甲船至少需要航行的海里数为(　　)
A.15 B.10
C.10 D.10
3.(2026·陕西商洛模拟)如图,在倾斜角为15°的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆BC,当太阳光线的仰角是45°时,旗杆在山坡上的影子的长度是10 m,则旗杆BC的高为(　　)
A.5 m B.6 m
C.5 m D.5 m
4.(多选题)(2025·广东广州模拟)货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12海里,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8海里.货轮自A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是(　　)
A.A处与D处之间的距离是24海里
B.灯塔C与D处之间的距离是8海里
C.灯塔C在D处的西偏南60°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
5.(2026·河南南阳高三期中)某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时,需要测量某河流同侧的A,B两点之间的距离,该班学生在这条河流另一侧的点C处测得点A在点C的北偏东30°方向上,点B在点C的北偏东60°方向上,从点C出发,沿正东方向走2千米,到达点D,在点D处测得点A在点D的北偏西15°方向上,点B在点D的北偏东15°方向上,则A,B两点之间的距离AB=　　　　　千米.
6.(13分)(2025·海南海口检测)如图1,椰子树是海南最具代表性的树木之一,树干笔直无分枝,叶片形似巨大的羽毛伞.如图2,D,C两处观测点与树干底部点B在同一水平面内,树干AB垂直于水平面,某同学在地面D处,测得树干顶端A处的仰角为30°,D,C两处相距20米,sin∠DBC=sin∠DCB,BC=BD.
图1　　　　　　图2
(1)求观测点D到树干底部点B的距离BD的长度;
(2)求在树干顶端A处观测到C,D两点的夹角∠DAC的余弦值.
综 合 提升练
7.(2025·湖北荆州模拟)如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α,β,γ,计划沿直线AC开通隧道DE,设AD,EB,BC的长度分别为a,b,c.为了测出隧道DE的长度,还需直接测出(　　)的值.
A.a和b B.b和c
C.a和c D.a,b,c三者
8.(15分)(2025·福建漳州期中)人类从未停下对自然界探索的脚步,位于某大草原点C处正上空300 m的点P处,一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍.已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹,猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊,且无人机拍摄猎豹的俯角为45°,拍摄羚羊的俯角为60°,假设A,B,C三点在同一水平面上.
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度;
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近,且开始以40 m/s的极限速度出击,与此同时机警的羚羊以30 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑,已知猎豹受耐力限制,最多能持续奔跑800 m,试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能 请说明原因.
创 新 应用练
9.(多选题)(2025·重庆沙坪坝期中)重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑,是抗战胜利的精神象征,是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为解放碑的最顶端,B为解放碑的基座(B在A的正下方,即AB⊥BC,AB⊥BD),在纪念碑所在广场内(与B在同一水平面内)选取C,D两点,测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠ADB,∠BDC,若已知m,∠ACB,∠BCD,则下列各测量数据中,能计算出解放碑高度AB的是(　　)
A.∠ADB B.∠BDC
C.∠ADC D.∠ACD
参考答案
1.B　解析 由题意可知∠ACB=180°-40°-60°=80°,
∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=50°,
从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西60°-50°=10°.故选B.
2.C　解析 如图,由题意可得∠MPB=
在△PBM中,由余弦定理可得MB==10(海里),
故甲船至少需要航行的海里数为10故选C.
3.C　解析 如图,
∠BAD=15°,∠CAD=45°,则∠CAB=30°,∠ACD=45°,AB=10 m,
在△ABC中,由正弦定理得,即,解得BC=5(m).故选C.
4.ABC　解析 根据题意作出图形.
由货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向,距离为12海里,得∠BAD=75°,AB=12(海里),又在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8海里,得∠CAD=30°,AC=8(海里),又货轮自A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,得∠ADB=60°,所以在△ABD中,∠B=180°-60°-75°=45°.
在△ABD中,由正弦定理得,所以AD==24(海里),故A正确;
在△ACD中,由余弦定理得CD=,
即CD==8(海里),故B正确;
因为CD=AC,所以∠CDA=∠CAD=30°,所以灯塔C在D处的南偏西30°方向,即灯塔C在D处的西偏南60°,故C正确;
由∠ADB=60°,B在灯塔D的南偏东60°方向,D在灯塔B的北偏西60°方向,故D错误.
故选ABC.
5　解析 如图,由题意可得∠ACD=60°,∠CAD=45°,∠BCD=30°,∠CBD=45°,∠ADB=30°,CD=2千米.
在△ACD中,由正弦定理可得,则AD=(千米).
在△BCD中,由正弦定理可得,则BD=(千米).
在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=2,则AB=千米.
6.解 (1)在△DBC中,由正弦定理可得,
因为sin∠DBC=sin∠DCB,所以BD=DC.
又D,C两处相距20米,故BD=DC=20,所以BD的长为20米.
(2)在Rt△ADB中,由在D处测得树干顶端A处的仰角为30°,
可得=tan 30°=,则AB=20=20.
由(1)知BD=20,由BC=BD,得BC==20,
由BD=DAcos 30°,得AD==40.
在Rt△ABC中,由AB=BC=20,得AC==20
在△DAC中,由余弦定理的推论得cos∠DAC=
故在A处观测到C,D两点的夹角∠DAC的余弦值为
7.D　解析 在△PBC中,∠BPC=β-γ,
由正弦定理有,
所以PB=sin γ,
在△PAB中,sin∠APB=sin(π-α-β)=sin(α+β),
由正弦定理有,
所以AB=PBsin γ=c,
因为DE=AB-AD-BE=c-a-b,
所以为了测出隧道DE的长度,还需直接测出a,b,c三者的值.
8.解 (1)由题意作图如下.
则∠APC=45°,∠CBP=60°,∠BAC=45°-15°=30°,AC==300 m,BC==100 m.
在△ABC中,由正弦定理,可得sin∠ABC=
因此∠ABC=60°或∠ABC=120°.
当∠ABC=60°时,∠ACB=90°,猎豹与羚羊之间的距离为AB==200(m);
当∠ABC=120°,∠ACB=30°=∠BAC,猎豹与羚羊之间的距离为AB=BC=100 m.
(2)由题意作图如下.
设捕猎成功所需的最短时间为t,
在△ABQ中,BQ=30t,AQ=40t,AB=200,∠ABQ=120°,
由余弦定理得1 600t2=900t2+(200)2-2×30t×200,
整理得7t2-60t-1 200=0,
设f(t)=7t2-60t-1 200,显然f(0)<0,f<0.
因为猎豹能坚持奔跑最长时间为=20 s,且f(20)=2 800-1 200-1 200=400(4-3)<0,
所以猎豹不能捕猎成功.
9.ABC　解析 由题意,因为AB⊥BC,AB⊥BD,且BC∩BD=B,BC 平面BCD,BD 平面BCD,所以AB⊥平面BCD.
对于A,在△ABC,△ABD中,借助直角三角形用AB及已知角表示出BC,BD,然后在△BCD中,由余弦定理解三角形求得AB,故A正确;
对于B,在△BCD中,根据m,∠BCD,∠BDC,可利用正弦定理求得BC,再在Rt△ACB中,根据tan∠ACB求得AB,故B正确;
对于C,由∠ACB,∠BCD,借助直角三角形和余弦定理,用AB和CD表示出BC,BD,AC,AD,然后结合∠ADC在△ACD中,利用余弦定理列方程,解方程求得AB,故C正确;
对于D,根据m,∠ACB,∠BCD,∠ACD四个条件,无法通过解三角形求得AB,故D错误.
故选ABC.
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