课时规范练31　平面向量的概念及线性运算--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练31　平面向量的概念及线性运算
(分值:68分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·安徽县中联盟检测)化简:-()+=(　　)
A.2 B.
C.0 D.2
2.(2025·江苏无锡检测)已知向量a,b,则“|a|=|b|,且a∥b”是“a=b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2022·新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边上的中点,且2=0,那么(　　)
A. B.=2
C.=3 D.2
5.在△ABC中,若||=||=||,则△ABC是(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
6.(多选题)(2025·河北石家庄检测)下列说法正确的是(　　)
A.与非零向量a平行的单位向量有两个,分别是向量和-
B.若两个非零向量平行,则这两个向量所在的直线一定平行
C.零向量的长度都为0
D.两个单位向量的长度相等
7.(多选题)已知向量a为非零向量,λ是非零实数,则下列说法错误的是(　　)
A.a与-λa方向相反 B.a与λ2a方向相同
C.|-λa|≥|a| D.|λa|=|λ|a
8.(2025·山东济宁检测)已知|a|=2,|b|=4,则|a+b|的取值范围是　　　　　.
9.(2026·河南开封模拟)已知非零向量e1,e2不共线,若=2e1+ke2,=-e1-3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k=　　　　　.
综 合 提升练
10.(2025·河南安阳一模)已知平行四边形ABCD的对角线的交点为P,则+2+2=(　　)
A. B.
C. D.
11.(多选题)(2025·河北承德检测)如图,在正六边形ABCDEF中,下列说法正确的是(　　)
A.||=||
B.AF+FE=CB-CD
C.
D.向量与向量是平行向量
12.(2025·江苏南通模拟)已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,△AOB与△ABC的面积分别是S△AOB与S△ABC,且,则实数m为　　　　.
创 新 应用练
13.(2025·河南南阳模拟)在△ABC中,若+λ(),λ∈[0,+∞),则点Q的轨迹必经过△ABC的(　　)
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
参考答案
1.C　解析 因为-()+=0.
故选C.
2.B　解析 若a与b是相反向量,且均不为零向量,显然满足|a|=|b|,且a∥b,但得不到a=b;若a=b,由相等向量的定义知|a|=|b|,且a∥b,所以“|a|=|b|,且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件.故选B.
3.B　解析
如图.
∵BD=2DA,
=3,
+3+3()=-2+3
又=m,=n,所以=-2m+3n.故选B.
4.A　解析 因为O是△ABC所在平面内一点,D为BC边上的中点,
所以=2,且2=0,所以=0,即故选A.
5.A　解析 因为||=||=||,
且,所以||=||=||,所以△ABC是等边三角形.故选A.
6.ACD　解析 向量与-的长度是1,且与a平行,故A正确;
这两个向量所在的直线也可能重合,故B错误;零向量的长度都是0,故C正确;
单位向量的长度都是1,故D正确.
故选ACD.
7.ACD　解析 当λ<0时,a与-λa方向相同,故A错误;
当λ≠0时,λ2>0,则a与λ2a方向相同,故B正确;
当|λ|<1且|λ|≠0,即λ∈(-1,0)∪(0,1)时,|-λa|<|a|,故C错误;
|λa|表示λa的模,为实数,|λ|a表示一个向量,两者不相等,故D错误.
故选ACD.
8.[2,6]　解析 因为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|的取值范围是[2,6].
9.-8　解析 因为=-e1-3e2,=2e1-e2,所以=e1-4e2,
又A,B,D三点共线,且=2e1+ke2,
所以存在实数λ,使得=,即e1-4e2=2λe1+λke2.
因为非零向量e1,e2不共线,所以解得
10.C　解析 在 ABCD中,+2+2+2-2故选C.
11.AD　解析 因为,由正六边形的性质可知||=||,即||=||,故A正确;
设正六边形ABCDEF的边长为a,则AF+FE=2a,CB-CD=0,故B错误;
如图,易知,与共线但方向相反,故C错误,D正确.
故选AD.
12.-4　解析 因为+2=m,所以,
如图,取AB上靠近点B的三等分点M,则)=,所以,则O,C,M三点共线,所以共线反向,则m<0,且,
所以,解得m=-4.
13.A　解析 因为是与同向的单位向量,是与同向的单位向量,如图,设,则+λ()可化为=λ(),且AM=AN.以线段AM,AN为邻边作平行四边形AMEN,
则,且平行四边形AMEN为菱形,所以AE平分∠MAN,
所以=,又A为公共端点,所以A,E,Q三点共线,所以在∠BAC的平分线上,则点Q的轨迹必经过△ABC的内心.故选A.
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