章末检测（八） 成对数据的统计分析
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列两个变量之间的关系是相关关系的为（ ）
A.正方形的面积与边长的关系
B.学生的成绩和体重
C.路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少
D.水的体积和重量
2.已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln （k1x）与y＝kx2＋b2拟合时的相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为（ ）
A.r1＞r2 B.r1＝r2
C.r1＜r2 D.不确定
3.为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）
A.有99%的人认为该电视栏目优秀
B.有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D.没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
4.下表为某班5位同学身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的数据：
身高x 169 172 166 177 161
体重y 75 80 70 85 65
若两个变量之间的经验回归方程为＝1.3x＋m，则m＝（ ）
A.－140 B.140
C.144.7 D.－144.7
5.某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，经计算得χ2＝≈15.968，因为χ2＞10.828，则断定中年人秃发与心脏病有关系.那么这种判断出错的可能性为（ ）
A.0.01 B.0.05
C.0.025 D.0.001
6.用模型y＝aekx拟合一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7），其中x1＋x2＋…＋x7＝14，设z＝ln y，得变换后的经验回归方程为＝x＋1，则y1·y2·…·y7＝（ ）
A.e35 B.e21
C.35 D.21
7.某学校校医研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为（8，25）.由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用m，n代替，已知18≤m≤24，26≤n≤34，则下列结论正确的是（ ）
x 5 6 8 9 12
y 17 m 25 n 35
A.在m，n确定的条件下，去掉样本点（8，25），则样本的相关系数r增大
B.在m，n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合经验回归方程＝2.6x＋，则＝4
C.在m，n确定的条件下，经过拟合，发现基本符合经验回归方程＝2.6x＋，则当x＝12时，残差为0.4
D.事件“m＝20，n＝28”发生的概率为
8.针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m（m∈N*）人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立.若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为（ ）
附：χ2＝，
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A.7 B.8 C.9 D.10
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.小明同学在做市场调查时得到如下样本数据：
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到经验回归方程为＝－2.1x＋15.5，则下列说法正确的是（ ）
A.变量x与y线性负相关
B.当x＝2时可以估计y＝11.3
C.a＝6
D.变量x与y之间是函数关系
10.给出以下四个说法，其中正确的说法是（ ）
A.残差分布的带状区域的宽度越窄，R2越小
B.在刻画经验回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好
C.在经验回归方程＝0.5x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量y增加0.5个单位
D.对分类变量X与Y，若它们的χ2越小，则推断X与Y有关联时犯错误的概率越小
11.某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩与性别是否有关联，面向该校学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制等高堆积条形图（如图），则（ ）
A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C.若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联
D.无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.独立性检验中，零假设H0：变量X与变量Y没有关系.则在H0成立的情况下，估算概率P（χ2≥6.635）≈0.01表示的意义是 .
13.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下表对应数据：
x 1 3 4 5 7
y 15 20 30 40 45
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为＝5.5x＋，则当x＝7时，残差为 .（残差＝观测值－预测值）
14.高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班学生.从这次考试成绩看：
①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）有关部门对某校小学生进行心理障碍测试，得到如下列联表：
性别 心理障碍 合计
有 没有
女生 10 30
男生 70 80
合计 20 110
将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关.
附：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.（本小题满分15分）两个具有相关关系的变量（x，y）的一组统计数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）.其样本中心点为（25，36.8），且由统计数据知＝138，＝310.5，样本相关系数r≈0.96.
（1）求－n；
（2）根据样本相关系数r以及下面所附公式，建立y关于x的经验回归方程.
附：r＝，＝，＝－.
17.（本小题满分15分）为了研究昼夜温差与引发感冒的关系，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表①所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表②所示.
表①
性别 患感冒的情况 合计
患感冒人数 不患感冒人数
男生 30 70 100
女生 42 58 p
合计 m n 200
表②
温差x 6 7 8 9 10
患感冒人数y 8 10 14 20 23
（1）求出m，n，p的值；
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验判断是否可以认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”具有相关性；
（3）根据表②数据，计算y与x的样本相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（若0.75＜｜r｜≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3＜｜r｜≤0.75，则认为y与x线性相关性一般；｜r｜≤0.3，则认为y与x线性相关性较弱）.
参考数据：（xi－）2＝10，（yi－）2＝164，≈20.248 5.
18.（本小题满分17分）近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
书体 楷书 行书 草书 隶书 篆书
人数 24 16 10 20 10
（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中a≤60.
性别 是否认真完成作业 合计
认真完成 不认真完成
男生 a
女生
合计 60
若根据小概率值α＝0.10的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生人数；
（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
19.（本小题满分17分）某电视厂家准备在“五一”期间举行促销活动，现在根据已有的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
广告费 支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售 量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
（2）若用模型y＝c＋d拟合y与x的关系，可得经验回归方程为＝1.63＋0.99，经计算，线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；
（3）已知利润z（单位：万元）与x，y的关系为z＝200y－x.根据（2）的结果回答：当广告费x＝20时，销售量及利润的预测值是多少？（精确到0.01）
参考数据：xiyi＝279.4，＝708，≈2.236.
参考公式：经验回归方程＝＋x中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
5 / 5参考答案与详解
章末检测（六） 计数原理
1.C 要想通电，则需满足电路通畅，则并联电路中，至少有一个键闭合，利用分步乘法计数原理，可得共有2×3＝6种方法.故选C.
2.B 因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故＋1＝4，即n＝6.
3.D 完成这件事需要分三步：第一步：确定百位数，有6种方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数，有4种方法.根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120（个）三位数，所以这个数列的项数为120.故选D.
4.D 由＝m（m－1）（m－2）（m－3）＝18·，且m≥4，m∈N*，得m－3＝3，m＝6.
5.B 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有种方法；第二步，从6名女选手中选出2名且与已选好的男选手配对，有种.故有种.
6.B 由（x2＋3x＋2）5＝（x＋1）5（x＋2）5，知（x＋1）5的展开式中x的系数为，常数项为1，（x＋2）5的展开式中x的系数为·24，常数项为25.因此原式中x的系数为·25＋·24＝240.
7.C ∵x6＝[（x－2）＋2]6＝（x－2）6＋（x－2）5·2＋（x－2）4·22＋（x－2）3·23＋（x－2）2·24＋（x－2）1·25＋·26，∴a2＝·24＝240.故选C.
8.D 因为n＝－10＋102－103＋…＋1010＝（1－10）10＝（7＋2）10，而n＝（7＋2）10＝·710＋·79·2＋…＋·7·29＋·210，因此n除以7的余数为·210＝1 024除以7的余数2，而26，31，32除以7的余数分别为5，3，4，不符合题意，37除以7的余数为2，即D满足.故选D.
9.AD 对于A，从10人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题.
10.ACD 五个球投入4个不同的盒子里共有45种放法，A选项对，若要放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有·种放法，B选项错，D选项对，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有·种放法，C选项对，故选A、C、D.
11.AB 二项式（x－）8的展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－r（－）r＝（－a）rx8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所以展开式中x2的系数（－a）3＝－7，解得a＝，故A正确；二项式（x－）8即为（x－）8，展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－2r.令8－2r＝6，解得r＝1，所以展开式中含x6项的系数是－＝－4，故B正确；令8－2r＝－1，解得r＝，不为整数，故展开式中不含x－1项，故C错误；令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式中常数项为（－）4＝，故D错误.故选A、B.
12.4 解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得n＝－4（舍去）或n＝4.
13.300 解析：首先电子竞技和冲浪两个项目仅能由A，B两地举办，且各自承办其中一项有＝2种安排；再次5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则有＋＝150种，故总数为2×150＝300种不同的安排方法.
14.23 解析：因为（1＋2 024x）50的展开式中xk的系数为·2 024k，（2 024－x）50的展开式中xk的系数为2 02450－k（－1）k，所以（1＋2 024x）50＋（2 024－x）50的展开式中xk的系数为2 024k＋2 02450－k（－1）k＝2 024k[1＋2 02450－2k·（－1）k]，k＝0，1，2，…，50.要使ak＜0，则k为奇数，且2 02450－2k＞1，所以50－2k＞0，则k＜25，则k的最大值为23.
15.解：（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得＝，解得n＝11.
（2）由（1）知，展开式的第r＋1项为Tr＋1＝（）11－r（－）r＝（－2）r，令＝1，得r＝3，此时T3＋1＝（－2）3x＝－1 320x.所以展开式中含x的项的系数为－1 320.
16.解：（1）先将3名女生进行排列，有＝6种情况，再将2名男生插空，有＝12种情况，故2名男同学不相邻，共有6×12＝72种排法.
（2）先将两名男生进行排列，有＝2种情况，再选出1名女生放在男同学中间，有＝3种情况，将两名男同学和这名女同学看成一个整体和剩余的2名女同学进行全排列，共有＝6种情况，故若2名男同学中间必须有1人，共有2×3×6＝36种排法.
17.解：（1）二项式（3x－2y）20的展开式有21项，展开式的通项为Tk＋1＝（3x）20－k（－2y）k，
其二项式系数最大的项为第11项，T11＝·（3x）10·（－2y）10＝·610·x10y10.
（2）设系数绝对值最大的项是第k＋1（k∈N*）项，
则
即解得7≤k≤8，
所以k＝8，系数绝对值最大的项为T9＝·312·28·x12·y8.
18.解：（1）若甲、乙两人共付车费8元，则其中一人乘坐地铁站数不超过3站，另外一人乘坐地铁站数超过3站且不超过7站，共有＝24（种），
故甲、乙下地铁的方案共有24种.
（2）若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过3站，乙乘地铁站数超过7站且不超过12站，有＝15（种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过3站且不超过7站，记地铁第四站至第七站分别为P4，P5，P6，P7，易知甲比乙先下地铁有以下三种情形：
①甲P4站下，乙下地铁方式有种；②甲P5站下，乙下地铁方式有种；③甲P6站下，乙只能从P7下地铁，共有1种方式，共有＋＋1＝6（种），
依据分类加法计数原理，得15＋6＝21（种），
故甲比乙先下地铁的方案共有21种.
19.解：（1）当n＝3时，f（x）＝（1＋x）4＋2（1＋x）5＋3（1＋x）6，
∴f（x）的展开式中含x3项的系数为＋2＋3＝84.
（2）证明：∵f（x）＝（1＋x）n＋1＋2（1＋x）n＋2＋…＋k（1＋x）n＋k＋…＋n（1＋x）2n（n∈N*），
故f（x）的展开式中含xn项的系数为＋2＋3＋…＋n＝＋2＋3＋…＋n.
∵k＝k＝
＝（n＋1）＝（n＋1），
（3）（i＋1）＝2＋3＋…＋n＋（n＋1），①
（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2， ②
在①②中分别添加，则得1＋（i＋1）＝＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）， ③
1＋（i＋1）＝（n＋1）＋n＋…＋3＋2＋， ④
③＋④得2（1＋（i＋1））＝（n＋2）（＋＋＋…＋＋）＝（n＋2）2n，
∴（i＋1）＝（n＋2）2n－1－1.
章末检测（七） 随机变量及其分布
1.C 由＋＋＋p＝1得，p＝.故选C.
2.D 因为随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以正态曲线关于直线x＝3对称，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞5）＝0.1，则P（3≤X≤5）＝＝＝0.4.
3.A 由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3.
4.C 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，样本点共有6×6＝36个，其中事件A有3×3＝9个样本点，事件AB有（2，6），（4，4），（6，2），共3个样本点，所以P（B｜A）＝＝＝.故选C.
5.D 由题意得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝4，n＝2，则E（X）＝＝＝.
6.B 依题意，质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率P＝×（）2×（1－）3＝（）5.
7.D 投篮命中次数X～B（14，0.6），P（X＝k）＝·0.6k·0.414－k，设最有可能命中m次，则 8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故选D.
8.C 依题意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，此时λ＝100×0.01＝1，则P（X＝k）＝e－1，于
[WT][WT]
是P（X＝0）＝e－1＝，P（X＝1）＝e－1＝，P（X＝2）＝e－1＝，所以次品率小于3%的概率约为P＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＋≈92%.故选C.
9.AC 电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；体重无法一一列举，选项B不正确；人数可以列举，选项C正确；数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确.故选A、C.
10.AC 因为X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，所以t＝4，故A正确；因为E（X）＝2，所以E（Y）＝E（X）＝2.因为Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p＝2，所以p＝，故B错误；因为Y～B（4，），所以P（2≤Y≤3）＝（）4＋（）4＝，故C正确；因为D（Y）＝4××（1－）＝1，所以D（2Y）＝4D（Y）＝4，故D错误.故选A、C.
11.BC 对A，P（A1A2）＝×＝，所以A错误；对B，P（A2）＝×＋×＝，故P（A1｜A2）＝＝，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝＋－＝，所以C正确；对D，由题意P（An）＝P（An－1）＋[1－P（An－1）]，所以P（An）－＝［P（An－1）－］，P（A1）＝，P（A1）－＝－＝，所以P（An）－＝×（）n－1＝×（）n，所以P（An）＝·（1＋），则P（A10）＝·（1＋），所以D错误.故选B、C.
12. 解析：P（X＝4）＝×××＝.
13. 解析：由条件概率可得P（A｜B）＝＝ P（AB）＝×＝，所以P（B｜A）＝＝＝.
14.（，1） 解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B（n，p），所以4引擎飞机正常飞行的概率为P1＝p2（1－p）2＋p3（1－p）＋p4＝3p4－8p3＋6p2.2引擎飞机正常飞行的概率为P2＝p（1－p）＋p2＝－p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2（3p－2）.因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以P1－P2＞0，即p（p－1）2（3p－2）＞0.因为0＜p＜1，所以＜p＜1.
15.解：（1）从6人中任选3人，选法共有＝20（种），
其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为＝.
故男生甲和女生乙至少一人被选中的概率为1－＝.
（2）由题知，P（A）＝＝.又P（B）＝P（A）＝，P（AB）＝＝，所以P（A｜B）＝＝.
16.解：（1）设“甲获得这次比赛胜利”为事件A，
则P（A）＝（）3＋×（）3×＝，
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
（2）依题意，X的取值可能为2，3，4，
则P（X＝2）＝（）2＝，
P（X＝3）＝（）3＋××（）2＝，
P（X＝4）＝×（）2××1＝.
故X的分布列为
X 2 3 4
P
E（X）＝2×＋3×＋4×＝.
17.解：（1）由题意知每包牛肉干的质量M（单位：g）服从正态分布N（250，σ2），且P（M＜248）＝0.1，所以P（M≥248）＝1－0.1＝0.9，则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为×0.92×0.1＝0.243.
（2）因为P（M＜248）＝0.1，所以P（248＜M＜252）＝（0.5－0.1）×2＝0.8，
依题意可得X～B（K，0.8），所以D（X）＝K×0.8×（1－0.8）＝0.16K，
因为D（X）＞320，所以0.16K＞320，K＞2 000，
又K为正整数，所以K的最小值为2 001.
18.解：（1）甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为×10＝3，×10＝4，×10＝2，×10＝1.
（2）根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为＝，
所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为＝.
（3）由题意，知X的所有可能取值为2，3，4，服从超几何分布，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
19.解：（1）由题设得P（38＜X＜42）＝0.682 7，P（36＜X＜44）＝0.954 5，
所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝
P（40≤X≤44）＋P（38≤X≤40）
＝×（0.682 7＋0.954 5）＝0.818 6.
（2）①证明：由题设得：
P（T＞t1｜T＞t2）＝＝＝＝＝＝＝，
P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝，
所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）.
②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P（T≤1）＝1－G（1）＝，
所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为.
为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为1－（1－）2＝.
章末检测（八） 成对数据的统计分析
1.C A中，由正方形的边长和面积的公式知，S＝a2（a＞0）是确定的函数关系，故A错误；B中，学生的成绩和体重，没有关系，故B错误；C中，路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故C正确；D中，水的体积V和重量x的关系为V＝k·x，是确定的函数关系，故D错误.
2.C 由散点图可知，用y＝b1ln（k1x）拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜；又因为此关系为负相关，所以－r1＞－r2，r1＜r2，故选C.
3.D 只有χ2≥6.635＝x0.01时才能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使χ2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论.
4.D 因为＝＝169，＝＝75，又经验回归方程为＝1.3x＋m，所以＝1.3＋m，即75＝1.3×169＋m，所以m＝－144.7，故选D.
5.D 因为χ2＞10.828，所以有99.9%的把握认为中年人秃发与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性为1－0.999＝0.001.
6. B 由题意得＝＝2，故＝＋1＝3，即ln y1＋ln y2＋…＋ln y7＝3×7＝21，故ln（y1y2·…·y7）＝21，解得y1·y2·…·y7＝e21.故选B.
7.D 对于A中，因为经验回归直线过数据的样本中心点（8，25），所以在m，n确定的条件下去掉样本点（8，25），则样本相关系数r不变，所以A错误；对于B中，由样本中心点为（8，25），可得25＝2.6×8＋，解得＝4.2，所以B错误；对于C中，由＝2.6x＋4.2，当x＝12，可得y＝35.4，则35－35.4＝－0.4，所以C错误；对于D中，由m＋n＝48，18≤m≤24，26≤n≤34，则（m，n）的取值为（18，30），（19，29），（20，28），（21，27），（22，26），所以m＝20，n＝28的概率为，所以D正确.故选D.
8.C 根据题意，2×2列联表中，a＝4m，b＝m，c＝3m，d＝2m，于是χ2＝＝＝，由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知≥3.841，解得m≥8.066 1，于是m最小值为9.故选C.
9. ABC 由经验回归方程为＝－2.1x＋15.5，可知变量x与y之间线性负相关，故A正确；当x＝2时，y＝－2.1×2＋15.5＝11.3，故B正确；∵＝5，＝，∴样本点的中心坐标为，代入＝－2.1x＋15.5，得＝－2.1×5＋15.5，解得a＝6，故C正确；变量x与y之间具有线性负相关关系，不是函数关系，故D错误.故选A、B、C.
10.BC 在回归分析时，残差图中残差分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，R2的值越接近1，故A错误；用R2来刻画回归的效果时，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确；在经验回归方程＝0.5x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量增加0.5个单位，故C正确；对分类变量X与Y，它们的χ2越小，推断X与Y有关联时犯错误的概率越大；χ2越大，推断X与Y有关联时犯错误的概率越小，故D错误.故选B、C.
11.AC 对于A，参与调查的男、女生人数相同，男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，故选项A正确；对于B，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，所以不喜欢攀岩的人数占70%，所以不喜欢攀岩的人数比喜欢攀岩的人数多，故选项B不正确；对于C，若参与调查的男女生人数都为100人，则可得2×2列联表为
性别 是否喜欢攀岩 合计
喜欢攀岩 不喜欢攀岩
男 80 20 100
女 30 70 100
合计 110 90 200
所以χ2＝≈50.505＞6.635，所以有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联，故选项C正确；对于D，如果不确定参与调查的男女生人数，无法计算是否有99%的把握认为喜欢攀岩与性别有关联，故选项D不正确.
12.X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01
解析：基于小概率值α＝0.01的检验规则可知：当χ2≥6.635时，我们就推断H0不成立，即认为X与Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01.
13.－1.5 解析：＝×（1＋3＋4＋5＋7）＝4，＝×（15＋20＋30＋40＋45）＝30，因为经验回归直线过点（4，30），代入＝5.5x＋，可得30＝5.5×4＋，＝8，当x＝7时，＝5.5×7＋8＝38.5＋8＝46.5，所以残差为45－46.5＝－1.5.
14.①乙 ②数学 解析：①在甲、乙两人中，语文成绩名次比总名次靠前的是乙.②观察散点图，发现丙的总成绩在年级中的名次是倒数第5名，数学的名次是倒数第11名，显然丙的语文成绩名次拉低了丙的总成绩排名，故丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.
15.解：补充列联表如下表：
性别 心理障碍 合计
有 没有
女生 10 20 30
男生 10 70 80
合计 20 90 110
零假设为H0：心理障碍与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得
χ2＝≈6.366＞5.024＝x0.025.
根据小概率值α＝0.025的独立性检验，可以认为H0不成立.即认为心理障碍与性别有关，此判断犯错误的概率不超过0.025.
16. 解：（1）＝＋＋…＋
＝＋＋…＋－2（x1＋x2＋…＋xn）＋n
＝－2n＋n＝－n，
代入数据可得－n＝138.
（2）由已知得＝25，＝36.8，
∵＝＝＝1.5，
∴≈0.96×1.5＝1.44，
＝－＝36.8－1.44×25＝0.8，
∴y关于x的经验回归方程为＝1.44x＋0.8.
17.解：（1）根据题表①中的数据可以得出m＝72，n＝128，p＝100.
（2）零假设为H0：性别与患感冒无关.
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝3.125＜3.841＝x0.05，
所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为在相同的温差下“性别”与“患感冒的情况”无关.
（3）由题意知，＝＝8，＝＝15，所以（xi－）（yi－）＝40，
则r＝＝≈≈0.987 7＞0.75，
所以y与x的线性相关性很强.
18.解：（1）根据题意，完成列联表如下：
性别 是否认真完成作业 合计
认真完成 不认真完成
男生 a
女生 60－ 20－ 80－a
合计 60 20 80
由题意可得χ2＝＝≥2.706，
得a＞57.38.
易知a为5的倍数，且a≤60，所以a＝60，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有80－60＝20（人）.
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24∶16＝3∶2，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有10×＝6（人），学习行书的有10×＝4（人），
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，P（X＝4）＝＝.
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.解：（1）由题意得＝8，＝4.2，xiyi＝279.4，＝708，
所以＝＝＝0.17，＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
所以y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84.
（2）因为R2越接近于1，模型的拟合效果越好，所以选用＝1.63＋0.99回归模型更好.
（3）当广告费x＝20时，销售量y的预测值＝1.63＋0.99≈6.057 28≈6.06（万台），
故利润z的预测值＝200×（1.63＋0.99）－20≈1 191.456≈1 191.46（万元）.
模块综合检测
1.D 由题意知4×5×6×…×（n－1）×n＝n×（n－1）×…×6×5×4＝.
2.A 根据题意，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的散点图中，点的分布必须比较集中，且大体接近某一条直线，分析选项可得A选项的散点图杂乱无章，最不符合条件.故选A.
3.C 因为（x－2）5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k（－2）k，所以（x＋）（x－2）5的展开式中x的系数是（－2）5＋3×·（－2）2＝88.
4.D 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P（ξ＜2）＝0.6，所以P（ξ≥2）＝P（ξ≤0）＝0.4，故P（0＜ξ＜1）＝P（0＜ξ＜2）＝×（1－0.4－0.4）＝0.1.
5.A 由题意知X＝0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝.所以E（X）＝0×＋1×＋2×＝.故A正确.故选A.
6.C 记服用金花清感颗粒为事件A，服用连花清瘟胶囊为事件B，服用清开灵颗粒为事件C，感冒被治愈为事件D，依题意可得P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝，P（D｜A）＝，P（D｜B）＝，P（D｜C）＝，所以P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）＝×＋×＋×＝.故选C.
7.B 设z＝x2，则＝0.14z＋，则
z 1 4 9 16 25 36
y 2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
则＝＝，＝＝5，则＝－0.14＝5－0.14×≈2.88.故选B.
8.D 根据“杨辉三角”，得1＋2＋3＋3＋6＋4＋10＋5＋…＝＋＋＋＋＋＋＋＋…，因此，此数列的前30项和为：S30＝＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＝＋＋＋＋…＋＝（＋）＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋－＝…＝－＝816－1＝815.故选D.
9.AB 对于A、B：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件A与B是互斥事件，也是对立事件，A、B正确；对于C：如果取出的球的数字为2，4，则事件B与事件C均发生，不互斥，C错误；对于D：P（B）＝1－＝，P（C）＝＝，P（BC）＝＝，则P（B）P（C）≠P（BC），即事件B与C不相互独立，D错误.故选A、B.
10.ABD （－2x）5的展开式的所有二项式系数的和为25＝32，故A中结论正确；令x＝1，可得各项的系数和为－1，故B中结论正确；展开式的通项为Tr＋1＝·（）5－r（－2x）r＝（－2）r··x2r－5，由2r－5＝0，得r＝，舍去，故不存在常数项，C中结论错误；由2r－5＝3，得r＝4，∴x3的系数为（－2）4＝80，故D中结论正确.
11.ABC 对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为p1（1－p1）2，只赢两盘的概率为（1－p1），则p1＜（1－p1），解得p1＞，故＜p1＜1.甲与丙对弈只赢一盘的概率为p2，只赢两盘的概率为（1－p2），则p2（1－p2），解得p2＜，故0＜p2＜，故0＜p2＜＜p1＜1，则A正确；对于B，由p1＋p2＝1得p1＝1－p2，则P（A）＝p2＝（1－p2）·，即P（A）＝P（B）·（－1），又0＜p2＜，所以－1＞1，所以P（A）＞P（B），故B正确；对于C， p1∈（0，1），使得对 p2∈（0，1），结合B分析，只满足p1＋p2＝1，都有P（A）＞P（B），故C正确；对于D，令P（A）＝P（B），则（1－p1）＝（1－p2），化简得－＝－，故（p1＋p2）（p1－p2）＝（p1－p2）·（＋p1p2＋），即p1＋p2＝＋p1p2＋，又因为0＜p2＜＜p1＜1，则＜p1＋p2＜，即＜＋p1p2＋＜，故D错误，故选A、B、C.
12. 解析：P（≤X≤）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝×（）2×（）3＋×（）3×（）2＝.
13.72 解析：如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案·＝24（种），②当4种不同颜色的花全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案·＝48（种），则不同的种植方案共有24＋48＝72（种）.
14. 解析：由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是，取一次球，取得号码是2的概率是，取一次球，取得号码是3的概率是，因为ξ＝x＋2y，ξ＝9，8，7，若ξ＝x＋2y＝7，则或故P（ξ＝7）＝×＋×＝；若ξ＝x＋2y＝8，则所以P（ξ＝8）＝×＝；当ξ＝x＋2y＝9，则所以P（ξ＝9）＝×＝，设奖金为X，则P（X＝0）＝1－－－＝.故X的分布列为
X 1 000 500 200 0
P
所以E（X）＝1 000×＋500×＋200×＋0×＝.
15.解：（1）∵所有二项式系数的和为32，
∴2n＝32， ∴n＝5.
（2）二项式（2x＋）5展开式的通项公式为Tr＋1＝（2x）5－r（）r＝25－rarx5－2r，
令5－2r＝－5 r＝5，∴展开式中的系数为20a5，∴a5＝－1，解得a＝－1.
16.解：（1）设该选手恰好选中1道“智慧生活题”为事件A，则P（A）＝＝.
（2）易知ξ＝0，1，2，
则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
故ξ的数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝1.
17.解：（1）依题意，因为0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＝0.35＜0.5，而0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×5＝0.65＞0.5，所以中位数位于[15，20）之间，所以中位数为15＋＝17.5.
（2）依题意，消费金额不少于20千元的频率为0.04×5＋0.03×5＝0.35，所以样本中网购迷人数为100×0.35＝35，
非网购迷的人数为100－35＝65.
所以补全2×2列联表如下：
网购人群 类别 性别 合计
男 女
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
合计 60 40 100
零假设为H0：网购迷与性别无关.
根据列联表可得χ2＝≈6.593＞5.024＝x0.025，依据小概率值α＝0.025的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为网购迷与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.025，所以有97.5%的把握认为“是否为网购迷与性别有关系”.
18.解：（1）由折线图可知统计数据（x，y）共有6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）.
计算可得＝×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，
＝×（11＋13＋16＋15＋20＋21）＝16，
∴＝＝＝2，
＝－＝16－2×3.5＝9.
∴月利润y关于月份代码x的经验回归方程为＝2x＋9，
当x＝8时，＝2×8＋9＝25.
故预测甲公司2024年12月份的利润为25百万元.
（2）由题意知，A型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
∴A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35.
B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7.
∵＜，∴甲公司的负责人应该采购B型号的新型材料.
19.解：（1）①该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（3，0）.
②依题意，0≤m＋n≤3，P（ξ＝m，η＝n）＝P（ξ＝m｜η＝n）·P（η＝n），
显然P（η＝n）＝（）n（）3－n，则P（ξ＝m｜η＝n）＝（）m（）3－n－m＝（）3－n，
所以P（ξ＝m，η＝n）＝（）3－n·（）n·（）3－n＝＝.
（2）证明：由定义及全概率公式知，
P（ξ＝ai）＝P{（ξ＝ai）∩[（η＝b1）∪（η＝b2）∪…∪（η＝bj）∪…]}
＝P{[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]∪[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]∪…∪[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]∪…}
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝b1）]＋P[（ξ＝ai）∩（η＝b2）]＋…＋P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＋…
＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝pij.
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