课时规范练33　平面向量的数量积及其应用--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练33　平面向量的数量积及其应用
(分值:67分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·浙江杭州模拟)已知向量a=(2x,3),b=(2,0),(a-b)·b=0,则x的值为(　　)
A.-1 B. C.1 D.2
2.(2025·浙江金华模拟)已知|a|=1,|a+b|=,向量a与b的夹角为,则|b|=(　　)
A.1 B. C. D.2
3.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.(2025·浙江宁波三模)已知向量a,b满足|a|=2,a·(2a+b)=9,则a·(2a-b)=(　　)
A.3 B.4 C.6 D.7
5.(2025·河北石家庄模拟)已知向量a=(1,1),b=(3,t),若向量b在向量a上的投影向量为2a,则t=(　　)
A.2 B.-1 C.0 D.1
6.(2025·黑龙江齐齐哈尔一模)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,建立如图所示的平面直角坐标系,且A(0,3),C(3,0),B(0,0),,则=(　　)
A.3 B.1 C.2 D.4
7.(多选题)(2025·河北邯郸模拟)已知向量a=(,-1),b=(2,0),则下列说法正确的是(　　)
A.|a|=|b|
B.a与b的夹角为
C.若a⊥(a+λb),则λ=-
D.存在c≠0,使得a·c=b·c
8.(2026·北京西城高三检测)已知向量a=(1,-2),b=(k,1),满足a⊥b,则a与a+b的夹角为　　　　　.
9.(2025·安徽亳州期末)已知向量a,b为两个相互垂直的单位向量,则=　　　.
综 合 提升练
10.(2025·江苏镇江期中)已知在△ABC中,()·=0,,则此三角形为(　　)
A.等边三角形
B.等腰非等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
11.(2025·山东临沂模拟)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为(　　)
A. B.
C.3 D.2
12.(2026·北京高三模拟)如图,圆M为△ABC的外接圆,AB=4,AC=6,N为边BC的中点,则=　　　.
创 新 应用练
13.(多选题)(2025·福建漳州质检)已知两个非零向量a,b的夹角为θ,定义运算 :a b=|a|·|b|·sin θ,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则下列说法正确的是(　　)
A. θ∈[0,],a b=a·b
B.a在b上投影向量的模为
C.若a=(2,0),b=(-1,1),则a b=2
D.a b=|x1y2-x2y1|
参考答案
1.C　解析 因为向量a=(2x,3),b=(2,0),所以a-b=(2x-2,3),所以(a-b)·b=2(2x-2)=0,解得x=1.故选C.
2.B　解析 由题意可得|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|+|b|2=|b|2+|b|+1=5,解得|b|=或|b|=-2(舍去).故选B.
3.D　解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.故选D.
4.D　解析 由a·(2a+b)=2a2+a·b=8+a·b=9,得a·b=1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=8-1=7.故选D.
5.D　解析 由题意,得a=a=2a,所以=2,所以t=1.故选D.
6.C　解析 设M(x,y),因为,A(0,3),C(3,0),B(0,0),所以(x,y-3)=(3-x,-y),解得所以M(1,2),又=(1,2),所以D(2,4),所以=(1,-4),=(-2,-1),所以=(-2)×1+(-1)×(-4)=2.故选C.
7.ACD　解析 由题意可知|a|==2=|b|,故A正确;
因为a·b=2,cos=,又∈[0,π],所以a与b的夹角为,故B错误;
若a⊥(a+λb),则a2+λa·b=0,即4+2=0,解得λ=-,故C正确;
若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,则当(a-b)⊥c时,可以使a·c=b·c,故D正确.故选ACD.
8　解析 因为向量a=(1,-2),b=(k,1),满足a⊥b,所以a·b=1×k-2×1=k-2=0,所以k=2,则b=(2,1),所以a+b=(3,-1),所以a与a+b的夹角余弦值为cos=,
又∈[0,π],所以=,故a与a+b的夹角为
9　解析 因为a·b=0,|a|=|b|=1,(a-b)2=a2+b2-2a·b=2,即|a-b|=,所以cos=,又∈[0,π],所以=
10.A　解析 若点D是边AC的中点,则),故()=2=0,
所以BD⊥AC,显然△ABC为等腰三角形,即BA=BC.由||=,可得cos A=,又011.A　解析 如图,设+,
因为AP⊥BD,所以=(+)()=-+(λ-1)=0,即4-9λ+(λ-1)×3×2=0,解得λ=,所以,则||==
=
故选A.
12.13　解析 分别取线段AB,AC的中点为E,F,
因为点M为圆心,所以AF⊥MF,AE⊥ME,
所以=18,=8,
又N为边BC的中点,所以),
则))=(18+8)=13.
13.ACD　解析 当θ=时,sin θ=cos θ,则a b=|a|·|b|·sin θ=|a|·|b|·cos θ=a·b,故A正确;a在b上投影向量的模为||a|cos θ|,而=|b|·sin θ,与||a|cos θ|不一定相等,故B错误;由|a|=2,|b|=,cos θ==-,则sin θ=,所以a b=|a|·|b|·sin θ=2,故C正确;由|a|=,|b|=,cos θ=,则sin θ=,所以a b=|x1y2-x2y1|,故D正确.故选ACD.
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