课时规范练35　数列的概念与简单表示法--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练35　数列的概念与简单表示法
(分值:85分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·江西景德镇期末)若数列{an}的前4项依次为20,11,2,-7,则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A.an=(-1)n+1×2n B.an=-9n+29
C.an=9n+11 D.an=9n-18
2.(2025·广东广州期中)已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的(　　)
A.第10项 B.第11项
C.第12项 D.第13项
3.(2025·辽宁锦州期末)已知在数列{an}中,a1=-,an+1=1-,则a9=(　　)
A. B. C. D.5
4.(2025·安徽马鞍山一模)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
5.(多选题)(2025·广东模拟)记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和,已知an-anan+1=1,则下列选项正确的是(　　)
A.2a2=1 B.a4=3
C.a2 025+1=0 D.2S2 025=2 023
6.(2025·湖北一模)在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式an=　　　.
7.(2025·山东济南二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,=1(n∈N*),则an=　　　　.
综 合 提升练
8.(多选题)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…),则下列结论正确的是(　　)
A.{an}的第2项小于3
B.{an}为等比数列
C.{an}为递减数列
D.{an}中存在小于的项
9.(2025·河北张家口二模)已知数列{an}不是递增数列,且an=则k的取值范围是　　　　.
10.自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的,这种生物在生育下一代时,成对的基因相互分离形成配子,配子随机结合形成下一代的基因型.若某生物群体的基因型为Aa,在该生物个体的随机交配过程中,基因型为aa的子代基因无法适应自然环境而被自然界淘汰.例如当亲代只有Aa的基因型个体时,其子一代的基因型如下表所示:
雌 雄
A a
A AA Aa
a Aa ×
由上表可知,子一代中AA∶Aa=1∶2,子一代产生的配子中A占,a占,以此类推,子七代中Aa的个体所占的比例为　　　　.
11.数列{Ln}为:1,3,4,7,11,18,29,…,即L1=1,L2=3,且Ln+2=Ln+1+Ln.记Sn为数列{Ln}的前n项和,则S40-L42=　　　　;记数列{Ln}的各项依次被4除所得余数所形成的数列为{an},则数列{an}的前2 024项和为　　　　.
12.(13分)已知在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.
创 新 应用练
13.(15分)(2025·山东德州期中改编)已知数列{an},从中选取第i1项,第i2项,…,第im项(i1(1)写出2,8,4,7,5,6,9的三个长度为4的递增子列;
(2)若数列{an}满足an=3n-1,n∈N*,其子列{bk}的长度m=4,且{bk}的每一子列的所有项的和都不相同,求的最大值.
参考答案
1.B　解析 对于B,从前四项看,这是一个以20为首项,以-9为公差的等差数列,
由等差数列的通项公式有an=-9n+29,故B正确;
对于A,当n=1时,a1=2,这与条件不符,故A错误;
对于C,当n=2时,a2=29,这与条件不符,故C错误;
对于D,当n=1时,a1=-9,这与条件不符,故D错误.故选B.
2.B　解析 令n2+1=122,解得n=11或n=-11(舍去),
即122是该数列的第11项.故选B.
3.A　解析 因为a1=-,an+1=1-,
所以a2=1-=5,
所以a3=1-,
所以a4=1-=-,
所以a5=1-=5,…,
所以数列{an}是周期为3的数列,所以a9=a3=故选A.
4.C　解析 令an=0,解得n≤3或n>,
当n≤3时,an≥0,故当n=1,2时,Sn递增,且S3=S2;
当4≤n≤8时,an<0,故当n=4,5,6,7,8时,Sn递减;
当n≥9时,an>0,Sn递增.
又a1=,a2=,a3=0,a4=-,a5=-,a6=-,a7=-,a8=-5,
故S85.AC　解析 由题意可得an+1=1-,可得下表:
n 1 2 3 4 5 6 …
an 2 -1 2 -1 …
所以数列{an}的周期是3,
2a2=2=1,故A正确,a4=a1=2,故B错误,
由2 025÷3=675,则a2 025+1=a3+1=0,故C正确;
2S2 025=2×675×(a1+a2+a3)=2 025,故D错误.故选AC.
6.3n+2　解析 由an+1=3an-4,
可得an+1-2=3(an-2),
又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,
所以an-2=3n,所以an=3n+2.
7.2n-1　解析 由题设,数列{}是首项、公差均为1的等差数列,则=1+(n-1)×1=n,所以Sn=n2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,显然a1=1满足此式,
所以an=2n-1.
8.ACD　解析 由题意可知an>0,当n=1时,=9,可得a1=3;当n≥2时,由Sn=可得Sn-1=,两式作差可得an=,所以-an,则-a2=3,整理可得+3a2-9=0,且a2>0,解得a2=<3,A正确;假设数列{an}为等比数列,设其公比为q,则=a1a3,即()2=,所以=S1S3,可得(1+q)2=(1+q+q2),解得q=0,不符合题意,故数列{an}不是等比数列,B错误;当n≥2时,an=>0,可得an9.(-∞,]　解析 因为{an}不是递增数列,所以k≤0,或解得k所以k的取值范围是(-∞,].
10　解析 设子n代中Aa占比为an,则AA占比为1-an,
所以A∶a=[2(1-an)+an]∶an=(2-an)∶an,则子(n+1)代的基因型如下表所示:
雌 雄
A a
A ()2AA Aa
a Aa ×
由表可知,表格中总份数为()2+2(其中淘汰了份),
因此子(n+1)代中Aa的占比为=an+1,
化简得an+1=,即,即,所以数列{}是首项为,公差为的等差数列,所以n+1,an=,因此a7=
11.-3　4 048　解析 由题意可知,L42=L41+L40=L40+L39+L38+L39=(L40+L39+L38)+L37+L38=(L40+L39+L38+L37)+L38=(L40+L39+L38+L37)+L36+L37=(L40+L39+L38+L37+L36)+L37=…=(L40+L39+L38+…+L1)+L2=S40+L2,所以S40-L42=-L2=-3.数列{Ln}的各项依次被4除所得余数为1,3,0,3,3,2,1,3,0,3,3,2,…,发现余数的周期为6,前6项的和为1+3+0+3+3+2=12,2 024=337×6+2,2 024项包含337个周期,余2个数,所以数列{an}的前2 024项的和为337×12+1+3=4 048.
12.解 (1)因为2Sn=(n+1)an,所以2Sn+1=(n+2)·an+1,两式相减得2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即nan+1=(n+1)an,所以,从而=…==1,所以an=n(n∈N*).
(2)因为bn=3n-λn2,所以bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).因为数列{bn}为递增数列,所以2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<令cn=,则>1,所以{cn}为递增数列,所以λ13.解 (1)根据题意可知,从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列,即可得出符合题意的递增子列,可取2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;2,4,6,9;2,5,6,9;4,5,6,9中任意三个.
(2)因为{bk}的长度m=4,且{bk}的每一子列的所有项的和都不相同,由an=3n-1可知b121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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