课时规范练38　数列求和--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练38　数列求和
(分值:52分)
1.(13分)(2025·北京顺义期末)已知等比数列{an}为递增数列,其前n项和为Sn,a1=3,S3=21.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn-an}是首项为1,公差为3的等差数列,求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
2.(13分)(2025·山东日照模拟)已知数列{an}满足a1=2,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
3.(13分)(2026·福建模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4S2,a2n=2an-1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)nan,数列{bn}的前n项和为Tn,若|Tm|=50,求m的值.
4.(13分)(2025·河北邢台二模)已知数列{an}满足a1=1,an+1=记bn=a2n.
(1)证明:数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)设cn=,Sn为数列{cn}的前n项和,证明:≤Sn<3.
参考答案
1.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,由a1=3>0,且等比数列{an}为递增数列,所以
q>1,由S3=3+3q+3q2=21,解得q=2(负值舍去),所以an=a1qn-1=3·2n-1,即an=3·2n-1.
(2)因为数列{bn-an}是首项为1,公差为3的等差数列,所以bn-an=1+3·(n-1)=3n-2,
所以bn=3·2n-1+3n-2.
所以Tn=b1+b2+…+bn=3+3×2+…+3×2n-1+1+4+…+3n-2==3·2n+-3.
2.解 (1)由题意知,当n≥2时,,
所以an=…a1=…2=2n;
当n=1时,a1=2满足an=2n.
综上,an=2n.
(2)由(1)知bn=),所以Sn=(1-+…+)=(1+)=
3.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
则
解得所以{an}的通项公式为an=2+(n-1)=n+1.
(2)bn=(-1)nan=(-1)n(n+1),
Tn=-2+3-4+5-…+(-1)n(n+1),
若n为偶数,则Tn=(-2+3)+(-4+5)+…+(-n+n+1)=,
若n为奇数,则Tn=Tn+1-bn+1=-(n+2)=-
由|Tm|=50,若m为偶数,则=50,解得m=100;
若m为奇数,则|-|=50,解得m=97.
综上,m=100或m=97.
4.证明 (1)因为bn+1=a2(n+1)=2a2n+1+2n+1-1=2a2n+1+2n=2(a2n-2n)+2n=2a2n=2bn,
又b1=a2=2a1=2,所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,所以bn=2·2n-1=2n,
所以当n为偶数时,an=;
当n为奇数且n≥3时,
an=a(n-1)+1=an-1-(n-1)=(n-1)=,
且a1=1也符合上式.
综上,an=
(2)由(1)得cn=,则Sn=+…+,可得Sn=+…+,
两式相减,可得
Sn=+…+-(2n+3)·()n+1,
则Sn=3-(2n+3)·()n<3.
因为cn=>0,所以{Sn}为递增数列,则Sn≥S1=,所以Sn<3.
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