(共57张PPT)
第2课时
组合的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 有限制条件的组合问题
【例1】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、
女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多
少种选法？
（1）至少有一名队长当选；
解： 法一
法二 采用排除法有 － ＝825（种）.
（3）既要有队长，又要有女生当选.
（2）至多有两名女生当选；
解：至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、
没有女生，故共有 · ＋ · ＋ ＝966（种）.
解：分两种情况：第一类，女队长当选，有 种；
第二类，女队长不当选，则男队长当选，有 · ＋ · ＋ ·
＋ 种.
故共有 ＋ · ＋ · ＋ · ＋ ＝790（种）.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少
种？
解：分两类情况：第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的
11名学生中选取5人，有 ＝462（种）选法.
第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的
选法有： ＋ ＝660（种）选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.
通性通法
有限制条件的组合问题主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的
先取出，“不含”的元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接
分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对
立面，确保不重不漏.
【跟踪训练】
某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从
中选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
解： 根据题意，在5名男生中任选2人， ＝10（种）
选法，在5名女生中任选2人， ＝10（种）选法，则4人中
男生、女生各2人的选法有10×10＝100（种）.
（2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，若甲、
乙都没有参加， 种选法，则 ＝140（种）符合题
意的选法.
（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，只有男
生的选法有 种，只有女生的选法有 种，则既有男生又有女
生的选法 200（种）.
题型二 与几何有关的组合问题
【例2】 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点
C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，
D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的
有多少个？
解： 法一 可作出三角形 ＋ · ＋ · ＝116（个）.
法二 可作三角形 － ＝116（个），
（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少
个四边形？
解：可作出四边形 ＋ · ＋ · ＝360（个）.
通性通法
解答几何图形组合问题的策略
（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目
多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组
合.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；
（2）解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一
样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；
（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的
情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
【跟踪训练】
空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共
线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（ ）
A. 205 B. 110
C. 204 D. 200
解析： 法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行
分类，则得到所有的取法总数为 ＋ ＋ ＋ ＝205.
法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5
个点的情况，得到所有构成四面体的个数为 － ＝205.
题型三 组合中的分组、分配问题
【例3】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
解： 根据分步乘法计数原理得有 ＝90种.
（2）分为三份，每份两本；
解： 分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，
这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x
种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方
法.根据分步乘法计数原理可得 ＝x ，所以x＝
＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
解： 这是“不均匀分组”问题，一共有 ＝60种
方法.
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
解： 在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
＝360种方法.
通性通法
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除
以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组
后再分配.
【跟踪训练】
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒
子中.
（1）有多少种放法？
解： 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球
一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256种放法.
（2）每盒至多1个球，有多少种放法？
（3）恰好有1个空盒，有多少种放法？
解：这是全排列问题，共有 ＝24种放法.
解：法一 先将4个小球分为3组，有 种方法，再将3组小
球投入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，故共有
· ＝144种放法.
法二 先取4个球中的2个“捆”在一起，有 种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，所以共有 ＝144种放法.
解： 1个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，
当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的
投放方法有2种，故共有2 ＝8（种）.
（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相
同，有多少种放法？
1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则
这2个球同色的不同取法有（ ）
A. 27种 B. 24种
C. 21种 D. 18种
解析： 分两类：一类是2个白球有 ＝15（种）取法，另一类
是2个黑球有 ＝6（种）取法，所以共有15＋6＝21（种）取法.
2. 在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则
数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为（ ）
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
解析： 根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取
出的数字中必须有5，6，7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的
取法有 ＝6种.
3. 把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至
少各一人，则不同的分配方案有（ ）
A. 80种 B. 120种
C. 140种 D. 50种
解析： 当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时， ＝20
（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中
只有1人时，有 ＝30（种）不同的分配方案；当甲组中有2
人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有 ＝30（种）不同的分
配方案.故共有20＋30＋30＝80（种）不同的分配方案.
4. 在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两
组平行线相互不平行.
（1）它们共能构成 个平行四边形；
解析： 第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构
成一个平行四边形，故共有 ＝1 260（个）.
（2）共有 个交点.
解析： 第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个
交点，所以共有 ＝80（个）.
1 260
80
用隔板法解相同元素的分配问题
1. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同
的分法？
2. 将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则
不同的名额分配方法共有 种（用数字作答）.
3. 从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队，每班至少1位同学，则不
同的名额分配方案共有 种（用数字作答）.
【问题探究】
上述三个问题可归结为以下两个问题：
1. 把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1），要求每个
盒子非空，有多少种不同放法？
解：先将n个小球排成一列，然后在它们之间形成的（n－1）个空
（不含两端的）中插入（m－1）块隔板，便将n个小球分割成m
组，每组至少有1个小球，这m组小球依次放入m个不同的盒子，
（m－1）块隔板的一种插法就对应了n个相同小球投入m个不同
盒子的一种放法，故不同的放法共有 种.
2. 将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，可以有
空盒的不同放法有多少种？
解：法一 将m个盒子排成一排（并在一起的两盒子的外壁视
为一块隔板），除去两端的盒子的外壁，共有（m－1）块隔
板；再把n个相同的小球投放到m个不同的盒子中，不同的放法
对应着n个球和（m－1）块隔板的不同排法，于是问题转化为
从（n＋m－1）个位置中选出n个位置放球，共有不同放法
＝ 种.
法二 “将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，
允许有空盒子”的放法种数，等于“将n＋m个相同的小球投放到m
（n≥m）个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根
据法一可知，共 种不同放法.
方法总结
相同元素的分配问题用“隔板法”
“隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组
数以及各组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板
的空位数；③插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔
板，利用组合数求解不同的分法种数.
【迁移应用】
1. 将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的
种数.
（1）每个盒子都不空；
解： 需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可
用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放
法对应着一种分法，故共有 ＝10种.
（2）恰有1个盒子空；
解： 恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入
其中的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个
小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有 ＝40种.
（3）恰有2个盒子空.
解： 恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入
其中的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5
个空隙中的任意1处，故共有 ＝30种.
2. 某校准备参加2024年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年
级的1～4班，每班至少一个名额.
（1）不同的分配方案共有多少种？
解： 问题相当于将16个小球串成一串，插入3块隔板，
截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插
法种数为 ＝ ＝455.故不同的分配方案共有455种.
（2）若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多
少种？
解： 问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个
小球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至
少有1个小球的分配方法种数问题.即相当于将10个小球串成
一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入隔
板，插法种数为 ＝84，因此不同的分配方案共有84种.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果
要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A. 14 B. 24
C. 28 D. 48
解析： 用间接法得不同选法有 －1＝14种，故选A.
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2. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以
按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜和白米
饭；（2）任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭
配方法共有（ ）
A. 210种 B. 420种
C. 56种 D. 22种
解析： 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为
所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有 ＋ ＝210
（种）.
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3. 如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三
个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点
为顶点的三角形的个数为（ ）
A. 30 B. 42
C. 54 D. 56
解析： 利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线
的情况，所以符合条件的三角形的个数为 － － ＝42.
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4. 2025年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”62周年纪念
日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿
服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活
动，则不同的分配方法数是（ ）
A. 8 B. 12
C. 14 D. 20
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解析： 将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方
案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有 ＝8种，②
两所敬老院各安排两名志愿者，则有 ＝6种，故共有8＋6＝14
种方案.故选C.
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5. （多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生
物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴
趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化
学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高
考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、
地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
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解析： 对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余
的四科中任选2科，根据分步乘法计数原理，可得选法总数为
种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有 种选
法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有 种选
法，由分步乘法计数原理，可得选法共有 种，所以B正确；对
于C中，先从物理和历史中选1门，有 种选法，若从政治和地理
中只选1门，再从化学和生物中选1门，有 种选法，若政治和
地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类加法
计数原理，可得共有 ＋ ，所以C正确；对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有 种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类加法计数原理，可得选法总数为 ＋1，所以D错误.故选A、B、C.
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6. （多选）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进
社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本
次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班
都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
C. 若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D. 若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
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解析： 若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每
个班级至少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故A错误；若1
班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个
班级至少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故B正确；若每个
班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个
名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至
少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故
有 ＝126种，故C错误，D正确.故选B、D.
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7. 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排
列方法有 种.
解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位
置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全
相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有 ＝56种排法.
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8. 某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上
最少有1名队长，那么共有 种不同的选法.
解析：若只有1名队长入选，则选法种数为 · ；若两名队长均
入选，则选法种数为 ，故不同选法有 · ＋ ＝714
（种）.
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9. 现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2
张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
解析：6位游客选2人去A风景区，有 种，余下4位游客选2人去B
风景区，有 种，余下2人去C，D风景区，有 种，所以分配方
案共有 ＝180（种）.
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解：可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有
种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有
种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有
种选法.
根据分类加法计数原理，一共有 ＋ ＋ ＝42
（种）不同的选法.
10. 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语
翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）.现在要从中挑选5
名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语
翻译工作，则有多少种不同的选法？
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11. 已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，
则所有线段在圆内的交点有（ ）
A. 36个 B. 72个
C. 63个 D. 126个
解析： 此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有
四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为 ＝126（个）.
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12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙
两道题中任选一题作答，选甲题者答对得100分，答错得－100
分；选乙题者答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，
则这4位同学不同得分情况的种数是 .
解析：4位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答甲
题，2人答对，2人答错，有 种情况；②4人都选择答乙题，2人
答对，2人答错，有 种情况；③2人答甲题且1人对1人错，2人
答乙题且1人对1人错，有 ×2×2种情况.综上，共有 ＋ ＋
×2×2＝6 ＝36种情况.
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13. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则
不同的分配方案有 种（用数字作答）.
解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，
其分法有 种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其
分法有 种.所以满足条件的分配方案有 · ＝36（种）.
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14. 已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平
面？
解： 所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有 · 个.
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有 · 个.
③α，β本身，有2个.
故所作的平面最多有 · ＋ · ＋2＝98（个）.
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（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
解： 所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有 · 个.
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有 · 个.
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有 · 个.
故最多可作出的三棱锥有 · ＋ · ＋ · ＝194
（个）.
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（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？
解： 当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等.所以体
积不相同的三棱锥最多有 ＋ ＋ · ＝114（个）.故
最多有114个体积不同的三棱锥.
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15. 设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）｜xi∈{－1，0，1}，i＝1，
2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤｜x1｜＋｜x2｜＋｜
x3｜＋｜x4｜＋｜x5｜≤2”的元素个数为（ ）
A. 40 B. 50
C. 60 D. 70
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16. 一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球.
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取
法有多少种？
解： 从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个
数少的取法，可分三类：
第一类，红球取4个时，有 种方法；
第二类，红球取3个、白球取1个时，有 种方法；
第三类，红球取2个、白球取2个时，有 种方法.
由分类加法计数原理可知，共有 ＋ ＋ ＝115
（种）取法.
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（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5
个球，使总分不少于7的取法有多少种？
解： 设取红球x个、白球y个，依题意知，
且0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得
或或这样使总分不少于7的取法可以分
为三类：
第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为 ；
第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为 ；
第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为 .
由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法 ＋
＋ ＝186（种）.
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6.2.3 组合
6.2.4 组合数
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解组合的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应
用公式求值 逻辑推理、数学运算
3.会用组合知识解决一些简单的组合问题 数学运算、数学建模
第1课时
组合与组合数公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上
台发言.
（2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？
（3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？
【问题】 （1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？
知识点一 组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
提醒 排列与组合的区别与联系：共同点：两者都是从n个不同元素
中取出m（m≤n）个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合
与元素的顺序无关.
作为一
组
知识点二 组合数与组合数公式
组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的
的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数
符号表示
所
有不同组合
组合数公式 乘积式
组合数公式 阶乘式
性质
备注
提醒 公式 ＝ 常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计
算；公式 ＝ 常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证
明恒等式.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）1，2，3与3，2，1是同一个组合. （ √ ）
（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
（ √ ）
（3） ＝ ＝9. （ √ ）
2. 现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数
为 .
解析：由题意得，不同选法的种数为 ＝15.
√
√
√
15
3. 若方程 ＝ ，则x＝ .
解析：由方程 ＝ 和组合数性质可得，在两个组合数下标相同
的情况下，当两个组合数上标和等于下标时，两个组合数相等，
即x＋2＝5，x＝3；当两个组合数上标相同时，两个组合数相等，
即x＝2；故x＝2或3.
2或3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 组合的有关概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
（1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少
场？
解： 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺
序，是组合问题.
（2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结
果？
解： 冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
（3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职
务，有多少种不同的选法？
解： 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
（4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解： 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
通性通法
判断一个问题是不是组合问题的方法技巧
（1）区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺
序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题；
（2）写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序
后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来.
【跟踪训练】
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
（1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元
素的有多少个？
解： 因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题；
（2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少
种票价？
解： 因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是
排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是
同一种票价，故是组合问题；
（3）2024年元旦期间，某班10名同学互送贺卡表示新年的祝福，贺
卡共有多少张？
解： 甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺
序有关，是排列问题.
题型二 组合数公式的应用
角度1 化简与求值
【例2】 （1）计算： － · ；
解：原式＝ － ＝ －7×6×5＝210－210＝0.
（2）计算： ＋ ；
解： ∵∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，
∴n＝10，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋31＝466.
（3）若 ＝120 ，求n.
解： ∵ ＝120 ，
∴2n（2n－1）（2n－2）（2n－3）＝ ，
解得n＝3或n＝－1（舍去），∴n＝3.
角度2 组合数的性质
【例3】 （1） ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ；
解析：
（2）已知 － ＝ ，则n＝ .
解析： 由 － ＝ 得 ＝ ＋ ，由组合数的
性质，可得 ＝ ，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.
7 315
14
通性通法
利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧
（1）化简：先用组合数的两个性质化简；
（2）转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、
不等式；
（3）求解：解常规代数方程、不等式；
（4）检验：注意由 中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的
范围，验证所得结果是否符合题意.
【跟踪训练】
1. ＋ ＝ .
解析： ＋ ＝ ＋ ×1＝ ＋ ＝56＋4 950
＝5 006.
2. 证明：m ＝n .
证明：m ＝m·
＝ ＝n· ＝n .
5 006
题型三 简单组合问题的应用
【例4】 在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要
从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人必须参加，有多少种不同
的选法？
解：甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问
题，共有 ＝28种不同的选法.
【母题探究】
（变条件）本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人
只能有1人参加”，有多少种不同的选法？
解：甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，有
＝2种选法；再从另外8人中选3人，有 种选法.共有 ＝112
种不同的选法.
通性通法
解简单的组合应用题的策略
（1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合
问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺
序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；
（2）要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.
提醒 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
【跟踪训练】
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
解： 从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是 ＝ ＝ ＝56.
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
解： 从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白
球中再取出2个，取法种数是 ＝ ＝ ＝21.
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解： 由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球
中取出3个球，取法种数是 ＝ ＝ ＝35.
1. 下列问题中属于组合问题的是（ ）
A. 从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C. 从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式
D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
解析： A、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中
选出3名同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题.
2. ＋ ＝（ ）
A. 72 B. 36
C. 30 D. 42
解析： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝36.
3.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数
为 .（用数字作答）
解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是
组合问题，共有 ＝210（种）分法.
210
4. 一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球比赛规则，比赛时
一个足球队的上场队员是11人.问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案（只
需列出算式即可）？
解： 由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员
上场方案种数为 .
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么
教练员有多少种方式做这件事情（只需列出算式即可）？
解： 教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有 种
选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有 种选法.
所以教练员做这件事情的方式种数为 × .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A. 从3个分别标有1，2，3的3个不同小球中，取出2个排成一列
B. 老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C. 在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D. 将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张
解析： A、B、D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，
是组合问题，故选C.
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2. 若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那
么分法一共有（ ）
B. 45种
C. 54种
解析： 由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，
从5名代表中选4人满足分配要求，故有 种.
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3. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何
三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共
需建公路的条数为（ ）
A. 4 B. 8
C. 28 D. 64
解析： 由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建
＝ ＝ ＝28（条）公路.
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4. 若 ＝42，则 ＝（ ）
A. 60 B. 70
C. 120 D. 140
解析： 由 ＝ ×2＝42，解得n＝7或n＝－6（舍
去），∴ ＝ ＝ ＝140.
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5. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求
其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A. 70种 B. 80种
C. 100种 D. 140种
解析： 法一（直接法） 一男两女，有 ＝5×6＝30
（种）；两男一女，有 ＝10×4＝40（种），共计70种.
法二（间接法） 任意选取有 ＝84（种），其中都是男医生有
＝10（种），都是女医生有 ＝4（种），于是符合条件的有
84－10－4＝70（种）.
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6. （多选）下列式子成立的是（ ）
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解析： 根据排列和组合数公式，可知A成立； ＝n（n－
1）（n－2）…（n－m＋1）， ＝（n－1）·（n－2）…
（n－m＋1），所以 ＝n ，故B不成立；由组合数的性
质，可知C成立； ＝ ＝ · ＝
· ，故D成立.
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7. 若已知集合P＝{1，2，3，4}，则集合P的子集中含有2个元素的
子集数为 .
解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数
与元素顺序无关，是组合问题，共有 ＝ ＝ ＝6（个）.
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8. 不等式 －n＜5的解集为 .
解析：由 －n＜5，得 －n＜5，所以n2－3n－10＜0.
解得－2＜n＜5.由题设条件知n≥2，且n∈N*，所以n＝2，3，
4，故原不等式的解集为{2，3，4}.
{2，3，4}
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9.
解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从
女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴ × ＝30，∴x（x
－1）（8－x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝
3×4×5.∴x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人.
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10. （1）解方程：3 ＝5 ；
解： 由排列数和组合数公式，原方程可化为3·
＝5· ，则 ＝ ，
即为（x－3）（x－6）＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可
得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的解，所以方程
的解为x＝11.
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（2）求 ＋ 的值.
解： 由组合数的定义知所以
7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9，
当r＝7时，原式＝ ＋ ＝46；
当r＝8时，原式＝ ＋ ＝20；
当r＝9时，原式＝ ＋ ＝46.
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11. 身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，
左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是（ ）
A. 5 040 B. 36
C. 18 D. 20
解析： 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一
种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有 ＝20
（种）.
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12. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道
路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最
短路线共有（ ）
A. 72条 B. 108条
C. 126条 D. 252条
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解析： 要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或
向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.
设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任
取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有 ＝126
（种）走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.故选C.
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13. 已知 ＝ ，则 ＋ ＋ ＋ ＋
＝ .
解析：∵ ＝ ，∴m＝11，∴ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝120.
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14. 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解： 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是
从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即 ＝
＝45.
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（2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的
选法？
解： 可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有 种方法；
第2类，选出的2名是女教师有 种方法.
根据分类加法计数原理，共有 ＋ ＝15＋6＝21（种）
不同的选法.
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15. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，
俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，
每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十
位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字
65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随
机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数
为 ，其中所拨数字小于600的有 个.
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解析：在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随
机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有 ＝24（个），当
下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档，有1种情况；
当下珠拨的是个位档或十位档时，上珠可以从个、十、百位档中
随机选择两个档位各拨一颗，有 ＝6（种）情况，所以所拨
数字小于600的有1＋6＝7（个）.
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16. 规定 ＝ ，其中x∈R，m∈N，且 ＝
1，这是组合数 （n∈N*，m∈N且m≤n）的一种推广.
（1）求 的值；
解： 由题意得 ＝ ＝－84.
（2）组合数具有两个性质：① ＝ ；② ＋ ＝
.这两个性质是否都能推广到 （x∈R，
m∈N）？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不
能，请说明理由.
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解： 性质①不能推广，如当x＝ 时， 有意义，但 无意义.
性质②能推广，它的推广形式是 ＋ ＝ （x∈R，m∈N）.
证明如下：当m＝0时，有 ＋ ＝1＋x＝ ；当m≥1时，有 ＋ ＝ ＋
＝ （ 1＋ ）
＝ ＝ .
综上，性质②的推广得证.
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