【培优方案】7.1.2　全概率公式（课件）数学（人教A）选择性必修第三册

(共64张PPT)
7.1.2　全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，理解全概率公式，并会利
用全概率公式计算概率 数学抽象、数学运算
2.了解贝叶斯公式，并会简单应用 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　有三个罐子，1号装有2个红球1个黑球，2号装有3个红球1个黑
球，3号装有2个红球2个黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出
一球.
【问题】　如何求取得红球的概率？
知识点一　全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，
A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意
的事件B Ω，有P（B）＝ .称为全概
率公式.
P（Ai）P（B｜Ai）
提醒　全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P
（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P
（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）P（B｜An）.
知识点二　*贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，
且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P（B）
＞0，有P（Ai｜B）＝ ＝ ，
i＝1，2，…，n.
　　　　　　 P（AB）＝P（A）P（B｜A）
　　　　 全概率公式
P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）
　　　　 贝叶斯公式
P（Ai｜B）＝ ，i＝1，2，…，n
提醒　条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系
条件概率P（B｜A）＝ 乘法公式
【想一想】
贝叶斯公式的几何意义是什么？
提示：如图所示，B是由A和 两个原因引起的结
果，P（A｜B）表示原因A在结果B中的比重.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）全概率公式中，A1，A2，…，An不一定是一组两两互斥的事
件. （　×　）
（2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空
间. （　√　）
（3）设A，B为任意两个随机事件，则BA与B 是互斥的.
（　√　）
（4）贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下，探求各原因发生的
可能性大小. （　√　）
×
√
√
√
2. 已知事件A，B，且P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（B｜ ）
＝ ，则P（B）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜
）＝ × ＋ × ＝ .故选C.
3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修
理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该
汽车是货车的概率为 .
解析：设B表示一辆汽车中途停车修理，A1表示该车是货车，A2表
示该车是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P（A1｜B）
＝ ＝ ＝0.8.
0.8　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两个事件的全概率公式
【例1】　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社
区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲
班中女生占 ，乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行民意调查
的同学恰好是女生的概率.
解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的
事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
B Ω，
由题意可知，P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，
且P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ .
由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P
（B｜A2）＝ × ＋ × ＝ .
通性通法
两个事件的全概率问题求解策略
（1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2（或A与
）；
（2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
（3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P
（A2）P（B｜A2）.
【跟踪训练】
　1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随
机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，求
从2号箱取出的球是红球的概率.
解：设A＝“从2号箱取出的球是红球”，B＝“从1号箱取出的球是
红球”.
则P（B）＝ ＝ ，P（ ）＝1－P（B）＝ .
P（A｜B）＝ ＝ ，P（A｜ ）＝ ＝ .
由全概率公式可得P（A）＝P（A｜B）P（B）＋P（A｜ ）P
（ ）＝ × ＋ × ＝ .
题型二 多个事件的全概率问题
【例2】　在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有
6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为
3∶5∶2，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
解： 设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，
C，事件D为这个人患流感，
所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2，
P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，P（D｜C）＝
0.04，
因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋
P（C）P（D｜C）
＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051.
（2）如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.
解： P（A｜D）＝ ＝ ＝
＝ .
【母题探究】
（变设问）如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率.
解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A、B，所以
P（A）＝ ，P（B）＝ ，
P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，
P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝ ×0.06
＋ ×0.05＝ .
通性通法
“化整为零”求多个事件的全概率问题
（1）如图，P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）；
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），
事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已
知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
【跟踪训练】
　设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、
2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光
片的次品率依次为 ， ， ，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中
任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（　　）
A. 0.08 B. 0.1
C. 0.15 D. 0.2
解析： 　设A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙
厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，则P（A1）＝ ，P
（A2）＝ ，P（A3）＝ ，P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝
，P（B｜A3）＝ ，由全概率公式得P（B）＝P（A1）P
（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＝ ×
＋ × ＋ × ＝0.08.
题型三 *贝叶斯公式
【例3】　甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙
盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲
盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经
过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率.
解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，
A2＝{摸出的球来自乙盒}，
A3＝{摸出的球来自丙盒}，
B＝{摸得白球}，
则P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ，
P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ ，P（B｜A3）＝ .
于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为P（A2｜B）＝
＝ ＝ .
通性通法
应用贝叶斯公式求概率的步骤
（1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，
A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分；
（2）利用全概率公式求出P（B）；
（3）代入贝叶斯公式求得概率.
【跟踪训练】
　8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射
击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，
现从8支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概
率为（　　）
A. B. C. D.
解析： 　设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校
准过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P（B1）＝ ，P
（B2）＝ ，P（A｜B1）＝0.8，P（A｜B2）＝0.3.根据全概率公
式得P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝
×0.8＋ ×0.3＝ ，所以由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝
＝ ＝ .故选B.
1. 在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中
奖的概率为（　　）
A. B. C. D.
解析： 　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P
（B｜A）P（A）＋P（B｜ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ .
2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品
率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台
加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　）
A. 0.21 B. 0.06
C. 0.94 D. 0.95
解析： 　令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的
产品，i＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜
A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝ ×0.96＋ ×0.93＝0.95.故选D.
3. 已知事件A，B，且P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（B｜ ）
＝ ，则P（B）＝ 　 　.
解析：因为P（A）＝ ，所以P（ ）＝ .由全概率公式得，P
（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜ ）P（ ）＝ × ＋
× ＝ ＝ .
　
4. 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中
任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率
为 .
解析：设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的
2球恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式得P（A）＝P
（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）·P（A｜
B2）＝ · ＋ · ＋ · ＝ .
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为
0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，
则不吸烟患肺癌的概率为（　　）
A. 0.025% B. 0.032%
C. 0.048% D. 0.02%
解析： 　设不吸烟患肺癌的概率为x，则0.2×0.004＋0.8x＝
0.001，解得x＝0.000 25＝0.025%.故选A.
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2. 已知事件A，B满足P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（ ｜
）＝ ，则P（B）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　由题意可得：P（ ）＝1－P（A）＝ ，P（B｜ ）
＝1－P（ ｜ ）＝ ，所以P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P
（B｜ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ .故选C.
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3. 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生
报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中
先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（　　）
A. B. C. D.
解析： 　设A＝“先取到的是女生报名表”，Bi＝“取到第i个
地区的报名表”，i＝1，2，3，∴P（A）＝ P（Bi）·P
（A｜Bi）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
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4. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某
考生知道正确答案的概率为 ，而在乱猜时，4个答案都有机会被
他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（　　）
A. B. C. D.
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解析： 　设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，由
全概率公式得，P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（ ）P
（A｜ ）＝ ×1＋ × ＝ .又由贝叶斯公式得，P（B｜A）
＝ ＝ ＝ .故选B.
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5. （多选）若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立
的有（　　）
A. P（A｜B）＝
B. P（AB）＝P（A）P（B｜A）
C. P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）
D. P（A｜B）＝
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解析： 　由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正
确；由全概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），
P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ），故D正
确.故选B、C、D.
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6. （多选）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2
个白球.每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事
件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸
到红球”，则下列结论正确的是（　　）
A. P（A）＝ B. P（B）＝
C. P（B｜A）＝ D. P（B｜ ）＝
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解析： 　P（A）＝ ＝ ，A正确；P（B｜A）＝
＝ ＝ ，P（B｜ ）＝ ＝ ＝ .由全概率公式可
知，P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝
× ＋ × ＝ .所以B、C错误，D正确.
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7. 有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内
装30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意
取出一件，则取到的是优质品的概率是 .
解析：设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”（i＝
1，2），则P（B1）＝P（B2）＝ ，P（A｜B1）＝ ＝ ，P
（A｜B2）＝ ＝ ，利用全概率公式，P（A）＝P（B1）P
（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝ .
　
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8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与
购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量
的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购
买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车
的概率是 .
解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%
＝74%，解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率
是70%.
70%　
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9. 某厂的产品中96%是合格品.现有一验收方法，把合格品判为“合
格品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.
当用此验收方法判一产品为“合格品”时，则此产品为合格品的概
率为 .
0.997 9　
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解析：设“一产品经验收判为合格品”为事件A，“一产品为合格
品”为事件B. 由题知P（B）＝0.96，P（A｜B）＝0.98，P
（ ）＝0.04，P（A｜ ）＝0.05.由贝叶斯公式得P（B｜A）
＝ ＝ ≈0.997
9.故一产品经验收判为“合格品”时，此产品为合格品的概率约为
0.997 9.
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10. 李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会.根据以往的经验，他
骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发
时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故
障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率.
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解：用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P（B｜A）是乘出租车迟到的概率，P（B｜ ）是骑自行车迟到的概率.
根据题意P（A）＝0.01，P（B｜ ）＝0.05，P（B｜A）＝
0.50.
因为A， 互斥，所以AB， B互斥.
利用概率的可加性得到P（B）＝P（AB∪ B）＝P（AB）＋P
（ B）.
因为P（A）＞0，P（ ）＞0，再由概率的乘法公式可知，李老师
迟到的概率是P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）
＝0.01×0.50＋（1－0.01）×0.05＝0.054 5.
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11. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、
2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1
箱.现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱
也是英语书的概率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示
“丢失的1箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文
书”.由全概率公式得P（A）＝ P（Bk）P（A｜Bk）＝
× ＋ × ＋ × ＝ .P（B1｜A）＝
＝ ＝ .故选B.
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12. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析
影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估
计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人
们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为
80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该
支股票将上涨的概率为 .
64%　
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解析：设A＝“利率下调”， ＝“利率不变”，B＝“股票价
格上涨”.依题意知P（A）＝60%，P（ ）＝40%，P（B｜
A）＝80%，P（B｜ ）＝40%，则P（B）＝P（A）P（B｜
A）＋P（ ）P（B｜ ）＝60%×80%＋40%×40%＝64%.
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13. 在通讯渠道中，可传送字符AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假
定传送这三者的概率分别为0.3，0.4，0.3，由于通道噪声的干
扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接收到其它两个字母
的概率均为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，则接收到的
是ABBB的概率为 .
0.019 2　
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解析：设H1表示传送字符AAAA，H2表示传送字符BBBB，H3表
示传送字符CCCC，G表示接收到ABBB. 由题设知，P（H1）＝
0.3，P（H2）＝0.4，P（H3）＝0.3，从而有P（G｜H1）＝
0.6×0.2×0.2×0.2＝0.004 8，P（G｜H2）＝
0.2×0.6×0.6×0.6＝0.043 2，P（G｜H3）＝
0.2×0.2×0.2×0.2＝0.001 6，根据全概率公式得P（G）＝
P（Hi）P（G｜Hi）＝0.3×0.004 8＋0.4×0.043 2＋
0.3×0.001 6＝0.019 2.
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14. 设甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑
球，从甲箱中任意取两球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出
两球，试求：
（1）从乙箱中取出的两球是白球的概率；
解： 因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能：取得两白球，取得一黑球和一白球，取得两黑球，分别用A1，A2，A3表示，则A1，A2，A3即为所求的一个完备事件组.设B表示从乙箱中取出的两球是白球，则有
P（A1）＝ ＝ ，P（A2）＝ ＝ ，P（A3）＝ ＝ ，
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P（B｜A1）＝ ＝ ，P（B｜A2）＝ ＝ ，P（B｜A3）＝0，
由全概率公式得到P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）＝ × ＋
× ＋ ×0＝ .
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（2）在乙箱中取出的两球是白球的条件下，从甲箱中取出的两球
是白球的概率.
解： P（A1｜B）＝ ＝ ＝ .
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15. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼
来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来
了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来
了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一
变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率
为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道
这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是
0.9.已知某个小孩说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说
谎”，则P（B｜A）＝0.1，P（B｜ ）＝0.5，P（A）＝
0.9，P（ ）＝0.1，则P（AB）＝P（A）P（B｜A）＝
0.9×0.1＝0.09，P（ B）＝P（ ）P（B｜ ）＝0.1×0.5
＝0.05，故P（B）＝P（AB）＋P（ B）＝0.14，故P（A｜
B）＝ ＝ ＝ .故选D.
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16. 某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响，且它
们的优质品率分别为0.8，0.7与0.9.已知若三个部件都是优质
品，则组装后的仪器一定合格；若有一个部件不是优质品，则组
装后的仪器不合格率为0.2；若有两个部件不是优质品，则组装后
的仪器的不合格率为0.6；若三个部件都不是优质品，则组装后的
仪器的不合格率为0.9.
（1）求仪器的不合格率；
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解：记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件
不是优质品”，i＝0，1，2，3，显然A0，A1，A2，A3构成
一个完备事件组，
P（B｜A0）＝0，P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝
0.6，P（B｜A3）＝0.9，
P（A0）＝0.8×0.7×0.9＝0.504，
P（A1）＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋
0.8×0.7×0.1＝0.398，P（A3）＝0.2×0.3×0.1＝0.006，
P（A2）＝1－P（A0）－P（A1）－P（A3）＝0.092.
（1）应用全概率公式，有：P（B）＝ P（Ai）P
（B｜Ai）＝0.504×0＋0.398×0.2＋0.092×0.6＋
0.006×0.9＝0.140 2.
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（2）若已发现一台仪器不合格，则它有几个部件不是优质品的概
率最大.
解：应用贝叶斯公式，有：P（A0｜B）＝0，
P（A1｜B）＝ ＝ ，
P（A2｜B）＝ ＝ ，
P（A3｜B）＝ ＝ .
从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质
品的概率最大.
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