【培优方案】7.2　离散型随机变量及其分布列（课件）数学（人教A）选择性必修第三册

(共61张PPT)
7.2　
离散型随机变量及其分布列
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机
变量的概念 数学抽象
2.理解离散型随机变量的分布列，会求某些简
单的离散型随机变量的分布列 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在射击运动中，运动员射击一次，可能出现不中靶，命中1
环，……，命中10环等结果，若用变量X表示他一次射击所命中的
环数.
【问题】　（1）变量X的取值情况如何？
（2）X≥8表示什么含义？
知识点一　随机变量的概念
随机变量 的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点
ω，都有 的实数X（ω）与之对应，称X为
随机变量
离散型随 机变量的 概念 可能取值为有限个或可以 的随机变
量，称为离散型随机变量
表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
唯一　
一一列举　
提醒　离散型随机变量的特征：①可以用数值表示；②试验之前
可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；③试验结果
能一一列出.
【想一想】
1. 所有的随机变量的取值都能一一列举吗？
提示：不一定.
2. 随机变量与函数有什么联系？
提示：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于
函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之
处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的
变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.
知识点二　离散型随机变量的分布列
1. 离散型随机变量的分布列
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，
x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）
＝ ，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列；
（2）表示：离散型随机变量的分布列可以用 表示：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
pi　
表格　
（3）性质：①pi≥ ，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝ .
0　
1　
2. 两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示
“失败”，定义X＝如果P（A）＝p，则P（ ）
＝ ，那么X的分布列如表所示：
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布.
1－p　
提醒　（1）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个
范围内各个值的概率的和；（2）如果随机变量X的试验结果只有两
种可能，且它们的概率之和为1，则是两点分布，否则不是两点分布.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.
（　√　）
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为
随机变量. （　√　）
（3）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量. （　×　）
（4）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可
以为任意的实数. （　×　）
√
√
×
×
2. 若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 3m 2m
则m＝（　　）
A. B.
解析： 　由离散型随机变量分布列的性质可知，2m＋3m＝1，
所以m＝ .
C. D.
3. 抛掷2枚正方体骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试
验结果是（　　）
A. 2枚都是4点
B. 1枚是1点，另1枚是3点
C. 2枚都是2点
D. 1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
解析： 　抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另一枚是y点，其中x，
y＝1，2，…，6.而ξ＝x＋y，ξ＝4 或故选D.
4. 若随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.8，P（X＝1）＝
0.2，令Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝ .
解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0，∴P（Y＝－2）＝
P（X＝0）＝0.8.
0.8　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 随机变量的概念及分类
【例1】　（1）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是
（　AB　）
AB
A. 从10张已编好号码的卡片（从1号到10号）中任取一张，被取出的
卡片的号数
B. 一个袋中装有9个正品和1个次品，从中任取3个，其中所含正品的
个数
C. 某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D. 某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
解析： A项，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出
的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；B项，
从10个产品中取3个产品，所含正品个数的可能取值为3，2，可
以一一列出，符合离散型随机变量的定义；C项，林场树木的高
度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，无法一一
列举，不是离散型随机变量；D项，实际测量值与规定值之间的
差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
（2）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，
任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y，则Y所有可能取值的个
数是（　C　）
A. 25 B. 10
C. 7 D. 6
C
解析： ∵Y表示取出的2个球的号码之和，又1＋2＝3，1＋3＝4，
1＋4＝5，1＋5＝6，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，3＋4＝7，3
＋5＝8，4＋5＝9，故Y的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，
9，共7个.
通性通法
离散型随机变量的判断方法
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的试验结果数量化；
（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果
能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
【跟踪训练】
指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由：
（1）白炽灯的寿命；
解： 不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一
个非负实数，而所有非负实数不能一一列出.
（2）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变
化，该水位站所测水位；
解： 不是离散型随机变量.因为水位在（0，29]这一范围
内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
（3）一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男
同学的个数.
解： 是离散型随机变量.从10个人中取3人，其中男同学人
数的可能取值为0，1，2，3，可以一一列出，符合离散型随机
变量的定义.
题型二 求离散型随机变量的分布列
【例2】　从6名教师中任选3人去参加进修活动，已知这6名教师中，
语文、数学、英语教师各2人.设X表示选出的3人中数学教师的人
数，求X的分布列.
解：由题意，X的可能取值为0，1，2.
P（X＝0）＝ ＝0.2，P（X＝1）＝ ＝0.6，
P（X＝2）＝ ＝0.2.所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.2 0.6 0.2
通性通法
求离散型随机变量的分布列的关键
（1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏；
（2）计算出每一个取值所对应的概率；
（3）用所有概率之和是否为1来检验.
【跟踪训练】
1. 一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.从中任意
摸出两个球，用Y＝0表示“两个球全是白球”，用Y＝1表示“两
个球不全是白球”，求Y的分布列.
解：由题意知P（Y＝0）＝ ＝ ，
P（Y＝1）＝1－P（Y＝0）＝ .
故Y的分布列为
Y 0 1
P
2. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同
的数.设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的分布列.
解：根据题意，X＝0，1，2，3，P（X＝0）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝1）＝ ＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝ ＝ ，
P（X＝3）＝ ＝ ＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
题型三 分布列的性质及应用
【例3】　设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3，
4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
解： ∵ ＋ ＋ ＋ ＝1，
∴a＝10，
则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝ .
（2）P（ ＜X＜ ）.
解： 由a＝10，
得P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）
＝ ＋ ＋ ＝ .
通性通法
分布列的性质及其应用
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，
以保证每个概率值均为非负数；
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围
内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率
加法公式.
【跟踪训练】
　设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：（1）2X＋1的分布列；
（1）2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
｜X－1｜ 1 0 1 2 3
从而由上表得：
（2）｜X－1｜的分布列.
解： X－1｜的分布列为
｜X－1｜ 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
1. 某一随机变量ξ的概率分布如表所示，且m＋2n＝1.2，则m－ ＝
（　　）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A. －0.2 B. 0.2
解析： 　由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，
又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－ ＝0.2.
C. 0.1 D. －0.1
2. 某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成
功次数，则P（X＝1）＝（　　）
A. 0 B.
C. D.
解析： 　设失败率为p，则成功率为2p，分布列如下，由p＋2p
＝1，得p＝ ，所以P（X＝1）＝2p＝ .
X 0 1
P p 2p
3. （多选）下列问题中的随机变量服从两点分布的是（　　）
A. 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B. 某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C. 从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D. 抛掷一枚硬币，出现正面向上的次数为随机变量X
解析： 选项A中随机变量X的可能取值有6个，不服从两点分布.
4. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品
为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机
变量X，则P（ ≤X≤ ）＝ 　 　.
解析：设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有 个，总数为
个，∴X的分布列如下，∴P（ ≤X≤ ）＝P（X＝1）＝ .
X 1 2 3
P
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列叙述中，随机变量X不是离散型随机变量的是（　　）
A. 某座大桥一天经过的车辆数X
B. 某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X
C. 一天之内的温度X
D. 一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0
分，用X表示该射击手在一次射击中的得分
解析： 　A、B、D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中
的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的.
2. 下列表格可以作为ξ的分布列的是（　　）
A.
ξ 0 1 3
P a 1－a
B.
ξ 1 2 3
P － 1
C.
ξ 4 5
P 0 1
D.
ξ －1 1 2
P 2a a2＋2
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解析： 在A中，各概率之和为 ＞1，故A错误；在B中，P（ξ
＝2）＝－ ＜0，故B错误；在C中，满足0≤P≤1以及各概率之和
等于1，故C正确；在D中， ＋2a＋a2＋2＝（a＋1）2＋ ＞1，故
D错误.故选C.
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3. 设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝2）＝（　　）
A. 0.3 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.7
解析： 　由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.P（Y＝
2）＝P（X＝4）＝0.3.
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4. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝3
－4P（X＝1）＝a，则a＝（　　）
A. B.
C. D.
解析： 　因为X的分布列服从两点分布，所以P（X＝0）＋P
（X＝1）＝1.因为P（X＝0）＝3－4P（X＝1）＝a，所以P
（X＝0）＝3－4[1－P（X＝0）]，所以P（X＝0）＝ ，所以a
＝ .
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5. （多选）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗
骰子掷出的点数的差为X，则“X＞3”表示的试验的结果有
（　　）
A. 第一颗为5点，第二颗为1点
B. 第一颗大于4点，第二颗也大于4点
C. 第一颗为6点，第二颗为1点
D. 第一颗为6点，第二颗为2点
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解析： 因为5－1＝4＞3，6－1＝5＞3，6－2＝4＞3，所以
选项A、C、D符合题意；对于B：第一颗大于4点，可以是5点，6
点，第二颗也大于4点，可以是5点，6点，因为5－5＝0＜3，5－6
＝－1＜3，6－5＝1＜3，6－6＝0＜3，所以不符合题意.故选A、
C、D.
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6. （多选）已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列选项正确的是（　　）
A. m＋n＝0.7
B. 若m＝0.3，则P（X＞3）＝0.5
C. 若m＝0.9，则n＝－0.2
D. P（X＝1）＝2P（X＝6）
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解析： 　对于A中，由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1
＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；对于B中，若m＝0.3，可得
n＝0.4，则P（X＞3）＝P（X＝4）＋P（X＝6）＝0.5，所以B
正确；对于C中，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；对
于D中，由P（X＝1）＝0.2，P（X＝6）＝0.1，则P（X＝1）
＝2P（X＝6），所以D正确.故选A、B、D.
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7. 在某次考试中，需回答三个问题，每题回答正确得100分，回答不
正确得－100分，则某名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能
取值是 .
解析：答对0个问题得－300分；答对1个问题得－100分；答对2个
问题得100分；问题全答对得300分.
－300，－100，100，300　
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8. 已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P 1－2q q
则P（ ∈Z）＝ .
解析：由分布列的性质得1－2q≥0， q≥0，且 ＋1－2q＋ q＝
1，解得q＝0.3，∴P（ ∈Z）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝
＋1－2×0.3＝0.9.
0.9　
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9. 由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失（以
“x，y”代替），其分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则x，y的值依次为 .
解析：由0.20＋0.10＋（0.1×x＋0.05）＋0.10＋（0.1＋
0.01×y）＋0.20＝1，得10x＋y＝25.又因为x，y∈{0，1，2，
3，4，5，6，7，8，9}，故x＝2，y＝5.
2，5　
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10. 某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我
国四大文学名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》
与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一
位选手该题得分为X.
（1）求该选手得分不少于6分的概率；
解： 由题意，该选手的得分不少于6分，则该选手的得
分为6分或12分，
可得P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝12）＝ ＝ ，
所以该选手得分不少于6分的概率为P＝P（X＝6）＋P
（X＝12）＝ ＋ ＝ .
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（2）求X的分布列.
解： 根据题意，可得随机变量X的可能取值为0，3，6，12，
则P（X＝3）＝ ＝ ，P（X＝0）＝1－ － ＝ ，
所以随机变量X的分别列为
X 0 3 6 12
P
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11. 随机变量X的概率分布列的规律为P（X＝n）＝
（n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X＝ ）＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　由P（X＝n）＝ ＝ （ －
），可知P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝
4）＝1，即 （1－ ＋ － ＋ － ＋ － ）＝1，得a＝ .∴P
（X＝ ）＝P（X＝2）＝ ×（ － ）＝ .
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12. （多选）口袋中有大小、形状都相同的4个红球和n个白球，每次
从中摸1个球，然后放回口袋中.摸到红球记2分，摸到白球记1分.
共摸球3次，设所得分数为随机变量ξ.若P（ξ＝3）＝ ，则摸
球3次，随机变量ξ的取值可能为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 　由题意知，摸到红球的概率是P1＝ ，摸到白球
的概率是P2＝ ，而ξ＝3表示得3分，即表示3次摸到的都是白
球，所以（ ）3＝ ，解得n＝3，所以ξ的可能取值为3，4，
5，6，故选B、C、D.
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13. 袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1
分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P（ξ≤6）
＝ .
解析：取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1，相应的黑球
的个数为0，1，2，3，其得分ξ＝4，6，8，10，则P（ξ≤6）＝
P（ξ＝4）＋P（ξ＝6）＝ ＋ ＝ .
　
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14. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干
千克A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩
余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数
量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千
克），整理如表所示：
日需求量 140 150 160 170 180 190 200
频数 5 10 8 8 7 7 5
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
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（1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的分布列；
解： n的分布列为
n 140 150 160 170 180 190 200
P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1
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（2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得
的利润为X（单位：元），求X的分布列.
解： 若A水果日需求量为140千克，则X＝140×（15
－10）－（150－140）×（10－8）＝680（元），所以P
（X＝680）＝ ＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克，
则X＝150×（15－10）＝750（元），所以P（X＝750）
＝1－0.1＝0.9.
则X的所有可能取值为680，750，
故X的分布列为
X 680 750
P 0.1 0.9
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15. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有1张一等奖，可获价
值50元的奖品；有3张二等奖，每张可获价值10元的奖品；其余6
张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.求：
（1）该顾客中奖的概率；
解： 记顾客中奖为事件A，则P（A）＝ ＝
＝ ，即该顾客中奖的概率为 .
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（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列.
解： X所有可能的取值为0，10，20，50，60，
且P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝10）＝ ＝ ，
P（X＝20）＝ ＝ ，P（X＝50）＝ ＝ ，
P（X＝60）＝ ＝ ，
故X的分布列如下：
X 0 10 20 50 60
P
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