课时规范练43　空间向量及其运算--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练43　空间向量及其运算
(分值:96分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·江苏南京期中)已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则(a+b)·(a-b)=(　　)
A.11 B.-13 C.45 D.3
2.(2025·江苏南京期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的是(　　)
A.-a+b+c B.-a+b-c
C.-a-b+c D.a-b+c
3.(2025·江苏泰州期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CC1上任意一点,则在平面ABCD上的投影向量为(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·江苏南通模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC=60°,BA⊥CA,AA1=AB=AC=2,M是B1C1的中点,则||=(　　)
A. B.2 C. D.2
5.(2025·广东汕头期末)已知空间向量a=(-3,2,1),b=(2,2,-1),c=(m,10,1),若a,b,c共面,则实数m=(　　)
A.2 B.3 C.13 D.-5
6.(多选题)(2025·江苏连云港期中)关于空间向量a,b,c,下列结论正确的是(　　)
A.若存在实数x,y,使得c=xa+yb,则c与a,b共面
B.若c与a,b共面,则存在实数x,y,使得c=xa+yb
C.若a,b,c共面,则存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0
D.若存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,则a,b,c共面
7.(多选题)(2025·广东广州模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=AB=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,M为B1D1的中点,则(　　)
A.=-
B.
C.||=2
D.<>=120°
8.(2025·江苏泰州期中)已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在基底{a+b,b+c,c}下的坐标为　　　　　.
9.(2025·江苏盐城期中)已知直线l的方向向量为b=(0,-1,1),则向量a=(1,2,3)在直线l上的投影向量坐标为　　　　　.
综 合 提升练
10.(2025·广东汕尾期末)两位游客来到某建筑外的楼梯上拍照留念,此时正好一人站在地面上(点B处),一人站在楼梯斜坡上(点A处),如图所示.现将楼梯斜坡近似看作斜面,斜面与地面的交线记作直线l,通过测量得到以下数据:斜面与地面所成的坡度角为60°,A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧,A点到直线l的距离为AD,测得AD=6 m,B点到直线l的距离为BC,测得BC=2 m,且测得CD=4 m,则A,B两点间的距离为(　　)
A.2 m B. m
C. m D. m
11.(2025·山西临汾一模)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,H为CC1的中点,=λ,λ∈(0,1),若B,D,C1,F四点共面,则λ= (　　)
A. B. C. D.
12.(多选题)(2025·广东潮州期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=1,∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,M,N分别是A1B,B1C1上的点,若BM=BA1,C1N=C1B1,则(　　)
A.cos<>=
B.
C.
D.||=
13.(2025·广东茂名期中)如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使AA'⊥a,且AA'⊥b.已知AF=2,A'E=1,EF=3,则公垂线段AA'的长为　　　　.
14.(13分)(2025·浙江台州期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,∠BAC=.
(1)用表示;
(2)求直线CD与直线AC1所成角的余弦值.
创 新 应用练
15.(15分)(2026·江苏镇江高三模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=,动点M在线段A1D1上(含端点).
(1)求AC1的长;
(2)记AC1与BM所成的角为θ,求θ的最大值并指出此时点M的位置.
参考答案
1.A　解析 因为a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),所以a+b=(-2,7,4),a-b=(-4,-3,6),
所以(a+b)·(a-b)=8-21+24=11.
故选A.
2.B　解析 根据题意,)=-a+b-c.故选B.
3.A　解析 如图,因为CC1⊥平面ABCD,M是棱CC1上任意一点,
所以在平面ABCD上的投影向量为故选A.
4.C　解析 由于)=),所以||==
=
=故选C.
5.D　解析 由空间向量a,b,c共面,得c=xa+yb,即(m,10,1)=x(-3,2,1)+y(2,2,-1),则解得x=3,y=2,m=-5.故选D.
6.AC　解析 若向量a,b共线,易知c与a,b共线,显然共面,若向量a,b不共线,根据平面向量基本定理可知c与a,b共面.
综上所述,c与a,b共面,故A正确;
若向量c与a,b共面,如果a,b共线,c与它们不共线,则不存在实数x,y,使得c=xa+yb,故B错误;
若向量a,b共线,则取x=y=z=0,可得xa+yb+zc=0;
若向量a,b不共线,根据平面向量基本定理可知,存在实数x,y,使得c=xa+yb,
即xa+yb-c=0,可得z=-1.
综上所述,若a,b,c共面,则存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,故C正确;
例如x=y=z=0,对于任意空间向量a,b,c均有xa+yb+zc=0成立,此时无法判断a,b,c是否共面,故D错误.
故选AC.
7.AD　解析 对于A,=-=-,故A正确;
对于B,=(-)=-=-=-,故B错误;
对于C,||=||=,故C错误;
对于D,连接B1C,易得△B1CD1为正三角形,故<>=<>=180°-∠B1CD1=120°,故D正确.
故选AD.
8.(2,1,3)　解析 由题意可得p=2a+3b+4c,设p=x(a+b)+y(b+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c,
则解得所以坐标为(2,1,3).
9.(0,-)　解析 直线l的方向向量为b=(0,-1,1),a=(1,2,3),
则a·b=0-2+3=1,|b|=,则向量a=(1,2,3)在直线l上的投影向量坐标为b=b=(0,-1,1)=(0,-).
10.A　解析 由于,
由于斜面与地面所成的坡度角为60°,故<>=60°,
故=0,=0,
故+2-2-2=36+16+4+0-2×6×2cos 120°-0=68,
因此||=2 m.故选A.
11.D　解析 由平行六面体的特征可得,
则==+,
所以++=(λ-1)+,又,又由B,D,C1,F四点共面,可得存在实数x,y,使=x+y=x()+y()=-y+(x+y)+x,所以解得λ=
故选D.
12.AD　解析 设=a,=b,=c,因为AB=AC=AA1=1,
∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=
因为=a+c,
=b-a+c,
所以=(a+c)·(b-a+c)=a·b+b·c-a2+c2=0,所以不垂直,故B错误;
因为=(a+c)2=a2+c2+2a·c=3,所以||=,
因为=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=3,所以||=,所以cos<>=,故A正确;
因为BM=BA1,C1N=C1B1,
所以)=,
),
所以)=,故C错误;
因为(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c)=(3+2)=,所以||=,故D正确.故选AD.
13　解析 由已知,得=2×1×cos 60°=1,或=2×1×cos(180°-60°)=-1,
设AA'=d>0,因为=0,=0,
所以||2==||2+||2+||2+2+2+2=1+d2+4+0+0+2
当=1时,可得1+d2+4+2=9,解得d=;
当=-1时,可得1+d2+4-2=9,解得d=综上可知,即公垂线段AA'的长为
14.解 (1),
故)=
(2)由(1)知,,两边平方得
=()2
=
因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,AB=AC=AA1=3,
所以,故=0,
=||·||cos=3×3cos,所以=4+9+1-=8,故||=2
因为AC1==3,故||=3,
设直线CD与直线AC1所成角为θ,
=()·()=-9+3=-3,所以cos θ=,
所以直线CD与直线AC1所成角的余弦值为
15.解 (1)设=a,=b,=c,
依题意|a|=|b|=|c|=1,===,则a·b=a·c=c·b=1×1×cos,
由图可知=a+b+c,则||2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+c·b)=1+1+1+2()=6,故AC1的长为
(2)因为动点M在线段A1D1上(含端点),设=t=t,0≤t≤1,
则=-a+tb+c,
则=(a+b+c)·(-a+tb+c)
=-|a|2+t|b|2+|c|2+(t-1)a·b+(t+1)c·b
=t+(t-1)+(t+1)=2t,而||=,||2=(-a+tb+c)2=|a|2+t2|b|2+|c|2-2ta·b+2tc·b-2a·c=t2+2-t+t-1=t2+1,
则||=,
于是cos θ=|cos<>|=,
因为0≤t≤1,则1≤t2+1≤2,则0≤1-,故0≤cos ,
因为0,而函数y=cos x在[0,]上单调递减,故当cos θ=0时,θ取得最大值,此时点M与点A1重合.
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