课时规范练45　利用空间向量求空间角和距离--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练45　利用空间向量求空间角和距离
(分值:79分)
1.(15分)(2025·江苏南京模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,PA=AB=BC=2,AD=1,E是棱PB的中点.
(1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值;
(2)求点B到平面CDE的距离.
2.(15分)(2025·河北沧州模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DD1=3,点P在棱CC1上,且CC1=3CP.
(1)求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值;
(2)求平面PAD1与平面BAD1夹角的余弦值.
3.(15分)(2026·安徽阜阳模拟)如图所示,已知四棱锥E-ABCD中,ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,BE⊥平面ABCD,AB=BC=BE=2AD=6.
(1)求点B到平面CDE的距离;
(2)求二面角A-CD-E的正切值.
4.(17分)(2025·济宁一模)底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,AC与BD交于点O,平面PBD⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD.
(1)证明:PO⊥平面ABCD;
(2)若OA=2OD=2,直线DC与平面PBC所成角的正弦值为,求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
5.(17分)(2025·江苏盐城三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,M为线段PA的中点,连接BM.
(1)证明:BM∥平面PCD.
(2)求M到平面PCD的距离.
(3)线段PD上是否存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.解 (1)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以点A为坐标原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
因为PA=AB=BC=2,AD=1,E是棱PB的中点,AD∥BC,则A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),C(2,2,0),则=(0,1,1),=(1,0,-2).
所以=0×1+1×0+1×(-2)=-2,||=,||=设异面直线AE和PD所成角为θ,则cos θ=|cos<>|=||=
(2)因为D(1,0,0),E(0,1,1),C(2,2,0),所以=(-1,-2,0),=(-1,1,1).设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z),
则取x=2,可得y=-1,z=3,则n=(2,-1,3).
又因为=(0,-1,1),所以点B到平面CDE的距离为d=||=||=||=
2.解 (1)如图,以D为原点,为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,3),P(0,2,1).
则=(-2,2,1),=(0,0,3).
设直线AP与平面ABCD所成角为θ,
易知平面ABCD的一个法向量为=(0,0,3),
所以sin θ=|cos<>|=,
所以直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为
(2)由(1)可得=(-2,0,3),=(-2,-2,3),=(-2,2,1).
设n=(x1,y1,z1)为平面PAD1的一个法向量,则不妨令z1=2,可得n=(3,2,2).
设m=(x2,y2,z2)为平面BAD1的一个法向量,则
不妨令z2=2,可得m=(3,0,2),
则|cos|=,
所以平面PAD1与平面BAD1夹角的余弦值为
3.解 (1)∵BE⊥平面ABCD,AB,BC 平面ABCD,∴BE⊥AB,BE⊥BC,
又∠ABC=∠BAD=90°,∴BE,AB,BC两两互相垂直,
则以点B为坐标原点,BC,BA,BE分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
∵BE=AB=BC=2AD=6,
∴B(0,0,0),E(0,0,6),C(6,0,0),D(3,6,0),A(0,6,0),
=(0,0,6),=(3,6,-6),=(6,0,-6),
设平面ECD的一个法向量n=(x,y,z),
即
令z=1,可得x=1,y=,
∴n=(1,,1),
记点B到平面ECD的距离为d,则d==4,
∴点B到平面ECD的距离为4.
(2)由(1)可知平面ABCD的一个法向量为m==(0,0,6),平面ECD的一个法向量为n=(1,,1),
设二面角A-CD-E的平面角为α,
由图可知α∈(0,),
cos α=|cos|=,
由图知,二面角A-CD-E为锐二面角,
∴二面角A-CD-E的余弦值为,正弦值为,
∴二面角A-CD-E的正切值为
4.(1)证明 因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,AC 平面ABCD,
所以AC⊥平面PBD,因为PO 平面PBD,所以AC⊥PO,
因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,BD 平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,因为PO 平面PAC,所以BD⊥PO,
因为AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)知,AC,PO,BD两两垂直,
以O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
OA=2OD=2,则D(0,-1,0),C(-2,0,0),B(0,1,0),=(-2,1,0),
设P(0,0,t),t>0,则=(0,1,-t),=(2,1,0),设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z),则
令z=2得y=2t,x=-t,故m=(-t,2t,2),
直线DC与平面PBC所成角的正弦值为,即|cos<,m>|=,
解得t=1(负值舍去),则m=(-1,2,2).平面PAC的一个法向量为n=(0,1,0),
设平面PAC与平面PBC的夹角为θ,则cos θ=|cos|=,所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为
5.(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,取PD中点N,连接MN,
由M为PA的中点,且AD=2,BC=1,得MN∥AD∥BC,MN=AD=1=BC,则四边形BCNM为平行四边形,BM∥CN,而CN 平面PCD,BM 平面PCD,所以BM∥平面PCD.
(2)解 取AD的中点O,连接PO,OC,由△PAD为等边三角形,得PO⊥AD,
而平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO 平面PAD,
则PO⊥平面ABCD,由AO=BC=1,AO∥BC,得四边形ABCO是平行四边形,
于是OC∥AB,而AB⊥AD,则OC⊥AD,故直线OC,OD,OP两两垂直,如图,
以O为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,),则=(-1,0,),=(-1,1,0),
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则
取z=1,得n=(,1),
又=(0,1,0),所以B到平面PCD的距离d=,
因为BM∥平面PCD,所以M到平面PCD的距离为B到平面PCD的距离,即
(3)解 令==(0,λ,-),λ∈[0,1],
=(0,1,)+(0,λ,-)=(0,1+λ,),=(1,1,0),设平面EAC的法向量为m=(a,b,c),则
取b=(λ-1),得m=((1-λ),(λ-1),λ+1),
平面DAC的法向量为=(0,0,),
于是|cos<,m>|=,
化简得2λ2-5λ+2=0,又λ∈[0,1],解得λ=,即,所以线段PD上存在点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为
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