课时规范练47　直线的倾斜角与斜率、直线的方程--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练47　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(分值:79分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·安徽黄山期末)直线y=-2的倾斜角为(　　)
A. B.0
C. D.-
2.(2025·湖南模拟)直线x-y+3=0在y轴上的截距为(　　)
A.-3 B.-
C. D.3
3.(2025·重庆期末)直线x-y+1=0的一个方向向量是(　　)
A.1, B.(1,)
C.1,- D.(1,-)
4.(2025·安徽宿州期末)将直线l1:x+5y-1=0绕点(1,0)顺时针旋转得到直线l2,则l2的方程是(　　)
A.x-5y-1=0 B.5x+y-5=0
C.x-y-1=0 D.5x-y-5=0
5.已知直线l的方程为kx-y+2k-2=0(k∈R),若直线l不经过第二象限,则k的取值范围为(　　)
A.(-∞,1] B.[0,+∞)
C.[0,1] D.[1,+∞)
6.(多选题)已知△ABC的三个顶点A(2,-1),B(-2,7),C(-2,1),则下列描述正确的有(　　)
A.直线BC的倾斜角不存在
B.直线AB的斜率为-2
C.边AC所在直线过坐标原点
D.边AB上的中线所在直线的方程为x-y+3=0
7.(2026·江苏宿迁模拟)设直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0,若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,则a=　　　　.
综 合 提升练
8.(2025·江西新余一模)已知直线l的方程为y=(-a2+1)x+b,则直线l的倾斜角的取值范围为(　　)
A.[0,] B.[)
C.[)∪(,π) D.[0,]∪(,π)
9.(2026·重庆模拟)已知点A(3,4),B(-2,-1),若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是(　　)
A.[,+∞)
B.(-∞,]∪[3,+∞)
C.(-∞,0]∪[,3)
D.[,3]
10.若过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是(),则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,2]
B.(0,4)
C.(2,4)
D.(0,2)∪(2,4)
11.已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最大值为　　　　.
12.(13分)已知直线l的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)求证:不论m为何值,直线l必过定点M;
(2)过点M的直线l1分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,当△AOB面积最小时,求△AOB的周长.
创 新 应用练
13.(2025·北京名校高三一轮复习)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间(单位:时)和加工的零件数(单位:件),点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,记Pi为第i名工人在这一天中平均加工的零件数,则Q1,Q2,Q3中的最大值与P1,P2,P3中的最大值分别是(　　)
A.Q1,P1 B.Q1,P2
C.Q2,P1 D.Q2,P2
14.已知点P(2cos 10°,2sin 10°),Q(2cos 130°,2sin 130°),则直线PQ的倾斜角为　　　　.
参考答案
1.B　解析 直线y=-2为平行于x轴的直线,所以倾斜角为0.故选B.
2.C　解析 令x=0,得y=,所以直线在y轴上的截距为故选C.
3.A　解析 直线x-y+1=0的斜率为k=,则该直线的一个方向向量是(1,),而选项B,C,D中对应向量与(1,)不共线.故选A.
4.D　解析 由题意可知,直线l1与l2垂直,直线l1的斜率为-,所以直线l2的斜率为5.又因为l2过点(1,0),所以直线l2的方程为y=5(x-1),即5x-y-5=0.故选D.
5.C　解析 (方法一)直线方程化为斜截式:y=kx+2k-2,斜率存在,且直线l与y轴的交点为(0,2k-2),当k=0时,直线l的方程为y=-2,满足题意;
当k≠0时,直线l不经过第二象限,则点(0,2k-2)在y轴非正半轴上,且斜率k>0,即解得0综上,k的取值范围为[0,1].故选C.
(方法二)直线方程化为点斜式为y+2=k(x+2),所以无论k为何值,直线l都过定点P(-2,-2),过定点P作直线l1平行于x轴,过定点P和O作直线l2,如图所示.
因为直线l不经过第二象限,所以l1和l2是符合条件的临界位置,即0=k=1,所以k的取值范围为[0,1].故选C.
6.BCD　解析 易得直线BC方程为x=-2,则直线BC的倾斜角为90°,斜率不存在,故A错误;直线AB的斜率为kAB==-2,故B正确;因为A(2,-1),C(-2,1),故边AC所在直线的方程为,即y=-,故过坐标原点,故C正确;线段AB的中点坐标为(0,3),又中线过点C(-2,1),则边AB上中线所在直线的斜率为=1,故所求方程为y-1=x+2 y=x+3,即x-y+3=0,故D正确.故选BCD.
7.1或-2　解析 由题意知直线l的方程为(a+1)x+y+1-a=0,当a=-1时,直线为y+2=0,不符合题意,故a≠-1.令x=0,则y=a-1;令y=0,则x=由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,则+a-1=0,解得a=1或a=-2.当a=1时,直线为2x+y=0,直线l在两坐标轴上的截距均为0,符合题意;当a=-2时,直线为x-y-3=0,直线l在x轴、y轴上的截距分别为3,-3,符合题意.
8.D　解析 直线l的斜率为k=-a2+1≤1,设该直线的倾斜角为θ,则tan θ≤1,又因为0≤θ<π,故θ∈[0,]∪(,π).故选D.
9.B　解析 直线l:y=k(x-2)+1过定点P(2,1),而kPA==3,kPB=,由图可知,要使直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k或k≥3,即k的取值范围是(-∞,]∪[3,+∞).故选B.
10.B　解析 当α=时,直线AB的斜率不存在,A,B两点横坐标相等,即m=2;
当α∈()∪()时,直线的斜率存在,则kAB=<-1或kAB=>1,解得011.-　解析 设Q(3,0),则kAQ==-3,kBQ==-,因为P(x,y)是线段AB上的任意一点,所以表示直线PQ的斜率,而kPQ∈[-3,-],故的最大值为-
12.(1)证明 由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,可得m(2x+y-7)+x+y-4=0,
令所以直线l过定点M(3,1).
(2)解 由(1)知,直线l1恒过定点M(3,1),由题意可设直线l1的方程为y-1=k(x-3)(k<0),直线l1与x轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,令x=0,得yB=1-3k;令y=0,得xA=3-所以△AOB的面积S=(1-3k)(3-)=[(-9k)+(-)+6][2+6]=6,当且仅当-9k=,即k=-时等号成立,此时△AOB面积最小,则A(6,0),B(0,2),|AB|==2,故△AOB的周长为6+2+2=8+2所以当△AOB面积最小时,△AOB的周长为8+2
13.A　解析
①因为Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标;Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标;Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标.结合图象可知Q1,Q2,Q3中的最大值为Q1;
②因为Pi为第i名工人在这一天中平均加工的零件数,则Pi为线段AiBi中点与原点连线的斜率,结合图象可知P1,P2,P3中的最大值是P1.故选A.
14.160°　解析 (方法一)设直线PQ的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),
则tan θ=
=
=
=
==-
=-=-tan 20°=tan 160°,
∴直线PQ的倾斜角为160°.
(方法二)由三角函数的定义可知,点P,Q在圆x2+y2=4上,如图所示,设M为直线PQ与x轴的交点,则∠POM=10°,∠QOM=130°,
∴∠POQ=120°,又|OP|=|OQ|,
∴∠OQM=30°,
∴∠QMx=∠QOM+∠OQM=160°,
∴直线PQ的倾斜角为160°.
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