课时规范练48　两条直线的位置关系--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练48　两条直线的位置关系
(分值:82分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·山东菏泽期中)在平面直角坐标系中,点A(3,-2)和点B(-1,1)之间的距离为(　　)
A.2 B.3
C. D.5
2.(2025·山西三模)已知直线l1:ax+y+a=0与l2:(a-4)x-5y-4=0,则“a=5”是“l1⊥l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2026·重庆模拟)若直线x-2ay+1=0与直线(a-1)x+ay-1=0平行,则a=(　　)
A.0 B.或0
C. D.1
4.(2025·江苏连云港模拟)点P(0,-1)关于直线x-y+1=0对称的点Q的坐标是(　　)
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(1,2)
D.(-2,-1)
5.(人A选一教材习题)若 ABCD的四条边所在直线的方程分别是l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0,l4:2x+y+1=0,则 ABCD的面积为(　　)
A.9 B.12
C.15 D.18
6.(多选题)(2025·广西来宾期末)已知直线l:kx+2y-3k-2=0,则下列选项正确的是(　　)
A.当直线l与直线x+2y+2=0平行时,k=1
B.当直线l与直线x+2y+2=0垂直时,k=4
C.当k=2时,直线l的倾斜角为135°
D.原点到直线l的距离的最大值为
7.(2026·河南南阳模拟)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=2x+b上的两点,若|x2-x1|=3,则|AB|=　　　　　.
综 合 提升练
8.(2025·江苏苏州期末)直线x-y-2=0关于直线l:3x-y+3=0对称的直线方程为(　　)
A.7x-y-22=0
B.7x+y+22=0
C.6x-y+22=0
D.6x+y+22=0
9.已知直线l1:y=x和l2:x-2y+1=0的交点为P,则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是(　　)
A.(0,1)
B.(0,1]
C.[0,1)
D.[0,)∪(,1)
10.(多选题)(2025·广东佛山期中)已知三条直线2x+3y+1=0,4x-3y+5=0,x+my-1=0能构成三角形,则实数m的值可能为(　　)
A.- B.-
C.π D.6
11.已知P(m,n)在直线3x+4y+15=0上,则的最小值为　　　　　.
12.(15分)(2025·福建莆田模拟)已知两直线l1:x-y-1=0,l2:x+y-5=0.
(1)求过两直线的交点,且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程.
(2)已知两点A(-1,1),B(0,2).
①判断直线l1与以A,B为直径的圆D的位置关系;
②动点P在直线l1上运动,求|PA|+|PB|的最小值.
创 新 应用练
13.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP=(　　)
A.2 B.1
C. D.
14.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到直线l1,l2的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为　　　　.
参考答案
1.D　解析 点A(3,-2)和点B(-1,1)之间的距离为d==5.故选D.
2.A　解析 由l1⊥l2,则a(a-4)-5=0,解得a=5或a=-1,所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.
3.C　解析 由题意得1×a-(-2a)(a-1)=0,(-2a)×(-1)-a×1≠0,即2a2-a=0,a≠0,解得a=经验证a=符合题意.故选C.
4.B　解析 设Q(a,b),则解得a=-2,b=1.故选B.
5.A　解析 如图,由l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8=0联立得交点C(3,2);
由l1:x-4y+5=0,l4:2x+y+1=0联立得交点B(-1,1);由l2:2x+y-8=0,l3:x-4y+14=0联立得交点D(2,4).由点D到l1:x-4y+5=0的距离d=,|BC|=,
故S ABCD=|BC|×d==9.故选A.
6.ACD　解析 当直线l:kx+2y-3k-2=0与直线x+2y+2=0平行时,,解得k=1,故A正确;当直线l:kx+2y-3k-2=0与直线x+2y+2=0垂直时,k×1+2×2=0,解得k=-4,故B错误;当k=2时,直线l:y=-x+4,斜率为-1,所以倾斜角为135°,故C正确;直线l方程可转化为k(x-3)+2y-2=0,令解得所以直线l过定点M(3,1),则当OM垂直于直线l时,原点到直线l的距离d最大,且kOM=3,则-kOM=-1,解得k=,d的最大值为|OM|=,故D正确.故选ACD.
7.3　解析 因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上,所以y1=2x1+b,y2=2x2+b.
由已知|x2-x1|=3,得|y2-y1|=|(2x2+b)-(2x1+b)|=2|x2-x1|=6,
由两点间的距离公式,得|AB|==3
8.B　解析 联立解得则交点坐标为P(-,-).取直线x-y-2=0上一点A(0,-2),设点A关于直线l:3x-y+3=0的对称点为A'(x',y'),
则由kAA'·kl=-1,且线段AA'的中点在直线l上,得解得故所求直线过点P(-,-),(-3,-1).
所以所求直线方程为y+(x+),
即7x+y+22=0.故选B.
9.C　解析 联立解得即点P的坐标为(1,1),故点P(1,1)到直线l:kx-y+1=0的距离d=
当k=0时,d=0;
当k≠0时,d=
因为+1>1恒成立,于是0综上,点P到直线l的距离的取值范围是[0,1).故选C.
10.AC　解析 若三条直线2x+3y+1=0,4x-3y+5=0,x+my-1=0不能构成三角形,则直线存在以下三种情况:
①当2x+3y+1=0与x+my-1=0平行(或重合)时,则2m=3,解得m=;
②当4x-3y+5=0与x+my-1=0平行(或重合)时,则4m=-3,解得m=-;
③当三条直线交于同一点时,由解得代入x+my-1=0,解得m=6.所以结合选项,实数m的值可能为-,π,A,C正确.故选AC.
11.3　解析 因为表示点P到原点(0,0)的距离,而点P在直线3x+4y+15=0上,所以的最小值即为原点(0,0)到直线3x+4y+15=0的距离d,d==3,所以的最小值为3.
12.解 (1)联立方程解得因为所求直线垂直于直线3x+4y-5=0,所以所求直线的斜率为,故所求直线方程为y-2=(x-3),即4x-3y-6=0.
(2)①以A(-1,1),B(0,2)为直径的圆的方程为圆D:(x+1)x+(y-1)(y-2)=0,整理得(x+)2+(y-)2=,故该圆的圆心为D(-),半径为,故圆心到直线l1的距离为,
故直线l1与圆D的位置关系为相离.
②设点A(-1,1)关于直线l1对称的点为C(m,n),
则解得即C(2,-2),
则|PA|+|PB|=|PB|+|PC|≥|BC|=2,
故|PA|+|PB|的最小值为2
13.D　解析 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
可得B(4,0),C(0,4),故直线BC的方程为x+y=4,则△ABC的重心坐标为(),即(),
设P(a,0),其中0满足解得即P1(4,4-a),易得P关于y轴的对称点为P2(-a,0),由光的反射原理可知P1,Q,R,P2四点共线,直线QR的斜率为k=,故直线QR的方程为y=(x+a),由于直线QR过△ABC的重心(),代入得+a),化简得a=或a=0(舍去),故P(,0),所以AP=故选D.
14.6　解析 以A为坐标原点,过点A且平行于l1的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设B(a,-2),C(b,3)(ab≠0).因为AC⊥AB,所以=0,即ab-6=0,所以ab=6,b=Rt△ABC的面积S==6(当且仅当a2=4时,等号成立),所以△ABC的面积的最小值为6.
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