课时规范练49　圆的方程--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练49　圆的方程
(分值:82分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·北京海淀二模)圆心为(-1,2)且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=2
B.(x+1)2+(y-2)2=2
C.(x-1)2+(y+2)2=4
D.(x+1)2+(y-2)2=4
2.(苏选一教材习题)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(　　)
A.D=E
B.D=F
C.E=F
D.D=E=F
3.已知点M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则实数k的取值范围为(　　)
A.(-6,)
B.(-∞,-6)∪(,+∞)
C.(-6,+∞)
D.(-∞,)
4.(2025·浙江模拟)若P为圆x2+y2=4内的一个动点,且A(-2,0),B(2,0),则|PA|+|PB|的最小值为(　　)
A.2 B.2
C.4 D.4
5.(2026·江苏宿迁模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点M(-1,3),N(2,6),且与x轴相切,则圆心C的横坐标是(　　)
A.-10
B.2或-10
C.-2或10
D.-2
6.(多选题)已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　)
A.圆M的圆心坐标为(1,3)
B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x+y=0对称
D.点(2,3)在圆M内
7.(2026·山东菏泽模拟)已知圆C经过原点和点A(2,1),并且圆心在直线l:x-2y-1=0上,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　.
综 合 提升练
8.(2025·北京海淀一模)已知直线y=ax+b经过圆x2+y2+2x=0的圆心,则a2+b的最小值为(　　)
A.-1 B.-
C.0 D.1
9.(2025·江苏南京模拟)已知圆C:(x-3)2+y2=9,D是圆C上的动点,点E(2,4),若动点M满足=2,则点M的轨迹方程为(　　)
A.(x-)2+(y-2)2=
B.(x-1)2+(y-8)2=9
C.(x-5)2+(y-8)2=9
D.(x-8)2+(y-1)2=9
10.(多选题)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论,其中正确的是(　　)
A.曲线C围成的图形的周长是2π
B.曲线C围成的图形的面积是2π
C.曲线C上的任意两点间的距离不超过2
D.若P(m,n)是曲线C上任意一点,|3m+4n-12|的最小值是
11.已知定点B(3,0),点A在圆x2+y2=1上运动,∠AOB的平分线交线段AB于点M,则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　.
12.(15分)已知圆M经过函数y=x2-6x+5的图象与坐标轴的3个交点.
(1)求圆M的标准方程;
(2)若P为圆N:x2+(y-2)2=1上一动点,Q为圆M上一动点,点A在直线y=-2上运动,求|AP|+|AQ|的最小值,并求此时点A的横坐标.
创 新 应用练
13.(2026·广东模拟)P是圆(x-a)2+=1上的动点,Q是直线y=x-2上的动点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.-1 B.
C.-1 D.
14.(2025·湖南益阳模拟)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=2,M为BC的中点,P为平面ABC内一点,且=0,则(　　)
A.||的最大值为2
B.||的最大值为2
C.的最大值为
D.的最大值为
参考答案
1.D　解析 因为圆心为(-1,2),且与x轴相切,所以半径r=2,则圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4.故选D.
2.A　解析 由题知,圆心(-,-)在直线y=x上,即-=-,∴D=E.故选A.
3.A　解析 因为x2+y2-2x+4y+2k+4=0表示圆,所以(-2)2+42-4(2k+4)>0,解得k<又点M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,所以32+12-6+4+2k+4>0,解得k>-6.
综上,k的取值范围为(-6,故选A.
4.D　解析 由题意知AB为圆的直径,根据两点之间线段最短,∴|PA|+|PB|≥|AB|=4,∴|PA|+|PB|的最小值为4.故选D.
5.B　解析 设圆心C(a,b),半径为r.
因为圆C与x轴相切,则r=|b|.
所以圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2.
因为该圆经过点M(-1,3),N(2,6),
所以
化简得两式相减得b=5-a.
将b=5-a代入①式得a2+8a-20=0,解得a=-10或a=2.
经验证-10,2均符合题意.
故选B.
6.ABD　解析 设△ABC的外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则解得满足D2+E2-4F>0,所以△ABC的外接圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内.故选ABD.
7.(x-)2+(y-)2=　解析 原点O(0,0)和A(2,1)的中点坐标为(1,),线段OA的垂直平分线的斜率为k=-2,所以线段OA的垂直平分线的方程为y=-2x+由得圆心坐标C为(),所以半径的平方r2=|AC|2=因此,圆C的标准方程为(x-)2+(y-)2=
8.B　解析 x2+y2+2x=0可化为(x+1)2+y2=1,故圆心为(-1,0).因为直线y=ax+b经过圆心,则b=a,设函数y=a2+b=a2+a,此二次函数的图象开口向上,对称轴方程为a=-,故其最小值为(-)2-=-故选B.
9.B　解析 设M(x,y),D(a,b),由=2,得所以
又因为点D在圆C:(x-3)2+y2=9上,
所以(4-x-3)2+(8-y)2=9,即(x-1)2+(y-8)2=9.
故选B.
10.AD　解析 当x≥0,y≥0时,曲线C的方程可化为(x-)2+(y-)2=;当x≤0,y≥0时,曲线C的方程可化为(x+)2+(y-)2=;当x≥0,y≤0时,曲线C的方程可化为9x-)2+(y+)2=;当x≤0,y≤0时,
曲线C的方程可化为(x+)2+(y+)2=曲线C如图所示,由图可知,曲线C是四个半径为的半圆围成的图形,即曲线C围成的图形的周长是42×π=2,故A正确;曲线C所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和,从而曲线C所围成图形的面积为4+()2=2+π,故B错误;由图可知,曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半圆的半径与正方形的边长之和,即2+=2>2,故C错误;因为P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离为d=,所以|3m+4n-12|=5d,当d最小时,易知P(m,n)在第一象限内,因为曲线C在第一象限内的部分是圆心为(),半径为的半圆,所以圆心()到3x+4y-12=0的距离d'=,从而dmin=d'-,即|3m+4n-12|min=,故D正确.故选AD.
11.(x-)2+y2=　解析 设A(m,n),则m2+n2=1,设M(x,y),由OM为∠AOB的平分线,可得,即有,可得(x-m,y-n)=(3-x,0-y),即x-m=1-x,y-n=-y,可得m=x-1,n=y,则(x-1)2+(y)2=1,即为(x-)2+y2=
12.解 (1)因为函数y=x2-6x+5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0,5),C(1,0),D(5,0),根据题意,设圆M的圆心坐标为M(3,b),
由|MB|=|MC|,可得,解得b=3,则|MC|=,
故圆M的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=13.
(2)设圆N关于直线y=-2对称的圆为圆E,则圆E的方程为x2+(y+6)2=1.
设A(x,-2),则当A,E,M三点共线时,|AP|+|AQ|取得最小值,且|AP|+|AQ|的最小值为|ME|--1=-1=3-1,此时可得kME=kAE,即,解得x=,故点A的横坐标为
13.C　解析 由题意得,圆(x-a)2+=1的圆心为(a,a2),半径r=1.因为(a,a2)到直线y=x-2的距离d=>1,当且仅当a=时等号成立,所以直线与该圆相离,所以|PQ|的最小值为d-r=-1.故选C.
14.A　解析 以A为坐标原点,AC,AB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,所以A(0,0),M(1,2),C(2,0),B(0,4),设P(x,y),
所以=(1,2),=(2,0),=(x-1,y-2),=(x,y-4),=(x-2,y).因为=0,所以x(x-2)+y(y-4)=0,即x2-2x+y2-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5,
所以P(x,y)为以(1,2)为圆心,为半径的圆上一点.
对于A,=(x,y),所以||=,几何意义为点P(x,y)到原点的距离,所以||的最大值为P(x,y)到原点的距离的最大值,最大值为原点到圆心(1,2)的距离加上半径,即=2,故A正确;
对于B,=(x+1,y-2),||=,几何意义为点P(x,y)到点(-1,2)的距离,所以||的最大值为点P(x,y)到点(-1,2)的距离的最大值,最大值为点(-1,2)到圆心(1,2)的距离加上半径,即=2+,故B错误;
对于C,=x-1+2(y-2)=x+2y-5,令z=x+2y-5,即x+2y-5-z=0,即y=-x+z+,当x+2y-5-z=0与圆相切时有最值,即,解得z=±5,所以z的最大值为5,即的最大值为5,故C错误;
对于D,=2x-2,因为P(x,y)为以(1,2)为圆心,为半径的圆上一点,所以x的最大值为1+,所以的最大值为2(1+)-2=2,故D错误.故选A.
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