课时规范练51　椭圆--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练51　椭圆
(分值:88分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·河北邢台一模)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于4,则椭圆的标准方程是(　　)
A.=1 B.=1
C.+y2=1 D.=1
2.(2023·新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　)
A. B.
C. D.
3.(2025·山西晋城二模)已知F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,P为C上一点,若|PF1|-|PF2|=2,则(　　)
A.|PF2|=2|F1F2|
B.|PF1|=2|F1F2|
C.|PF2|=|F1F2|
D.|PF1|=|F1F2|
4.(2025·河北石家庄三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),且过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,△AF1B的周长为20,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·辽宁省三模)如图,这是一块椭圆形玉璧,采用上好的和田青玉雕琢而成,该椭圆形玉璧长10.2 cm,宽7.1 cm,玉璧中心的椭圆形孔长1.6 cm,宽1.0 cm,设该玉璧的外轮廓为椭圆M,玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆N,则(　　)
A.M的离心率等于N的离心率
B.M的离心率小于N的离心率
C.M的离心率大于N的离心率
D.M与N的离心率无法比较大小
6.(多选题)(2025·山东德州模拟)已知椭圆C:=1的两个焦点分别为F1,F2,P是C上任意一点,则(　　)
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
7.(多选题)(2025·浙江台州质检)如图,是由两个平行平面截半径为2 cm且足够高的圆柱体所得的几何体,截面与圆柱体的轴成45°,上、下截面间的距离为 cm.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究,得出下列四个结论,其中正确的是(　　)
A.截口曲线的离心率为
B.该几何体的体积为8π cm3
C.该几何体的侧面积为8π cm2
D.该几何体的上截面面积为4π cm2
8.(2025·河南郑州三模)若直线x+2y-2=0经过椭圆=1(a>0,b>0,a≠b)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为　　　　　　　　.
综 合 提升练
9.(2025·山西太原一模)已知△ABC的三条边长分别为3,4,5,△ABC的两个顶点是椭圆E的焦点,其另一个顶点在椭圆E上,则E的离心率的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
10.(2025·广东梅州一模)已知A,B,F分别是椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点、上顶点和右焦点,若过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
11.(多选题)(2025·山西临汾二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A,B为椭圆C上关于原点对称的两点,且|AB|=|F1F2|,则(　　)
A.AF1⊥AF2
B.四边形AF1BF2的周长为4a
C.四边形AF1BF2的面积为b2
D.椭圆C的离心率的取值范围为[,1)
12.(2025·江西新余二模)已知点P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的动点,若A(1,0),则|PA|的最小值为　　　　　.
13.(15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,且=0.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若射线AF1与C交于点B,且|AB|=,求△ABF2的周长.
创 新 应用练
14.(2025·河北秦皇岛一模)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图,F1,F2为椭圆E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,中心为原点,椭圆E的面积为π,直线x=4上一点P满足△F1PF2是等腰三角形,且∠F1F2P=120°,则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
15.(2025·河南濮阳一模)椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用,它经常被用来制作精密的光学仪器的部件.椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴,把椭圆转动180°形成的立体图形,其内表面全部做成反射面、中空,椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处.从椭球面镜的焦点F1射出的两条光线,经椭球面镜上的A,B两点反射后会聚于焦点F2,若3=2,且|AF1|=2|AF2|,则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为　　　　　.
参考答案
1.A　解析 由题意得解得所以椭圆方程为=1.故选A.
2.A　解析 由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,∴e1=
在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,∴e2=
∵e2=e1,,解得a=故选A.
3.D　解析 由题意可知,F1(-2,0),F2(2,0),所以|F1F2|=4.由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=6,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1|=|F1F2|.故选D.
4.B　解析 因为△AF1B的周长为20,所以|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20,即a=5,又因为c=3,所以椭圆C的离心率为故选B.
5.B　解析 依题意可得M的长轴长为10.2 cm,短轴长为7.1 cm,N的长轴长为1.6 cm,短轴长为1.0 cm.因为0.696,=0.625,所以
又e=,所以越大,离心率越小,所以M的离心率小于N的离心率.故选B.
6.BD　解析 已知椭圆C:=1,则长半轴长a=4,短半轴长b=2,半焦距c==2,所以e=,故A错误;△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12,故B正确;|PF1|的最小值为a-c=4-2=2,故C错误;|PF1|·|PF2|≤()2=()2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,故D正确.
7.BCD　解析 因为截面与圆柱体的轴成45°,且圆柱体底面半径为2 cm,故截面椭圆长轴长为2a==4,短轴长为2b=4,故c==2,故e=,故A错误;因为上、下截面间的距离为 cm,所以AB==2 cm,将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置,则正好是底面半径为2 cm、高为2 cm的圆柱,则V=π×22×2=8π cm3,故B正确;同样以选项B的方法割补,侧面积即为底面半径为2、高为2的圆柱的侧面,S=2π×2×2=8π cm2,故C正确;利用椭圆的面积公式S=πab=4 cm2,故D正确.故选BCD.
8　解析 直线x+2y-2=0与坐标轴的交点为(2,0)和(0,1),若(2,0)是椭圆的一个焦点,(0,1)是椭圆的一个顶点,此时椭圆的焦点在x轴上且c=2,b=1,所以a2=b2+c2=5,a=,离心率e=;若(0,1)是椭圆的一个焦点,(2,0)是椭圆的一个顶点,此时椭圆的焦点在y轴上且c=1,b=2,所以a2=b2+c2=5,a=,离心率e=,所以椭圆的离心率为
9.C　解析 已知△ABC的三条边长分别为3,4,5,因为32+42=52,所以△ABC是直角三角形.△ABC的两个顶点为椭圆E的焦点,另一个顶点在椭圆E上,分三种情况.情况一:若焦距2c=3,则椭圆上一点到两焦点距离之和2a=4+5=9,此时离心率e1=;
情况二:若焦距2c=4,则椭圆上一点到两焦点距离之和2a=3+5=8,此时离心率e2=;
情况三:若焦距2c=5,则椭圆上一点到两焦点距离之和2a=3+4=7,此时离心率e3=所以椭圆E的离心率的最大值为故选C.
10.B　解析 由已知可得A(a,0),B(0,b),F(c,0),线段AF的垂直平分线方程为x=因为过A,B,F三点的圆恰与y轴相切,所以圆心坐标为(,b),圆的半径为,所以经过A,B,F三点的圆的方程为(x-)2+(y-b)2=()2.因为A(a,0)在圆上,所以(a-)2+(0-b)2=()2,整理得b2=ac,所以a2-c2=ac,所以c2+ac-a2=0,化为e2+e-1=0,由011.ABD　解析 由题意得线段AB,F1F2互相平分,又|AB|=|F1F2|,则四边形AF1BF2是矩形,设椭圆C的半焦距为c.对于A,AF1⊥AF2,A正确;
对于B,四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,B正确;
对于C,四边形AF1BF2的面积为2=|AF1||AF2|==2a2-2c2=2b2,C错误;
对于D,由以原点为圆心,c为半径的圆与椭圆有公共点,得c≥b,即c2≥b2=a2-c2,解得,即离心率e∈[,1),D正确.故选ABD.
12　解析 由题意得-x0,且=1-,所以|PA|=,当x0=时,|PA|取得最小值
13.解 (1)依题意可得上顶点A(0,b),左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),所以=(-c,-b),=(c,-b).又=0,所以=-c2+(-b)2=0,即b2=c2,即a2-c2=c2,所以a2=2c2,所以离心率e=
(2)由(1)可得b=c,a=c,则椭圆C的方程为=1,射线AF1的方程为y=x+b=x+c(x≤0),联立整理可得3x2+4cx=0,解得x=0或xB=-c,则yB=-c,即B(-c,-c),所以|AB|=c=,解得c=,则a=2,所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8.
14.B　解析 由题可知,=πab,即ab=,因为△F1PF2是以∠F1F2P=120°为顶角的等腰三角形,则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30°,∠F2PA=30°,所以|PF2|=2|AF2|=2(4-c)=8-2c,又因为|F1F2|=2c,即2c=8-2c,解得c=2,
可得解得故离心率为e=故选B.
15　解析 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,短轴长为2b,设|AF2|=2t,则|AF1|=2|AF2|=4t,|BF2|=3t,由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=6t,|BF1|+|BF2|=2a=6t,所以|BF1|=3t,因为|AF1|=4t,|BF1|=3t,|AB|=|AF2|+|BF2|=5t,所以AF1⊥BF1,又|BF1|=|BF2|=3t,所以B为椭圆的短轴端点.设O为椭圆的中心,因为cos∠F1BF2==1-2sin2∠OBF2,所以sin∠OBF2=,又在Rt△OBF2中,OB⊥OF2,|OB|=b,|OF2|=c,所以|BF2|==a,所以sin∠OBF2=
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