课时规范练52　双曲线--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练52　双曲线
(分值:88分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·八省联考)双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　)
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±3x
D.y=±4x
2.(2025·辽宁丹东期末)双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为(　　)
A. B.2
C.2 D.1
3.(2025·福建厦门一模)已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1,则C的焦距为(　　)
A. B.2
C.2 D.4
4.(2025·河南焦作三模)若双曲线C:=1上的点A到点(5,0)的距离为4,则点A到点(-5,0)的距离为(　　)
A.14 B.12
C.10 D.8
5.(2025·深圳一调)已知双曲线E的中心为原点,焦点在x轴上,两条渐近线夹角为60°,且点(1,1)在E上,则E的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.或2
6.(多选题)(2025·河北邢台一模)已知双曲线C:=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|F1F2|=2e(e为C的离心率),则(　　)
A.a=1
B.C的虚轴长为2
C.e=
D.C的一条渐近线的斜率为
7.(2025·广东佛山二模)焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
8.(2025·广东汕头一模)过双曲线=1的右焦点作倾斜角为30°的直线l,直线l与双曲线交于不同的两点A,B,则AB的长为　　　　　.
综 合 提升练
9.(2025·广东广州一模)已知点P在双曲线C:=1(a>0,b>0)上,且点P到C的两条渐近线的距离之积等于,则C的离心率为(　　)
A.3 B.2
C. D.
10.(多选题)(2025·河北承德期末)已知F1,F2分别是双曲线W:=1(a>0)的上、下焦点,过F1的直线l与双曲线W的上支交于A,B两点,AB的长等于实轴长的2倍,且AB⊥AF2,则(　　)
A.W的焦距为4
B.W的渐近线方程为y=±x
C.|AF2|=|BF1|=3
D.△ABF2的周长为12
11.(2025·江西鹰潭二模)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在E的左支上,过点M作E的一条渐近线的垂线,垂足为N,则当|MF2|+|MN|取最小值12时,△F1NF2面积的最大值为　　　　　.
12.(2025·江苏苏锡常镇二模)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4.若C和抛物线y2=x交于A,B两点,且△OAB为等边三角形,则C的离心率为　　　　　.
13.(15分)(2026·江苏南京高三模拟)已知双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=4.过F2的直线l与C交于A,B两点.
(1)求C的方程;
(2)若A,B均在C的右支上(A在第一象限),且△ABF1的周长为16,求l的方程.
创 新 应用练
14.(多选题)(2025·全国2,11)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　　)
A.∠A1MA2=
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为
D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8
15.(2025·河南郑州质检)设F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且斜率为-的直线l与C的右支交于点A,与C的左支交于点B,点D满足=0,则双曲线C的离心率为　　　　　.
参考答案
1.C　
2.A　解析 由=1,可得其渐近线方程为y=±x,顶点坐标为(±2,0),由对称性,取顶点(2,0),渐近线x+y=0,由距离公式可得顶点到其渐近线的距离为故选A.
3.C　解析 设等轴双曲线的焦距为2c,其中一个焦点坐标为(c,0),渐近线方程为y=x.因为焦点到其渐近线的距离为=b=1,又因为a=b,所以c=,则双曲线的焦距为2故选C.
4.B　解析 由题意可知,a2=16,b2=9,则c2=25,则双曲线C的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8或|AF1|-|AF2|=8,且|AF2|=4,故|AF1|=12.
5.C　解析 由题意,设双曲线E的方程为=1(a>0,b>0).因为两渐近线的夹角为60°,所以又点(1,1)在E上,所以=1,所以b2>a2,所以,所以e==2.
6.AB　解析 由C:=1(a>0),知F1(-2a,0),F2(2a,0),e==2,由|F1F2|=2e,得4a=4,即a=1,3a2=3,所以C的虚轴长为2,故A,B正确,C错误;由C的渐近线方程为y=±x,得两条渐近线的斜率分别为,-,故D错误.故选AB.
7.x2-=1　解析 由题意得c2=4,可设双曲线的标准方程为=1,将点(2,3)代入方程可得=1,解得a2=1或a2=16(舍去),从而b2=4-a2=3,所以双曲线的标准方程为x2-=1.
8　解析 设双曲线=1的右焦点为F2,由题意知F2(3,0),所以直线l的方程为y=(x-3).由得5x2+6x-27=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=
9.D　解析 设点P(x0,y0),则=1,即b2-a2=a2b2.双曲线C的两条渐近线方程分别为bx+ay=0,bx-ay=0,则点P到C的两条渐近线的距离之积为d1·d2=,由题得,所以a2=b2,则C的离心率e=故选D.
10.CD　解析 由题意得|AB|=2×2a=4a,由双曲线定义得|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a=8a.
由AB⊥AF2,得+|AB|2=,即=16a2.
由
解得
所以|AF1|=a.
由,得4c2=4a2+36=10a2,得a=,c=,所以W的焦距为2c=2,渐近线方程为y=±x,|AF2|=|BF1|=3,故A,B错误,C正确;
又△ABF2的周长为4a+8a=12a=12,故D正确.
故选CD.
11.18　解析 由题意得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,如图,点F1(-c,0)到渐近线bx+ay=0的距离|F1N|==b,则|MF2|+|MN|=|MF1|+2a+|MN|≥|F1N|+2a≥b+2a,
当且仅当M,F1,N三点共线时等号成立,所以|MF2|+|MN|的最小值为b+2a=12,所以12≥2,即ab≤18,当且仅当b=6,a=3时等号成立,又|OF1|=c,故|ON|==a,所以=2=2|NF1|×|NO|=ab≤18,即△F1NF2面积的最大值为18.
12　解析 由对称性知A,B关于x轴对称,不妨设点A在第一象限,△AOB为等边三角形,如图,由等边三角形的对称性可知A,B为y=±x与抛物线的交点,联立得x=3或x=0(舍去),当x=3时,y=,故A(3,).设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),则2c=4,解得c=2,又(3,±)在双曲线上,所以所以故离心率为e=
13.解 (1)因为|F1F2|=4 2c=4,所以c=2,
又c2=2a2,所以a2=2.
所以双曲线C的方程为x2-y2=2.
(2)因为A,B均在C的右支上,且△ABF1的周长为16,所以|AB|+|AF1|+|BF1|=16|AB|+|AF2|+2+|BF2|+2=16|AB|=6
如图.
因为F2(2,0),设直线l:x=ty+2,代入x2-y2=2得(ty+2)2-y2=2,
整理得(t2-1)y2+4ty+2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B均在C的右支上,所以t2-1≠0,且y1y2=<0,所以t2<1,y1+y2=-,所以-4y1y2=,
所以|AB|=|y1-y2|==6,解得t2=,所以t=±,所以直线l的方程为x=±y+2,即x±y-2=0.
14.ACD　解析 因为A1A2与MN互相平分,所以四边形A1MA2N是平行四边形,所以∠A1MA2=π-∠NA1M=π-,A正确;以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x,由设M(a,b),N(-a,-b),又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2.在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=,所以|MA1|∶|MA2|=2,所以B错误;所以|A1M|=,由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,所以e=,所以C正确;因为当a=时,c2=26,从而b2=24,即b=2,所以=2=2·2a·b=2ab=22=8,所以D正确.故选ACD.
15　解析 由,得D为AB的中点.
又=0,所以F1D⊥AB,所以|AF1|=|BF1|.设|AF1|=|BF1|=m,由双曲线的定义,得|BF2|=2a+m,|AF2|=m-2a,所以|AB|=|BF2|-|AF2|=4a,从而|AD|=|AB|=2a,所以|DF2|=|AD|+|AF2|=m.由直线l的斜率为-,得tan∠AF2F1=,则cos∠AF2F1=在Rt△DF1F2中,|DF2|=|F1F2|cos∠AF2F1,即m=2cc.在△AF1F2中,由余弦定理,得|AF1|2=|F1F2|2+|AF2|2-2|F1F2|·|AF2|·cos∠AF2F1,即(c)2=4c2+(c-2a)2-2·2c·(c-2a),整理得25a2-7c2=0,解得,所以e=
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