课时规范练53　抛物线--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练53　抛物线
(分值:87分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·山东济南一模)抛物线y=x2+2x+2的焦点坐标为(　　)
A.(-1,)
B.(-1,)
C.(1,)
D.(1,)
2.(2025·河南开封二模)抛物线y=-x2的准线方程为(　　)
A.y=1
B.y=-1
C.x=
D.x=-
3.(2025·河北石家庄二模)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
4.(2025·安徽亳州期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线2x-y-4=0与C交于P,Q两点,则△FPQ的面积为(　　)
A.2 B.3
C.6 D.8
5.(2025·河北张家口一模)已知抛物线C:x2=y的焦点为F,过点F的直线l交C于P1,P2两点,若l的一个方向向量为(1,tan α),α∈(0,),则|P1P2|=(　　)
A.1+cos2α B.1+sin2α
C.1+tan2α D.
6.(多选题)(2025·安徽蚌埠一模)已知点P在抛物线y2=2px(p>0)上,点M坐标为(2,0),O为坐标原点.若△OPM是等腰直角三角形,则p的值可以为(　　)
A.4 B.2
C.1 D.
7.(2025·福建莆田二模)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶O离水面3 m,水面宽6 m.水面上升1 m后,水面宽度是　　　　　m.
8.(2025·江苏苏锡常镇一模)已知抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-8y的焦点分别为F1,F2,一条平行于y轴的直线分别与C1,C2交于A,B两点.若|AF1|=|BF2|,则四边形AF1F2B的周长为　　　　.　　　　
综 合 提升练
9.(2025·北京大兴三模)已知P(x,y)是准线为l的抛物线x2=4y上的一个动点,PM⊥l于点M,点Q(2,0),则|PM|+|PQ|的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2025·福建厦门二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一动点,M为PF的中点,O为坐标原点,则tan∠MOF的最大值为(　　)
A. B.1
C. D.2
11.(多选题)(2025·浙江杭州期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴交于点A,M为抛物线上的点,且满足|OM|=|OF|(O为坐标原点),过点M作l的垂线,垂足为N,AM与NF交于点Q,则(　　)
A.直线NF的斜率为定值
B.tan∠MFA=2tan∠NFA
C.cos∠MFA=
D.
12.(2025·河南许昌二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为k的直线交C于A,B两点,若=1,则C的准线方程为　　　　　　.
13.(15分)(2026·江苏南通高三模拟)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点(点A在第一象限).
(1)若∠AFO=120°,|AF|=4,求p的值;
(2)设点M为抛物线准线与x轴交点,求kMA+kMB.
创 新 应用练
14.(2025·山西太原期末)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线y=k(x-1)交该抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则△OAB(O是坐标原点)的面积为(　　)
A.2 B.2 C. D.
15.(2025·山东临沂2月模考)点M(x1,m)在直线y=nx+n(n∈N*)上,点N(x2,m)在抛物线y2=4x上,记M,N两点间的最小距离为dn(M,N),若ai=a1a2a3…an,则dn(M,N)=　　　　　.
参考答案
1.B　解析 y=(x+1)2+1,因为y=x2的焦点为(0,),所以y=(x+1)2的焦点为(-1,),则y=(x+1)2+1的焦点为(-1,).故选B.
2.A　解析 由y=-x2可得x2=-4y,抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且p=2,故其准线方程为y==1.故选A.
3.D　解析 设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+=12.因为点A到y轴的距离为9,即xA=9,所以12=9+,解得p=6.故选D.
4.B　解析 (2x-4)2=4x x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.由图,P(4,4),Q(1,-2),则|PQ|==3
又由题可得F(1,0),则点F到直线PQ的距离为d=,则△FPQ的面积为|PQ|·d=3=3.故选B.
5.C　解析 由题得F(0,),所以直线l的方程为y=xtan α+,代入C:x2=y得4x2-4xtan α-1=0,
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=tan α,x1x2=-,所以y1+y2=x1tan α+x2tan α+=tan2α+,所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=y1+y2+=tan2α+1.
6.CD　解析 因为点M(2,0),O(0,0),点P在抛物线y2=2px上,故点O不可能是直角顶点.当∠PMO=90°时,因为△OPM是等腰直角三角形,所以PM=OM=2.则xP=2,将其代入y2=2px,得y2=4p,即y=±2由题意2=2,解得p=1.当∠OPM=90°时,因为△OPM是等腰直角三角形,所以OP=PM.
因为M(2,0),故xP=yP=1,即P(1,1),代入y2=2px,解得p=
综上,p的值可以为1或故选CD.
7.2　解析 以拱桥顶点为原点,建立如图所示平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意,抛物线过点(3,-3),所以2p==3,所以抛物线方程为x2=-3y.水面上升1 m,则y=-2,此时x2=6,解得x=-或x=所以水面宽度为2 m.
8.12　解析 (方法一)设直线AB的方程为x=t(t≠0),则A(t,),B(t,-),|AF1|=+1,|BF2|=+2.因为|AF1|=|BF2|,所以+1=+2,解得t=±2,所以|AF1|=|BF2|=3.又|F1F2|=1+2=3,|AB|==3,所以四边形AF1F2B的周长为12.
(方法二)设A(x1,y1),B(x1,y2),则所以y1=-2y2.由抛物线定义可得|AF1|=y1+1,|BF2|=2-y2.由|AF1|=|BF2|可得y1+1=2-y2,即y1+y2=1.所以所以|AF1|=|BF2|=3.又F1(0,1),F2(0,-2),则|F1F2|=3,|AB|=|y1-y2|=3,所以四边形AF1F2B的周长为|AF1|+|BF2|+|F1F2|+|AB|=3×4=12.
9.C　解析 由题意,抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),
由抛物线的定义可得|PM|=|PF|,
则|PM|+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|QF|==3,当且仅当F,P,Q三点共线时等号成立,即|PM|+|PQ|的最小值是3.故选C.
10.B　解析 当P为原点时,tan∠MOF=0,如图,由对称性不妨设点P在第一象限,设P(,t),t>0,而F(1,0),则M(),因此tan∠MOF==1,当且仅当t=2时等号成立,所以tan∠MOF的最大值为1.故选B.
11.ACD　解析 设∠MFO=θ,因为|OM|=|OF|,所以θ∈(0,),如图,则|MF|=|MN|=|AF|-|MF|sin(-θ),所以|MF|==2|OF|·cos θ=pcos θ cos2θ+cos θ-1=0,显然θ为定值,即∠MFO为定值,又∠MFN=∠MNF=∠NFO,所以∠NFO=,也为定值,故直线NF的斜率为定值.
由A选项可知,∠MFA=2∠NFA,所以tan∠MFA=tan 2∠NFA=,又∠NFA∈(0,),所以1-tan2∠NFA∈(0,1),显然B错误.由A选项知,NF为∠MFA的平分线,则=cos θ=cos∠MFA.由|OM|=|OF|=|OA|知,∠AMF=,故∠NAM=∠MFA=θ,所以=cos θ.易知△NQM∽△FQA,故cos θ=,所以故选ACD.
12.x=-1　解析 易知F(,0),直线AB的方程为y=k(x-)(k≠0),
由得k2x2-(k2+2)px+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以=1,解得p=2,所以C的准线方程为x=-1.
13.解 (1)因为点A在第一象限,∠AFO=120°,则p>0,焦点F(,0),准线方程为x=-,kAB=,所以设点A(xA,),B(xB,-),直线lAB:y=(x-),联立得12x2-20px+3p2=0,解得xA=,xB=,由|AF|=xA+=2p=4,得p=2.
(2)由题知焦点F(,0),点M(-,0),设点A(,y1),B(,y2),直线lAB:x=my+,联立得y2-2mpy-p2=0,所以y1+y2=2mp,y1y2=-p2,
则kMA+kMB==2p()=2p=2p=2p=0.
综上,kMA+kMB的值为0.
14.B　解析 因为直线y=k(x-1)过定点(1,0),抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(,0),所以=1,解得p=2,所以抛物线为y2=4x,联立消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.因为直线y=k(x-1)交该抛物线于A,B两点,所以设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=2+,又|AB|=8,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8,所以x1+x2=6,所以2+=6,解得k=±1,所以直线AB的方程为y=±(x-1),即y=±(x-1),所以O(0,0)到直线AB的距离d=,所以△OAB的面积为|AB|·d=8=2故选B.
15　解析 已知点M(x1,m)在直线y=nx+n(n∈N*)上,则将点M代入直线方程可得m=nx1+n.①
点N(x2,m)在抛物线y2=4x上,则将点N代入抛物线方程可得m2=4x2.②
因为M,N两点纵坐标相同,所以|MN|=|x2-x1|.
由①可得x1=,由②可得x2=,则|MN|=
令t=,则|MN|=
因为(t-)2≥0,所以当t=时,|MN|取得最小值,|MN|min=因为n∈N*,所以1-0,则dn(M,N)=|MN|min=1-
dn(M,N)=…,可以发现上式中相邻两项的分子分母可以约分,约分后可得dn(M,N)=
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