课时规范练54　直线与圆锥曲线的位置关系--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练54　直线与圆锥曲线的位置关系
(分值:94分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
2.(2025·重庆沙坪坝期末)点A,B的坐标分别是(-2,0),(2,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-,则点M的轨迹方程是(　　)
A.=1(x≠±2)
B.=1(x≠±2)
C.=1(x≠±2)
D.=1(x≠±2)
3.(2025·北京通州一模)已知点F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|=(　　)
A.16 B.6 C. D.4
4.(2025·北京海淀二模)已知A(-2,0),B(2,0).若动点P满足|PA|-|PB|=2,则P的轨迹的方程为(　　)
A.x2-=1
B.x2-=1(x≤-1)
C.-x2=1
D.x2-=1(x≥1)
5.(2025·山东滨州模拟)已知M(4,2)是直线l被椭圆x2+4y2=36所截得的线段AB的中点,则直线l的方程为(　　)
A.2x+y-8=0 B.x+2y-8=0
C.x-2y-8=0 D.2x-y-6=0
6.(多选题)(2025·浙江温州期中)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),点M是平面内的一个动点,则下列说法正确的是(　　)
A.若|||-|||=1,则点M的轨迹是双曲线
B.若||+||=2,则点M的轨迹是椭圆
C.若||=||,则点M的轨迹是一条直线
D.若=2,则点M的轨迹是圆
7.(2026·江西模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点,若|FA|=2|FB|=6,则p=　　　　　.
8.(15分)(2025·全国2,16)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求C的方程;
(2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|.
综 合 提升练
9.(2026·安徽阜阳高三模拟)已知椭圆C:=1的左焦点为F1,不经过F1且斜率为的直线交C于A,B两点.当△F1AB的周长最大时,|AB|=(　　)
A. B. C. D.
10.(2025·浙江宁波期中)已知椭圆=1(a>b>0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且线段AB的中点为M(1,),则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
11.(2025·广东一模)F1,F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点,A,C两点在双曲线上且关于原点对称(点A在第一象限),直线CF2与双曲线的另一个交点为点B,若|AF1|-|BF2|=6,则△ABC的面积为　　　　　.
12.(17分)(2025·浙江嘉兴一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),并且经过点A(2,4).
(1)求C的方程;
(2)过点F2的直线交双曲线的右支于M,N两点(点M在第一象限),过点M作直线x=的垂线,垂足为D.
①求证:直线DN经过定点;
②记△ODN的面积为S,求S的取值范围.
创 新 应用练
13.(多选题)(2025·宁夏银川三模)已知椭圆E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与E交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)
A.|AB|∈[,6]
B.若|AF1|=2|BF1|,则|AB|=5
C.若直线l与y轴的交点P是线段AF1的中点,则△AOF1的面积为
D.若直线l与y轴的交点P是线段AF1的中点,直线m与椭圆相切于点A,过点A且与直线m垂直的直线n与椭圆的长轴交于点Q,则|QF1|∶|QF2|=13∶5
14.(2025·江苏苏州期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知与双曲线C:=1的渐近线不平行的直线l1与C有且仅有一个公共点T(4,3),直线l2∥OT且与C交于A,B两点,l1与l2交于点P,则=　　　　　.
参考答案
1.C　解析 由题知直线l恒过定点(0,-1),因为<1,所以该点在椭圆C:=1内部,所以直线l与椭圆C相交.故选C.
2.B　解析 设M(x,y),因为A(-2,0),B(2,0),所以kAM=(x≠-2),kBM=(x≠2),由已知,=-,化简得=1(x≠±2).故选B.
3.C　解析 由题意可得,抛物线的焦点F(1,0),由直线的倾斜角为,可知直线AB的斜率为,∴直线AB的方程为y=(x-1),不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程可得3x2-10x+3=0,则x1+x2=,由抛物线的定义可知,|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=故选C.
4.D　解析 ∵A(-2,0),B(2,0),动点P满足|PA|-|PB|=2<|AB|=4,∴动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,设该双曲线方程为=1(a>0,b>0,x≥a),∵|PA|-|PB|=2=2a,解得a=1,c=2,b=,∴点P的轨迹的方程为x2-=1(x≥1).故选D.
5.B　解析 当直线l的斜率不存在时,由对称性可知l被椭圆截得线段AB的中点在x轴上,不合题意,所以直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y-2=k(x-4),代入椭圆方程x2+4y2=36化简得,(1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0,易知Δ>0,x1+x2==8,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.故选B.
6.ACD　解析 因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.对于A,因为|||-|||=1<|AB|,所以点M是以A,B为焦点的双曲线,故A正确;对于B,因为||+||=2=|AB|,所以点M的轨迹为线段AB,故B错误;对于C,设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),因为||=||,所以,整理得x=0,所以点M的轨迹是一条直线,故C正确;对于D,因为=(-1-x)(1-x)+(-y)2=2,即x2+y2=3,所以点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,故D正确.故选ACD.
7.4　解析 如图,设直线AB与准线交于点H,分别过点A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,且准线与x轴的交点为F1,则由抛物线的定义可知,|AA1|=|AF|=6,|BB1|=|BF|=3,则,即,得|BH|=9,又,则,得p=4.
8.解 (1)由题意,2a=4,a=2,又e=,所以c=,b=,故椭圆C的方程为=1.
(2)设P(0,-2),显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx-2.
由消去y并整理得(2k2+1)x2-8kx+4=0,由题意Δ=64k2-4×4(2k2+1)>0,即k2>设点A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1x2>0,
x1+x2=,x1x2=则S△OAB=|S△OAP-S△OBP|=|OP||x1-x2|=,即|x1-x2|=,
所以(x1-x2)2=2,即(x1+x2)2-4x1x2=2,即()2-=2,解得k2=,符合题意.
则|AB|=|x1-x2|=
9.C　解析 椭圆=1的左焦点F1的坐标为(-1,0),则椭圆的右焦点F2的坐标为(1,0),由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,
所以△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4-|AF2|+4-|BF2|+|AB|=8+|AB|-|AF2|-|BF2|,
又|AF2|+|BF2|≥|AB|,所以|AF1|+|BF1|+|AB|≤8,当且仅当F2在线段AB上时等号成立,所以当直线AB过点F2时,△F1AB的周长最大,又直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=(x-1),联立消去y可得5x2-8x=0,所以x1=0或x2=,所以|AB|=|x2-x1|=,所以当△F1AB的周长最大时,|AB|=
故选C.
10.A　解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵线段AB的中点为M(1,),∴x1+x2=2,y1+y2=1.
∵PF∥l,∴kPF=kl=-
由=1,=1,
两式相减得=0,又x1-x2≠0,所以上式可化为=-,得-=-,即2bc=a2,两边平方得4b2c2=4c2(a2-c2)=a4,
化为4e4-4e2+1=0,解得e2=,
又011.6　解析 如图,由双曲线的对称性可知|AF1|=|CF2|,故|AF1|-|BF2|=|CF2|-|BF2|=|BC|=6,
设直线BC的方程为x=my+2(m>0),C(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得(3m2-1)y2+12my+9=0,由题意3m2-1≠0,y1+y2=-,y1y2=,
|BC|=
=
=6,
整理得=1,由m>0,得m=1,故直线BC的方程为x=y+2,即x-y-2=0,则x1-y1=2,
由题意A(-x1,-y1),点A到直线BC的距离为d==2,则S△ABC=|BC|×d=6×2=6
12.(1)解 依题意,双曲线半焦距c=2,则解得a=2,b=2,所以双曲线C的方程为=1.
(2)①证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:x=my+2,则D(,y1),
由消去x得(2m2-1)y2+8my+16=0,
则解得0≤m2<,my1y2==-(y1+y2),
直线DN的方程为y-y1=(x-),
即y=(x-)+y1=(x-)+y1
=(x-)+y1=(x-)+y1=-(x-)+y1=-(x-),
所以直线DN经过定点(,0).
②解 由①知0≤m2<,S=|y1-y2|=,而,令=t∈[1,),因此S=在[1,]上单调递增,则S,
所以S的取值范围是[,+∞).
13.ACD　解析 由椭圆方程得,c==2,则F1(-2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0.当直线l⊥x轴时,令x=-2,解得y=±,此时|AB|取最小值,当直线l和x轴重合时,令y=0,解得x=±3,此时|AB|取最大值6,所以|AB|∈[,6],故A正确;因为|AF1|=2|BF1|,所以=2,则x1+2=2(-2-x2),即x1+2x2=-6,①
又-3≤x1≤3,|F1A|==3+x1,
同理可得|F1B|=3+x2,则有3+x1=2(3+x2) x1-2x2=,②
由①②解得x2=-,则|AB|=|AF1|+|BF1|=3|BF1|=3×(3+x2)=,故B错误;
设直线l与y轴交点P(0,y0)为AF1中点,则0=,得x1=2,所以y1=,即A(2,),
所以|yA||F1O|=2=,故C正确;
椭圆在A(2,)处的切线m的方程为=1,即2x+3y=9,
则直线n的方程为y-(x-2),令y=0,解得x=,所以Q(,0),
所以|QF1|∶|QF2|=(+2)∶(2-)=13∶5,故D正确.
故选ACD.
14　解析 由题知,直线OT的斜率为,因为直线l2∥OT,设直线l2的方程为y=x+m(m≠0),
由消去y并整理得mx--1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8m,x1x2=-m2-16,|AB|2=-4x1x2]=(64m2+m2+64)=100(m2+1).取线段AB中点M,连接OM,直线OM的斜率kOM==1,设直线l1的方程为y=kx+t,t∈R,
由消去y并整理得(3-4k2)x2-8ktx-4t2-12=0,易知3-4k2≠0,则Δ=64k2t2-16(4k2-3)(t2+3)=0,整理得t2+3-4k2=0,而t=3-4k,则(3-4k)2+3-4k2=0,解得k=1,因此直线OM∥l1,四边形OMPT为平行四边形,于是|MP|=|OT|=5,|PA|·|PB|=(|MA|+|MP|)(|MB|-|MP|)=|AB|2-25=m2,|PT|2=|OM|2=2·()2=32m2,所以
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