课时规范练56　定点与定值问题--2027全国版高考数学一轮复习(含答案)

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2027全国版高考数学一轮复习
课时规范练56　定点与定值问题
(分值:56分)
1.(13分)已知点A(-2,1),B(2,4),C(2,1)中恰有两个点在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
(1)求E的标准方程;
(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)在E上,且x1x2=-4,证明:直线MN过定点.
2.(13分)(2025·河南漯河期末)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P(t,t)(t≠0)为C上的一点,且|PF|=5,斜率为-的直线l与C交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求证k1+k2为定值.
3.(15分)(2025·江苏南通模拟)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,点D(2,0),过F的直线交C于M,N两点,直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的斜率分别为k1,k2.
(1)求证:为定值;
(2)直线AB是否过定点 若过定点,求出定点坐标.
4.(15分)(2025·北京模拟)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形.A为圆O:x2+y2=a2上一点(不在x轴上),B为椭圆E上一点,且满足AB⊥x轴,直线l与圆O切于点A,过F1作l的垂线,垂足为M.
(1)求椭圆E的方程及圆O的方程;
(2)求证:|F1M|+|BF2|为定值.
参考答案
1.(1)解 因为点A(-2,1),C(2,1)关于y轴对称,抛物线E也关于y轴对称,所以点A(-2,1),C(2,1)在E上.将点A(-2,1)代入抛物线E:x2=2py(p>0),得4=2p,即p=2,所以抛物线E的方程为x2=4y.
(2)证明 由题意可知,直线MN的斜率一定存在,则设直线MN的方程为y=kx+m,
由消y得x2-4kx-4m=0,则x1x2=-4m=-4,得m=1,所以直线MN:y=kx+1,显然恒过定点(0,1).
2.(1)解 依题意,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明 设l:y=-x+m,联立得y2+8y-8m=0.
由Δ=82-4×1×(-8m)=64+32m>0,得m>-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-8,y1y2=-8m.
由(1)知,P(4,4),所以k1+k2==0.
所以k1+k2为定值.
3.(1)证明 设M(,y1),N(,y2),A(,y3),B(,y4),F(1,0),直线MN:x=my+1,联立C:y2=4x的方程,消去x可得y2-4my-4=0,Δ>0,y1y2=-4,①
由斜率公式可得k1=,k2=,
可设直线MD:x=y+2,代入抛物线方程可得y2-y-8=0,
Δ>0,y1y3=-8,②
联立①②得y3=2y2,同理可得y4=2y1,所以k2==2.
(2)解 结合(1)知y3y4=4y1y2=-16.
设直线AB:x=ny+b,
由得y2-4ny-4b=0,Δ>0 y3y4=-4b=-16 b=4,
所以直线AB过定点(4,0).
4.(1)解 已知以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形,设椭圆的焦距为2c,则c=b,且c2+b2=2,所以c=b=1,a2=b2+c2=2,则椭圆E的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=2.
(2)证明 由椭圆方程得F1(-1,0),F2(1,0).
因为AB⊥x轴,所以设A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x1,y2),不妨取x1>0,
因为直线l与圆O切于点A,切线l的方程为x1x+y1y=2.
因为F1M⊥l,所以|F1M|=x1+,
由B(x1,y2),F2(1,0)得,,
又=1,所以+1--2x1+2=
因为x1<2,所以|BF2|=x1,所以|F1M|+|BF2|=x1+x1=2
即|F1M|+|BF2|为定值.
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